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初中数学人教七下期中数学试卷(1)
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这是一份初中人教版综合与测试同步测试题，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列各数中，是无理数的为（ ）
A．B．3.14C．D．﹣
2．9的算术平方根是（ ）
A．±3B．3C．D．
3．的相反数是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
4．点P（﹣3，2）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．下列图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点A、B、C、D在直线n上，且PC⊥n，则图中点P到直线n的距离是线段（ ）的长度．
A．PAB．PBC．PCD．PD
7．如图，直线l截两平行直线a，b，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．∠1=∠5B．∠2=∠4C．∠3=∠5D．∠5=∠2
8．如图，CO⊥AB，点O为垂足，则下列说法不一定成立的是（ ）
A．∠1与∠2相等B．∠AOD与∠2互补
C．∠AOC与∠BOC相等D．∠1与∠2互余
9．已知∠A，∠B互余，∠A比∠B大30度．设∠A，∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是
（ ）
A．B．
C．D．
10．如果电影票上的“5排2号”记作（5，2），那么（4，1）表示（ ）
A．4排5号B．5排4号C．1排4号D．4排1号
11．已知点A（a，b）在第一象限，那么点B（﹣b，﹣a）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．下列命题中：
①有理数是有限小数；
②有限小数是有理数；
③无理数都是无限小数；
④无限小数都是无理数．
正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
13．比较﹣π与﹣3.14的大小是（ ）
A．﹣π=﹣3.14B．﹣π＞﹣3.14C．﹣π＜﹣3.14D．无法比较
14．方程3x﹣2y=7的解是（ ）
A．B．C．D．
15．下列各式中，没有意义的是（ ）
A．B．C．D．﹣
二、解答题
16．计算：
（1）++|π﹣3|；
（2）（）2+3﹣6．
17．解答题
（1）解方程组 ；
（2）填出括号里的理由．已知：∠1+∠2=180°，求证：a∥b．
证明：∵∠1=∠3 ，
∠1+∠2=180°
∴∠3+∠2=180°
∴a∥b ．
18．如图，△AOB在平面直角坐标系中，A（1，4），B（3，1），D（5，1）；
（1）求△AOB的面积；
（2）将△AOB平移得到△CDE，使点O与点D对应，画出△CDE，并写出点C和点E的坐标．
19．如图，已知AB∥CD，点D在BE上，且BE平分∠ABC，∠CDE=150°，求∠C的度数．
20．列方程（或方程组）解应用题：在学校举行的一次数学竞赛中，某班小勇同学得了88分，赛制规定：试题一共20小题，答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分，请问小勇在竞赛中答对几道题？
21．如图，已知：∠A=∠1，∠2+∠3=180°，∠BDE=70°，
（1）AB与DF平行吗？说明理由；
（2）求∠ACB的度数．
22．已知=3，=4﹣b，求a+b的平方根．
23．某厂决定投入一定的资金用于改善该厂生产、生活条件，投入的资金用于两个方面：第一方面是提升职工待遇；第二方面是改善该厂生产设施． 2014年投入的总资金为t万元，其中用于第一方面的资金是第二方面的两倍．2015年第一、第二方面资金都有不同程度的增长，两方面资金增长的百分数之和为70%，投入的总资金比2014年增长了40%，
（1）用含t的代数式分别表示2014年用于两个方面的资金；
（2）分别求第一第二方面增长的百分数．
24．将长方形OABC的顶点O与直角坐标系的原点重合，点A，C分别在X轴，Y轴上，点B（a，b），且a，b满足+（b+6）2=0．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P从点B出发，以1单位/秒的速度向C点运动（不超过C点），同时点Q从C点出发以2单位/秒的速度向原点运动（不超过原点），试探讨四边形AQCP的面积在运动中是否会发生变化？求其值，若变化，求变化范围．
（3）若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为3：5两部分，求点D的坐标；
（4）若H（0，﹣1），点P（m，﹣3）在第三象限内运动，则是否存在点P使四边形HBCP的面积等于△AHB的面积，若存在，求P点坐标，不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．下列各数中，是无理数的为（ ）
A．B．3.14C．D．﹣
【考点】26：无理数．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A、是无限不循环小数，故A正确；
B、是有限小数，故B错误；
C、是有限小数，故C错误；
D、是无限循环小数，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
2．9的算术平方根是（ ）
A．±3B．3C．D．
【考点】22：算术平方根．
【分析】根据开方运算，可得算术平方根．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．
3． 的相反数是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【考点】28：实数的性质．
【专题】11 ：计算题．
【分析】由于互为相反数的两个数和为0，由此即可求解．
