江苏高考复习之高考数学知识点复习指导(理）（共138个知识点）





《高考数学知识点总结》【理】

第一部分 集合与简易逻辑 2
第二部分 不等式的解法 3
第三部分 函　数 3
第四部分 导　数 6
第五部分 三角函数 8
第六部分 数列 11
第七部分 平面向量 12
第八部分 不等式性质 14
第九部分 直线和圆 14
第十部分 圆锥曲线 16
第十一部分 立体几何 18
第十二部分 空间向量与立体几何 20
第十三部分 复数 22
第十四部分 概率与统计 22
第十五部分 排列、组合和二项式定理、数学归纳法 24
第十六部分 极坐标与参数方程 25






















第一部分 集合与简易逻辑
1. 数集的符号表示：自然数集N ；正整数集N* ；整数集 Z；有理数集Q、实数集R
2. 是任何集合的子集，条件为时不要遗忘了的情况
3.对于含有个元素的有限集合子集数目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n , 2n -1, 2n -1, 2n -2
4.理解集合的意义―抓住集合的代表元素。如:{x|y=f(x)} 表示y=f(x)的定义域，{y|y=f(x)} 表示y=f(x)的值域，{(x,y)|y=f(x)} 表示y=f(x)的图像
5. A是B的子集A∪B=BA∩B=A，
6.四种命题及其相互关系:若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。互为逆否关系的命题是等价命题.对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假
7.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”
8、逻辑联结词：命题真假判断：两真才真，一假则假；命题真假判断：两假才假，一真则真；命题真假与P相反
9、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“"”表示；
全称命题p："xÎM,P(x)； 全称命题p的否定Øp:$xÎM, ØP(x)。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“$”表示；
特称命题p：$xÎM, P(x)； 特称命题p的否定p："xÎM, ØP(x)；
10.充要条件:由A可推出B，A是B成立的充分条件；B是A成立的必要条件。
从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；B是A的必要条件；小充分大必要
第二部分 不等式的解法
11.一元二次方程的基础知识：①求根公式：②根的判别式：D=b2-4ac③根与系数关系： x1+x2=－, x1x2=④根的分布：方程ax2+bx+c=0有两正根的条件是：；有两负根的条件是：；有一正一负两根的条件是：D>0, x1x20，再转化为整式不等式f(x)g(x)>0求解，注意最高次项的系数要为正,分母是否有等于0
15. 绝对值不等式的解法：单绝对值不等式用公式法：.
;双绝对值不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解
16. 指数不等式、对数不等式的解法：先将不等式两边转化为同底的指对数式，再利用单调性转化为整式不等式求解。注意对底数的讨论，对数不等式还要注意真数要大于0
第三部分 函　数
17. 函数定义：函数是定义在两个非空数集A，B上的一种特殊对应关系，对于A中每一个数x，在B中都有唯一的数与之对应。函数图像与轴的垂线至多有一个公共点
18.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
19.定义域求法:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;对数的真数,底数且；零指数幂的底数)；实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域.
20.求函数值域（最值）的方法：
（1）二次函数区间最值：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对关系），
（2）换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如，（运用换元法时，要特别要注意新元的范围）
（3）单调性法——利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，
（4）导数法：一般适用于高次多项式函数或其他复杂函数，①求导②解导数为0的根③计算极值和区间端点函数值④比较大小，得出最值
21. 求函数解析式的常用方法：
（1）代换法：已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。可设g(x)=t,用t表示x,再代回原式即可
（2）转化法：若根据函数奇偶性求解析式，则设x∈所求区间，利用f(x) = f(－x)或f(x) = －f(－x)求解析式
（3）方程的思想——已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。通过解方程组得到f(x)解析式。如已知，求的解析式
22.函数的单调性。
（1）定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x11增；00 , a≠1)图象关于y=x对称


