河南省开封市2020届高三第三次模拟考试 数学（理）试题含答案
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数学（理科）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x｜x2－4x＋3＞0}，B＝{x｜2x－3＞0}，则集合（CRA）∩B＝
A．（－3，） B．（，3） C．[1，） D．（，3]
2．如右图，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C在复平面内分别表示0，3＋2i，－2＋4i，则点B对应的复数为
A．1＋6i B．5－2i
C．1＋5i D．－5＋6i
3．已知a，b∈R，则“a＞b”是“a｜a｜＞b｜b｜”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是
A．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加
B．2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加
C．2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人
数也近似相等
D．2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30．5％
5．执行右面的程序框图，若输入x的值为，则输出的y＝
A． B．
C．2 D．4
6．为了得到函数的图象，只需把函数
y＝2sin2x图象上所有的点
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
7．已知函数f（x）＝x（x－c）2在x＝2处取极大值，则c＝
A．－2或－6 B．2或6 C．2 D．6
8．若不等式组所表示的平面区域被直线z＝3x－4y分为面积相等的两部分，则z的值是
A． B． C． D．
9．已知A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝a，其中a∈（0，1），则关于tanA的值，以下答案中，可能正确的是
A．－2 B．－ C． D．2
10．某地有A，B，C，D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的．对于C因为难以判定是受A还是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是．同样也假定D受A，B和C感染的概率都是．在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率是
A． B． C． D．
11．若函数f（x）对，b∈R，同时满足：（1）当a＋b＝0时有f（a）＋f（b）＝0；（2）当a＋b＞0时有f（a）＋f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：
①f（x）＝x－sinx，②f（x）＝ex－e－x，③f（x）＝ex＋e－x，④
是Ω函数的为
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
12．已知三棱锥D—ABC中，DA⊥平面ABC，AB＝AD＝2，BC＝AC，则三棱锥D—ABC体积最大时，其外接球的体积为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为等差数列{}的前项和，若＝，则＝__________．
14．若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝，则a·b＝__________．
15．已知F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点，若△POF2为等边三角形，则C的离心率e＝__________．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝，tanA＝2tanB，则cosA＝__________，△ABC的面积为__________．（本题第一空3分，第二空2分）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知数列{}满足：＝，（－）＝，．
（1）证明：数列{}是等比数列；
（2）求数列{}的前项和．
18．（12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，
E，F分别为PC和BD的中点，且EF⊥CD．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．
19．（12分）
已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点A与左、右焦点F1，F2构成一个面积为
1的直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C相切，求证：点F1，F2到直线l的距离之积为定值．
20．（12分）
已知函数f（x）＝axex－lnx＋b在x＝1处的切线方程为y＝（2e－1）x－e．
（1）求a，b值；
（2）若f（x）≥mx恒成立，求实数m的取值范围．
21．（12分）
当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科
技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖
端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，
需了解该产品年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）和年利润z
（单位：千万元）的影响．根据市场调研与模拟，对收集的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，
10）进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：
表中ui＝lnxi，vi＝lnyi．
（1）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝cxd哪一个更适合作为年销售量y关于年研发费用x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
附：对于一组数据（ui，vi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截
距的最小二乘估计分别为
（2）已知年利润z与x，y的关系为（其中e为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?
（3）科技升级后，该产品的效率X大幅提高，经试验统计得X大致服从正态分布N（0．52，0．012）．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若X不超过50％，不予奖励；若X超过50％，但不超过53％，每件产品奖励2元；若X超过53％，每件产品奖励4元．记Y为每件产品获得的奖励，求E（Y）（精确到0．01）．
附：若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0．6827，P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝0．9545．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）．以坐标
原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1和C2在第一象限交于点A．
（1）求点A的直角坐标；
（2）直线＝（∈（0，），∈R）与曲线C1，C2在第一象限分别交于点B，C，
若△ABC的面积为，求的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
关于x的不等式｜x－2｜＜m（）的解集为A，且∈A，A．
（1）求m的值；
（2）设a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝3m，求＋＋的最大值．
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