【解答】解：∵+（﹣）=0，
∴的相反数是﹣．
故选A．
【点评】此题主要考查了求无理数的相反数，无理数的相反数和有理数的相反数的意义相同，无理数的相反数是各地中考的重要考点．
4．点P（﹣3，2）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
【分析】根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点可知：点P（﹣3，2）位于第二象限．
【解答】解：因为点P（﹣3，2）的横坐标为负，纵坐标为正，所以其在第二象限，故选B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．下列图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】J2：对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【解答】解：根据对顶角的定义：
A中∠1和∠2不是对顶角；
B中∠1和∠2不是对顶角；
C中∠1和∠2不是对顶角；
D中∠1和∠2是对顶角；
故选：D
【点评】本题考查了对顶角的定义，对正确识图有一定要求．
6．如图，点A、B、C、D在直线n上，且PC⊥n，则图中点P到直线n的距离是线段（ ）的长度．
A．PAB．PBC．PCD．PD
【考点】J5：点到直线的距离．
【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”，即可解答．
【解答】解：∵PC⊥n，
∴点P到直线n的距离是线段PC的长度，
故选：C．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
7．如图，直线l截两平行直线a，b，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．∠1=∠5B．∠2=∠4C．∠3=∠5D．∠5=∠2
【考点】JA：平行线的性质；J2：对顶角、邻补角．
【分析】根据平行线的性质，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补及对顶角相等即可解答．
【解答】解：A、已知a∥b，∠1和∠5为同位角，由两直线平行，同位角相等可知，∠1=∠5，故正确；
B、∠2和∠4是内错角，由两直线平行，内错角相等可知，∠2=∠4，故正确；
C、∠3和∠5为对顶角，由对顶角相等可知，∠3=∠5，故正确；
D、∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∵∠5=∠3，∴∠2+∠5=180°，故错误．
故选D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
8．如图，CO⊥AB，点O为垂足，则下列说法不一定成立的是（ ）
A．∠1与∠2相等B．∠AOD与∠2互补
C．∠AOC与∠BOC相等D．∠1与∠2互余
【考点】J3：垂线；IL：余角和补角．
【分析】根据垂直的定义、互补的定义、互余的定义一一判断即可解决问题．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠COB=90°，故C正确，
∵∠AOD+∠DOB=180°，
∴∠AOD与∠DOB互补，故B正确，
∵∠1+∠2=∠COB=90°，
∴∠1与∠2互余，故D正确，
故选A
【点评】本题考查互余、互补、垂线等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
9．已知∠A，∠B互余，∠A比∠B大30度．设∠A，∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是
（ ）
A．B．
C．D．
【考点】IL：余角和补角；99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】考查角度与方程组的综合应用，∠A与∠B的度数用未知量表示，然后列出方程．
【解答】解：∠A比∠B大30°，
则有x=y+30，
∠A，∠B互余，
则有x+y=90．
故选C．
【点评】运用已知条件，列出方程组．
10．如果电影票上的“5排2号”记作（5，2），那么（4，1）表示（ ）
A．4排5号B．5排4号C．1排4号D．4排1号
【考点】D3：坐标确定位置．
【分析】根据所给数对第一个表示排数，第二个表示号可得：（4，1）表示4排1号．
【解答】解：（4，1）表示4排1号，
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是理解所给的数对所表示的意义．
11．已知点A（a，b）在第一象限，那么点B（﹣b，﹣a）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
【分析】根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数判断出a、b，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵点A（a，b）在第一象限，
∴a＞0，b＞0，
∴﹣b＜0，﹣a＜0，
∴点B（﹣b，﹣a）在第三象限．
故选C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
12．下列命题中：
①有理数是有限小数；
②有限小数是有理数；
③无理数都是无限小数；
④无限小数都是无理数．
正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
【考点】27：实数．
【分析】①②根据有理数的即可判定；
③④根据无理数的定义即可判定．
【解答】解：①有理数不一定是有限小数，整数也是有理数，故说法错误，
②有限小数是有理数，故说法正确；
③无理数都是无限小数，故说法正确；
④无限小数都不一定是无理数，其中无限循环小数为有理数，故说法错误．
故选C．
【点评】本题考查了实数的分类，重点是掌握有理数和无理数的定义．
13．比较﹣π与﹣3.14的大小是（ ）