单调性
a＞1,在(-∞,+ ∞)为增函数
0＜a＜1, 在(-∞,+ ∞)为减函数
a>1,在(0,+ ∞)为增函数
０＜ab>0)，焦点在轴上时＋＝1.(a>b>0)，
（2）双曲线：焦点在轴上：－＝1，焦点在轴上：－＝1。
（3）抛物线：开口向右时y2＝2px，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
83.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
84.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；③两条渐近线：。
（3）抛物线（以y2＝2px为例）：①准线： ；②离心率：抛物线。
85、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内
86．直线与圆锥曲线的位置关系：
相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
87、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用定义和正弦、余弦定理求解。在椭圆中， ，对于双曲线的焦点三角形有： 。
88、弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，
89．解析几何常用结论
（1）双曲线的渐近线方程为；
（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为－＝t。
（3）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，抛物线的通径为，
（4）若抛物线y2＝2px的焦点弦为AB，，则①；②
90．求轨迹的常用方法
(1)直接法：
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程．
(2)定义法：
其动点的轨迹符合某一圆锥曲线的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．
(3)代入（相关点）法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(4)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程
特别提醒：求点的轨迹与轨迹方程是不同的需求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．

第十一部分 立体几何
91、空间几何体的结构特征
（1）直棱柱：指的是侧棱垂直于底面的棱柱，当底面是正多边形时，这样的直棱柱叫正棱柱；
（2）正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥。
特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体；
（3）平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱。
92、旋转体的面积和体积公式：
（1）S圆柱侧=2πrl，S圆锥侧=πrl，S圆台侧=π(r1+r2)l，S球=4πR2 ，V柱=sh, V锥=1/3sh, V球=4/3πR3
（2）球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝。
93、直线和平面的平行关系
线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
94．平面和平面的平行关系
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
95．直线和平面的垂直关系
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
线面垂直定义应用：如果一条直线l和一个平面α垂直，则l和平面α内的任意一条直线都垂直，
96．平面和平面的垂直关系
两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
97、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（5）平面图形中常用中位线及平行四边形的判定（一组对边平行且相等）
98、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直，尤其是两直线无交点时；（2）平面图形中常用等腰三角形三线合一性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边一半的逆定理
99、空间中的角
（1）、异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。
（2）直线和平面所成的角：（1）范围：；（2）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角
【理】（3）二面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。（2）二面角的范围：；（4）二面角的求法：①转化为求平面角；②法向量法。
100、空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）
（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。
（2）点到直线的距离：一般作出垂线再求解。
（3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。
（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。
（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。
（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的长。
101．立体几何常用结论
（1）棱长为的正四面体的高：；②内切球半径：③外接球半径：
（2）在三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内顶点在底上射影为底面内心.提醒：③若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。
第十二部分 空间向量与立体几何
102、 空间向量及其运算设，，
则（1）．
（2）若a、b为非零向量，则．
（3）若，则．
（4）．
（5）．
（6），，则．
（7）共面向量定理：；
P、A、B、C四点共面
103、平行问题：（a,b是直线a,b的方向向量，是平面的法向量）
线线平行：
线面平行： 或，
面面平行：
104、垂直问题：
线线垂直：
线面垂直：
面面垂直：
105、夹角问题
(1)两条异面直线所成的角
设异面直线a，b的方向向量为a，b，直线a与b的夹角为θ，a与b的夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|（注意异面直线夹角范围(0，]
(2)直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ| （注意线面角范围[0，]）
(3)二面角求法：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则
（一般步骤①求平面的法向量；②计算法向量夹角；③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角确定余弦值的正负）
（4）点到平面的距离：已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
第十三部分 复数
106．复数概念：
（1）复数的分类

（2）a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
（3）z=a+bi的共轭复数是=a-bi
107．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
（4）复数的模（或绝对值）==
108．几个重要的结论：
（1）；（2）（3）性质：T=4；；
第十四部分 概率与统计
109算法初步的常见题型及解题策略
(1)已知程序框图，求输出的结果．可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．可以在条件判断框的入口处列表判定此时各变量的取值情况
(2)完善框图添加条件问题。结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．注意临界点的变量值的分析
110、随机抽样需借助于随机数表（先对总体逐一编号），分层抽样的关键是“按比例”：总体中各层的比例等于样本中各层的比例。在所有的抽样中，每一个个体被抽到的概率相等。系统抽样要注重等距性的理解
111、“读懂”样本频率分布直方图：直方图的高=频率/组距，直方图中小矩形框的面积是频率；频率×样本个数=频数。由频率分布直方图计算中位数时要根据中位数两侧频率各为0.5计算横坐标值。由频率分布直方图计算平均数时可以用每个小组的中位数乘上本组频率的累加和得出
112、线性回归方程
线性回归方程：（最小二乘法）其中，
注意：线性回归直线经过定点.
113．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
注：⑴>0时，变量正相关； b>0) （参数方程，其中为参数），