A．﹣π=﹣3.14B．﹣π＞﹣3.14C．﹣π＜﹣3.14D．无法比较
【考点】2A：实数大小比较．
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．
【解答】解：∵π＞3.14，
∴﹣π＜﹣3.14；
故选C．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答此题的关键．
14．方程3x﹣2y=7的解是（ ）
A．B．C．D．
【考点】92：二元一次方程的解．
【分析】将x、y的值分别代入原方程，左右相等即可得．
【解答】解：A、当时，3x﹣2y=7，此选项正确；
B、当时，3x﹣2y=1，此选项错误；
C、当时，3x﹣2y=﹣1，此选项错误；
D、当时，3x﹣2y=﹣7，此选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解得定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是关键．
15．下列各式中，没有意义的是（ ）
A．B．C．D．﹣
【考点】72：二次根式有意义的条件；24：立方根．
【分析】根据二次根式有意义的条件和立方根的概念进行判断即可．
【解答】解：∵x2≥0，
∴有意义；
有意义；
∵4＜，
∴4﹣＜0，
∴无意义；
﹣有意义，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，立方根的概念，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
二、解答下列各题
16．（8分）计算：
（1）++|π﹣3|；
（2）（）2+3﹣6．
【考点】2C：实数的运算．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】（1）原式利用二次根式性质，立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式利用二次根式性质化简，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣2+5+π﹣3=π；
（2）原式=3﹣3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）解答题
（1）解方程组 ；
（2）填出括号里的理由．已知：∠1+∠2=180°，求证：a∥b．
证明：∵∠1=∠3 （对顶角相等） ，
∠1+∠2=180° （已知）
∴∠3+∠2=180° （等量代换）
∴a∥b （同旁内角互补，两直线平行） ．
【考点】98：解二元一次方程组；J9：平行线的判定．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）由对顶角相等及已知角互补，等量代换得到同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行即可得证．
【解答】解：（1），
①+②×3得：10x=0，即x=0，
把x=0代入①得：y=2，
则方程组的解为；
（2）证明：∵∠1=∠3（对顶角相等），
∠1+∠2=180° （已知），
∴∠3+∠2=180° （等量代换），
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：（对顶角相等）；（已知）；（等量代换）；（同旁内角互补，两直线平行）
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（6分）如图，△AOB在平面直角坐标系中，A（1，4），B（3，1），D（5，1）；
（1）求△AOB的面积；
（2）将△AOB平移得到△CDE，使点O与点D对应，画出△CDE，并写出点C和点E的坐标．
【考点】Q4：作图﹣平移变换．
【分析】（1）直接利用△AOB所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出已知点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：
△AOB的面积：3×4﹣×1×4﹣﹣=12﹣2﹣1.5﹣3=5.5；
（2）如图所示：C（6，5），E（8，2）．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出平移后对应点位置是解题关键．
19．（6分）如图，已知AB∥CD，点D在BE上，且BE平分∠ABC，∠CDE=150°，求∠C的度数．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先利用邻补角可计算出∠BDC=30°，再利用平行线的性质得∠ABD=∠BDC=30°，接着根据角平分线定义得∠CBD=∠ABD=30°，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．
【解答】解：∵∠CDE=150°，
∴∠BDC=180°﹣150°=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠C=180°﹣∠BDC﹣∠CBD=180°﹣30°﹣30°=120°．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
20．（6分）列方程（或方程组）解应用题：在学校举行的一次数学竞赛中，某班小勇同学得了88分，赛制规定：试题一共20小题，答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分，请问小勇在竞赛中答对几道题？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；8A：一元一次方程的应用．
【分析】根据题意可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设小勇在竞赛中答对x道题，
5x﹣（20﹣x）×1=88
解得，x=18
即小勇在竞赛中答对18道题．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．（8分）如图，已知：∠A=∠1，∠2+∠3=180°，∠BDE=70°，
（1）AB与DF平行吗？说明理由；
（2）求∠ACB的度数．
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BEC=∠3，由平行线的判定定理即可得到结论．
（2）由平行线的性质得到∠BED=∠1，等量代换得到∠BED=∠A，推出DE∥AC，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）AB与DF平行，
理由：∵∠2+∠BEC=180°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠BEC=∠3，
∴AB∥DF；
（2）∵AB∥DF，
∴∠BED=∠1，
∵∠A=∠1，
∴∠BED=∠A，
∴DE∥AC，
∴∠ACB=∠BDE=70°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
22．（10分）已知=3，=4﹣b，求a+b的平方根．
【考点】24：立方根；21：平方根．
【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的一元一次方程，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．
【解答】解：由题意有：
2a+1=9，解得a=4，
4﹣b=﹣1，解得b=5，
或4﹣b=0，解得b=4，
或4﹣b=1，解得b=3，
则a+b的平方根为±3或±2或±．
【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
23．（11分）某厂决定投入一定的资金用于改善该厂生产、生活条件，投入的资金用于两个方面：第一方面是提升职工待遇；第二方面是改善该厂生产设施． 2014年投入的总资金为t万元，其中用于第一方面的资金是第二方面的两倍．2015年第一、第二方面资金都有不同程度的增长，两方面资金增长的百分数之和为70%，投入的总资金比2014年增长了40%，
（1）用含t的代数式分别表示2014年用于两个方面的资金；
（2）分别求第一第二方面增长的百分数．
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设2014年用于第二方面的资金为a万元，则用于第一方面的资金为2a万元，根据“2014年投入的总资金为t万元”得出a=可得答案；
（2）设第一方面的增长率为x，第二方面的增长率为y，根据“两方面资金增长的百分数之和为70%，投入的总资金比2014年增长了40%”列方程组求解可得．
【解答】解：（1）设2014年用于第二方面的资金为a万元，则用于第一方面的资金为2a万元，
则a+2a=t，
∴a=，
答：2014年用于第一方面的资金为万元，用于第二方面的资金为万元；
（2）设第一方面的增长率为x，第二方面的增长率为y，
根据题意得：，
解得：，
答：第一方面的增长率为50%，第二方面的增长率为20%．
【点评】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
24．（12分）将长方形OABC的顶点O与直角坐标系的原点重合，点A，C分别在X轴，Y轴上，点B（a，b），且a，b满足+（b+6）2=0．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P从点B出发，以1单位/秒的速度向C点运动（不超过C点），同时点Q从C点出发以2单位/秒的速度向原点运动（不超过原点），试探讨四边形AQCP的面积在运动中是否会发生变化？求其值，若变化，求变化范围．
（3）若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为3：5两部分，求点D的坐标；
（4）若H（0，﹣1），点P（m，﹣3）在第三象限内运动，则是否存在点P使四边形HBCP的面积等于△AHB的面积，若存在，求P点坐标，不存在，说明理由．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出得到a﹣3=0，b+6=0，然后解方程求出a与b的值，再写出B点坐标；
（2）设运动的时间为t，则BP=t，CQ=2t（0≤t≤3），则可根据三角形面积公式和S四边形AQCP=S矩形ABCO﹣S△AOQ﹣S△APB计算得到S四边形AQCP=9，
即四边形AQCP的面积在运动中不发生变化；
（3）分类讨论：当点D在AB上，如图1，设D（3，n），则AD=﹣n，BD=6+n，根据题意得（3﹣n）：（6+n+3+6）=3：5，然后解方程求出n即可得到D点坐标；当点D在BC上，如图2，设D（m，﹣6），则CD=m，BD=3﹣m，根据题意得（6+m）：（3﹣m+3+6）=3：5，然后解方程求出n即可得到D点坐标；
（4）根据四边形HBCP的面积等于△AHB的面积得到×5×|m|+×5×3=×6×3，然后解方程可得到满足条件的m的值，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵+（b+6）2=0，
∴a﹣3=0，b+6=0，
∴a=3，b=﹣6，
∴B点坐标为（3，﹣6）；
（2）四边形AQCP的面积在运动中不会发生变化．
如图1，设运动的时间为t，则BP=t，CQ=2t（0≤t≤3），
S四边形AQCP=S矩形ABCO﹣S△AOQ﹣S△APB
=3×6﹣×3×（6﹣2t）﹣×6×t
=9；
（3）当点D在AB上，如图3，设D（3，n），则AD=﹣n，BD=6+n，
∵直线OD把长方形的周长分为3：5两部分，
∴（3﹣n）：（6+n+3+6）=3：5，
解得n=﹣，
∴D点坐标为（3，﹣）；
当点D在BC上，如图2，设D（m，﹣6），则CD=m，BD=3﹣m，
∵直线OD把长方形的周长分为3：5两部分，
∴（6+m）：（3﹣m+3+6）=3：5，
解得m=，
∴D点坐标为（，﹣6），
综上所述，D点坐标为（3，﹣）或（，﹣6）；
（4）存在．如图4，∵四边形HBCP的面积等于△AHB的面积，
∴×5×|m|+×5×3=×6×3，
而m＜0，
∴m=﹣，
∴P点坐标为（﹣，﹣3）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
一、选择题
1．下列各数中，是无理数的为（ ）
A．B．3.14C．D．﹣
2．9的算术平方根是（ ）
A．±3B．3C．D．
3．的相反数是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
4．点P（﹣3，2）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．下列图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点A、B、C、D在直线n上，且PC⊥n，则图中点P到直线n的距离是线段（ ）的长度．
A．PAB．PBC．PCD．PD
7．如图，直线l截两平行直线a，b，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．∠1=∠5B．∠2=∠4C．∠3=∠5D．∠5=∠2
8．如图，CO⊥AB，点O为垂足，则下列说法不一定成立的是（ ）
A．∠1与∠2相等B．∠AOD与∠2互补
C．∠AOC与∠BOC相等D．∠1与∠2互余
9．已知∠A，∠B互余，∠A比∠B大30度．设∠A，∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是
（ ）
A．B．
C．D．
10．如果电影票上的“5排2号”记作（5，2），那么（4，1）表示（ ）
A．4排5号B．5排4号C．1排4号D．4排1号
11．已知点A（a，b）在第一象限，那么点B（﹣b，﹣a）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．下列命题中：
①有理数是有限小数；
②有限小数是有理数；
③无理数都是无限小数；
④无限小数都是无理数．
正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
13．比较﹣π与﹣3.14的大小是（ ）
A．﹣π=﹣3.14B．﹣π＞﹣3.14C．﹣π＜﹣3.14D．无法比较
14．方程3x﹣2y=7的解是（ ）
A．B．C．D．
15．下列各式中，没有意义的是（ ）
A．B．C．D．﹣
二、解答题
16．计算：
（1）++|π﹣3|；
（2）（）2+3﹣6．
17．解答题
（1）解方程组 ；
（2）填出括号里的理由．已知：∠1+∠2=180°，求证：a∥b．
证明：∵∠1=∠3 ，
∠1+∠2=180°
∴∠3+∠2=180°
∴a∥b ．
18．如图，△AOB在平面直角坐标系中，A（1，4），B（3，1），D（5，1）；
（1）求△AOB的面积；
（2）将△AOB平移得到△CDE，使点O与点D对应，画出△CDE，并写出点C和点E的坐标．
19．如图，已知AB∥CD，点D在BE上，且BE平分∠ABC，∠CDE=150°，求∠C的度数．
20．列方程（或方程组）解应用题：在学校举行的一次数学竞赛中，某班小勇同学得了88分，赛制规定：试题一共20小题，答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分，请问小勇在竞赛中答对几道题？
21．如图，已知：∠A=∠1，∠2+∠3=180°，∠BDE=70°，
（1）AB与DF平行吗？说明理由；
（2）求∠ACB的度数．
22．已知=3，=4﹣b，求a+b的平方根．
23．某厂决定投入一定的资金用于改善该厂生产、生活条件，投入的资金用于两个方面：第一方面是提升职工待遇；第二方面是改善该厂生产设施． 2014年投入的总资金为t万元，其中用于第一方面的资金是第二方面的两倍．2015年第一、第二方面资金都有不同程度的增长，两方面资金增长的百分数之和为70%，投入的总资金比2014年增长了40%，
（1）用含t的代数式分别表示2014年用于两个方面的资金；
（2）分别求第一第二方面增长的百分数．
24．将长方形OABC的顶点O与直角坐标系的原点重合，点A，C分别在X轴，Y轴上，点B（a，b），且a，b满足+（b+6）2=0．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P从点B出发，以1单位/秒的速度向C点运动（不超过C点），同时点Q从C点出发以2单位/秒的速度向原点运动（不超过原点），试探讨四边形AQCP的面积在运动中是否会发生变化？求其值，若变化，求变化范围．
（3）若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为3：5两部分，求点D的坐标；
（4）若H（0，﹣1），点P（m，﹣3）在第三象限内运动，则是否存在点P使四边形HBCP的面积等于△AHB的面积，若存在，求P点坐标，不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．下列各数中，是无理数的为（ ）
A．B．3.14C．D．﹣
【考点】26：无理数．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A、是无限不循环小数，故A正确；
B、是有限小数，故B错误；
C、是有限小数，故C错误；
D、是无限循环小数，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
2．9的算术平方根是（ ）
A．±3B．3C．D．
【考点】22：算术平方根．
【分析】根据开方运算，可得算术平方根．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．
3． 的相反数是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【考点】28：实数的性质．
【专题】11 ：计算题．
【分析】由于互为相反数的两个数和为0，由此即可求解．
【解答】解：∵+（﹣）=0，
∴的相反数是﹣．
故选A．
【点评】此题主要考查了求无理数的相反数，无理数的相反数和有理数的相反数的意义相同，无理数的相反数是各地中考的重要考点．
4．点P（﹣3，2）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
【分析】根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点可知：点P（﹣3，2）位于第二象限．
【解答】解：因为点P（﹣3，2）的横坐标为负，纵坐标为正，所以其在第二象限，故选B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．下列图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】J2：对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【解答】解：根据对顶角的定义：
A中∠1和∠2不是对顶角；
B中∠1和∠2不是对顶角；
C中∠1和∠2不是对顶角；
D中∠1和∠2是对顶角；
故选：D
【点评】本题考查了对顶角的定义，对正确识图有一定要求．
6．如图，点A、B、C、D在直线n上，且PC⊥n，则图中点P到直线n的距离是线段（ ）的长度．
A．PAB．PBC．PCD．PD
【考点】J5：点到直线的距离．
【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”，即可解答．
【解答】解：∵PC⊥n，
∴点P到直线n的距离是线段PC的长度，
故选：C．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
7．如图，直线l截两平行直线a，b，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．∠1=∠5B．∠2=∠4C．∠3=∠5D．∠5=∠2
【考点】JA：平行线的性质；J2：对顶角、邻补角．
【分析】根据平行线的性质，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补及对顶角相等即可解答．
【解答】解：A、已知a∥b，∠1和∠5为同位角，由两直线平行，同位角相等可知，∠1=∠5，故正确；
B、∠2和∠4是内错角，由两直线平行，内错角相等可知，∠2=∠4，故正确；
C、∠3和∠5为对顶角，由对顶角相等可知，∠3=∠5，故正确；
D、∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∵∠5=∠3，∴∠2+∠5=180°，故错误．
故选D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
8．如图，CO⊥AB，点O为垂足，则下列说法不一定成立的是（ ）
A．∠1与∠2相等B．∠AOD与∠2互补
C．∠AOC与∠BOC相等D．∠1与∠2互余
【考点】J3：垂线；IL：余角和补角．
【分析】根据垂直的定义、互补的定义、互余的定义一一判断即可解决问题．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠COB=90°，故C正确，
∵∠AOD+∠DOB=180°，
∴∠AOD与∠DOB互补，故B正确，
∵∠1+∠2=∠COB=90°，
∴∠1与∠2互余，故D正确，
故选A
【点评】本题考查互余、互补、垂线等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
9．已知∠A，∠B互余，∠A比∠B大30度．设∠A，∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是
（ ）
A．B．
C．D．
【考点】IL：余角和补角；99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】考查角度与方程组的综合应用，∠A与∠B的度数用未知量表示，然后列出方程．
【解答】解：∠A比∠B大30°，
则有x=y+30，
∠A，∠B互余，
则有x+y=90．
故选C．
【点评】运用已知条件，列出方程组．
10．如果电影票上的“5排2号”记作（5，2），那么（4，1）表示（ ）
A．4排5号B．5排4号C．1排4号D．4排1号
【考点】D3：坐标确定位置．
【分析】根据所给数对第一个表示排数，第二个表示号可得：（4，1）表示4排1号．
【解答】解：（4，1）表示4排1号，
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是理解所给的数对所表示的意义．
11．已知点A（a，b）在第一象限，那么点B（﹣b，﹣a）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
【分析】根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数判断出a、b，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵点A（a，b）在第一象限，
∴a＞0，b＞0，
∴﹣b＜0，﹣a＜0，
∴点B（﹣b，﹣a）在第三象限．
故选C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
12．下列命题中：
①有理数是有限小数；
②有限小数是有理数；
③无理数都是无限小数；
④无限小数都是无理数．
正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
【考点】27：实数．
【分析】①②根据有理数的即可判定；
③④根据无理数的定义即可判定．
【解答】解：①有理数不一定是有限小数，整数也是有理数，故说法错误，
②有限小数是有理数，故说法正确；
③无理数都是无限小数，故说法正确；
④无限小数都不一定是无理数，其中无限循环小数为有理数，故说法错误．
故选C．
【点评】本题考查了实数的分类，重点是掌握有理数和无理数的定义．
13．比较﹣π与﹣3.14的大小是（ ）
A．﹣π=﹣3.14B．﹣π＞﹣3.14C．﹣π＜﹣3.14D．无法比较
【考点】2A：实数大小比较．
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．
【解答】解：∵π＞3.14，
∴﹣π＜﹣3.14；
故选C．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答此题的关键．
14．方程3x﹣2y=7的解是（ ）
A．B．C．D．
【考点】92：二元一次方程的解．
【分析】将x、y的值分别代入原方程，左右相等即可得．
【解答】解：A、当时，3x﹣2y=7，此选项正确；
B、当时，3x﹣2y=1，此选项错误；
C、当时，3x﹣2y=﹣1，此选项错误；
D、当时，3x﹣2y=﹣7，此选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解得定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是关键．
15．下列各式中，没有意义的是（ ）
A．B．C．D．﹣
【考点】72：二次根式有意义的条件；24：立方根．
【分析】根据二次根式有意义的条件和立方根的概念进行判断即可．
【解答】解：∵x2≥0，
∴有意义；
有意义；
∵4＜，
∴4﹣＜0，
∴无意义；
﹣有意义，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，立方根的概念，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
二、解答下列各题
16．（8分）计算：
（1）++|π﹣3|；
（2）（）2+3﹣6．
【考点】2C：实数的运算．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】（1）原式利用二次根式性质，立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式利用二次根式性质化简，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣2+5+π﹣3=π；
（2）原式=3﹣3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）解答题
（1）解方程组 ；
（2）填出括号里的理由．已知：∠1+∠2=180°，求证：a∥b．
证明：∵∠1=∠3 （对顶角相等） ，
∠1+∠2=180° （已知）
∴∠3+∠2=180° （等量代换）
∴a∥b （同旁内角互补，两直线平行） ．
【考点】98：解二元一次方程组；J9：平行线的判定．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）由对顶角相等及已知角互补，等量代换得到同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行即可得证．
【解答】解：（1），
①+②×3得：10x=0，即x=0，
把x=0代入①得：y=2，
则方程组的解为；
（2）证明：∵∠1=∠3（对顶角相等），
∠1+∠2=180° （已知），
∴∠3+∠2=180° （等量代换），
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：（对顶角相等）；（已知）；（等量代换）；（同旁内角互补，两直线平行）
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（6分）如图，△AOB在平面直角坐标系中，A（1，4），B（3，1），D（5，1）；
（1）求△AOB的面积；
（2）将△AOB平移得到△CDE，使点O与点D对应，画出△CDE，并写出点C和点E的坐标．
【考点】Q4：作图﹣平移变换．
【分析】（1）直接利用△AOB所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出已知点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：
△AOB的面积：3×4﹣×1×4﹣﹣=12﹣2﹣1.5﹣3=5.5；
（2）如图所示：C（6，5），E（8，2）．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出平移后对应点位置是解题关键．
19．（6分）如图，已知AB∥CD，点D在BE上，且BE平分∠ABC，∠CDE=150°，求∠C的度数．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先利用邻补角可计算出∠BDC=30°，再利用平行线的性质得∠ABD=∠BDC=30°，接着根据角平分线定义得∠CBD=∠ABD=30°，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．
【解答】解：∵∠CDE=150°，
∴∠BDC=180°﹣150°=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠C=180°﹣∠BDC﹣∠CBD=180°﹣30°﹣30°=120°．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
20．（6分）列方程（或方程组）解应用题：在学校举行的一次数学竞赛中，某班小勇同学得了88分，赛制规定：试题一共20小题，答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分，请问小勇在竞赛中答对几道题？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；8A：一元一次方程的应用．
【分析】根据题意可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设小勇在竞赛中答对x道题，
5x﹣（20﹣x）×1=88
解得，x=18
即小勇在竞赛中答对18道题．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．（8分）如图，已知：∠A=∠1，∠2+∠3=180°，∠BDE=70°，
（1）AB与DF平行吗？说明理由；
（2）求∠ACB的度数．
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BEC=∠3，由平行线的判定定理即可得到结论．
（2）由平行线的性质得到∠BED=∠1，等量代换得到∠BED=∠A，推出DE∥AC，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）AB与DF平行，
理由：∵∠2+∠BEC=180°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠BEC=∠3，
∴AB∥DF；
（2）∵AB∥DF，
∴∠BED=∠1，
∵∠A=∠1，
∴∠BED=∠A，
∴DE∥AC，
∴∠ACB=∠BDE=70°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
22．（10分）已知=3，=4﹣b，求a+b的平方根．
【考点】24：立方根；21：平方根．
【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的一元一次方程，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．
【解答】解：由题意有：
2a+1=9，解得a=4，
4﹣b=﹣1，解得b=5，
或4﹣b=0，解得b=4，
或4﹣b=1，解得b=3，
则a+b的平方根为±3或±2或±．
【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
23．（11分）某厂决定投入一定的资金用于改善该厂生产、生活条件，投入的资金用于两个方面：第一方面是提升职工待遇；第二方面是改善该厂生产设施． 2014年投入的总资金为t万元，其中用于第一方面的资金是第二方面的两倍．2015年第一、第二方面资金都有不同程度的增长，两方面资金增长的百分数之和为70%，投入的总资金比2014年增长了40%，
（1）用含t的代数式分别表示2014年用于两个方面的资金；
（2）分别求第一第二方面增长的百分数．
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设2014年用于第二方面的资金为a万元，则用于第一方面的资金为2a万元，根据“2014年投入的总资金为t万元”得出a=可得答案；
（2）设第一方面的增长率为x，第二方面的增长率为y，根据“两方面资金增长的百分数之和为70%，投入的总资金比2014年增长了40%”列方程组求解可得．
【解答】解：（1）设2014年用于第二方面的资金为a万元，则用于第一方面的资金为2a万元，
则a+2a=t，
∴a=，
答：2014年用于第一方面的资金为万元，用于第二方面的资金为万元；
（2）设第一方面的增长率为x，第二方面的增长率为y，
根据题意得：，
解得：，
答：第一方面的增长率为50%，第二方面的增长率为20%．
【点评】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
24．（12分）将长方形OABC的顶点O与直角坐标系的原点重合，点A，C分别在X轴，Y轴上，点B（a，b），且a，b满足+（b+6）2=0．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P从点B出发，以1单位/秒的速度向C点运动（不超过C点），同时点Q从C点出发以2单位/秒的速度向原点运动（不超过原点），试探讨四边形AQCP的面积在运动中是否会发生变化？求其值，若变化，求变化范围．
（3）若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为3：5两部分，求点D的坐标；
（4）若H（0，﹣1），点P（m，﹣3）在第三象限内运动，则是否存在点P使四边形HBCP的面积等于△AHB的面积，若存在，求P点坐标，不存在，说明理由．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出得到a﹣3=0，b+6=0，然后解方程求出a与b的值，再写出B点坐标；
（2）设运动的时间为t，则BP=t，CQ=2t（0≤t≤3），则可根据三角形面积公式和S四边形AQCP=S矩形ABCO﹣S△AOQ﹣S△APB计算得到S四边形AQCP=9，
即四边形AQCP的面积在运动中不发生变化；
（3）分类讨论：当点D在AB上，如图1，设D（3，n），则AD=﹣n，BD=6+n，根据题意得（3﹣n）：（6+n+3+6）=3：5，然后解方程求出n即可得到D点坐标；当点D在BC上，如图2，设D（m，﹣6），则CD=m，BD=3﹣m，根据题意得（6+m）：（3﹣m+3+6）=3：5，然后解方程求出n即可得到D点坐标；
（4）根据四边形HBCP的面积等于△AHB的面积得到×5×|m|+×5×3=×6×3，然后解方程可得到满足条件的m的值，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵+（b+6）2=0，
∴a﹣3=0，b+6=0，
∴a=3，b=﹣6，
∴B点坐标为（3，﹣6）；
（2）四边形AQCP的面积在运动中不会发生变化．
如图1，设运动的时间为t，则BP=t，CQ=2t（0≤t≤3），
S四边形AQCP=S矩形ABCO﹣S△AOQ﹣S△APB
=3×6﹣×3×（6﹣2t）﹣×6×t
=9；
（3）当点D在AB上，如图3，设D（3，n），则AD=﹣n，BD=6+n，
∵直线OD把长方形的周长分为3：5两部分，
∴（3﹣n）：（6+n+3+6）=3：5，
解得n=﹣，
∴D点坐标为（3，﹣）；
当点D在BC上，如图2，设D（m，﹣6），则CD=m，BD=3﹣m，
∵直线OD把长方形的周长分为3：5两部分，
∴（6+m）：（3﹣m+3+6）=3：5，
解得m=，
∴D点坐标为（，﹣6），
综上所述，D点坐标为（3，﹣）或（，﹣6）；
（4）存在．如图4，∵四边形HBCP的面积等于△AHB的面积，
∴×5×|m|+×5×3=×6×3，
而m＜0，
∴m=﹣，
∴P点坐标为（﹣，﹣3）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
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