2020年山东省淄博市周村区九年级数学一模试题及答案


2020年初中学业水平模拟考试
数学试题
本试卷共8页．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将毕业学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并核对粘贴的条形码是否与本人信息一致.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上．
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑.
4.答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器．

一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．
1. 如果a是无理数，下列各数中，一定是有理数的是
（A）－a （B） （C） （D）
2. 下列几何体中，俯视图为三角形的是

（A） （B） （C） （D）

3. 下列各式，计算结果等于2-3的是
（A）22÷25 （B）25÷22 （C）22-25 （D）（-2）×（-2）×（-2）

4. 若4 （A） （B） （C） （D）
5. 某排球队6名场上队员的身高 （单位:cm）是: 180，184，188，190，192，194. 现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高
（A）平均数变小，中位数变小 （B）平均数变小，中位数变大
（C）平均数变大，中位数变小 （D）平均数变大，中位数变大
6. 只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．若从5，6，7，9这4个数中随机抽取一个，则抽到的数是素数的概率是
（A） （B） （C） （D）1
7. 下列长度的三条线段，能组成锐角三角形的是
（A）2，3，4 （B）2，3，5 （C）3，4，4 （D）3，4，5
8. 如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE，EF，FG，HG，HB分别交于点P，Q，K，M，N，设△EPQ，△GKM，△BNC的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3=30，则S2的值为
（A）6 （B）8
（C）10 （D）12


9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC. 若∠ACB=90°，△ABC的面积为20，则k的值是
（A）-8 （B）-10
（C）-12 （D）-20


10. 如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（　　）
（A） （B）
（C） （D）

11. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为
A

B

C

D

E

O

（A） （B）
（C） 6 （D）


12. 如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为
（A）2 （B）3
（C） （D）



二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13. 计算：= .
14. 运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是 ．
（－）
2
=
3
3
sinn
ab/c
1
yx
+
0
3
×
9



15. 在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则∠BAC-∠DAE= °.


16. 如图，过函数y=ax2（a>0）图象上的点B，分别向两条坐标轴引垂线，垂足分别为A，C. 线段AC与抛物线的交点为D，则的值为 ．







17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn－1Nn－1，BNn－1，BPn－1上，且四边形MnNn－1NnPn是正方形，则线段BN2020的长度是 ．
…
Pn－1
Pn
Nn
Nn－1
Mn
A
B
C
M1
N1
P1
M2
P2
N2











三、解答题：本大题共7小题，共52分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18. (本题满分5分)
计算：．




19. (本题满分5分)
如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长.







20. (本题满分8分)
某学校招聘数学教师，本次招聘进行专业技能测试和课堂教学展示两个项目的考核，这两项考核的满分均为100分，学校将这两个项目的得分按一定的比例计算出总成绩．经统计，参加考核的4名考生的两个项目的得分如下：
考生序号
1
2
3
4
专业技能测试
90
70
86
75
课堂教学展示
70
90
80
86
（1）经过计算，1号考生的总成绩为78分，求专业技能测试得分和课堂教学展示得分分别占总成绩的百分比；
（2）若学校录取总成绩最高的考生，通过计算说明，4名考生中哪一名考生会被录取？





21.(本题满分8分)
已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，
求代数式的值.






22.(本题满分8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，AD与经过A，B，C三点的⊙O相切于点A，过点C的切线与AD的延长线相交于点P，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
A
B
C
O
D
P

（2）若AB＝4，⊙O的半径为，求PD的长．
















23.(本题满分9分)
已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°<α<90°），直线BD与CE交于点F.
（1）如图1，当α=45°时，求证：CF=EF；
（2）如图2，在旋转过程中，当α为任意锐角时，
① ∠CFB的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；
② 结论“CF=EF”，是否仍然成立？请说明理由.
































24.(本题满分9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx－7与y轴交于点C，与x轴交于点B．抛物
线y＝ax2＋bx＋14a经过B，C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA:OC＝2:7，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在线段BC上，点P在对称轴右侧的抛物线上，PD＝PB．当tan∠PDB＝2时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q（7，n）在第四象限内，点R在对称轴右侧的抛物线上，若以点P，D，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q，R的坐标．

　　 　　

















模拟试题 参考答案
一、(每小题4分，共48分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
D
A
B
C
D
C
B
A
D
二、（每小题4分，共20分）
13. ； 14. -1 ； 15. 45° ； 16. ； 17.
三、(共52分)
18. (5分)
解：原式＝………………2分
＝………………4分
＝………………5分

19. (5分)
解： 过点C作CD⊥AB于点D. ………………………………1分
在Rt△ADC中，，
∴，………………………2分
. ………………3分
在Rt△CDB中，∠B=45°，
∴∠DCB=∠B=45°.
∴. …………………………4分
∴. ……………………………… 5分


20.(8分)
解：（1）设专业技能测试得分占总成绩的百分比是a．
根据题意，得90a＋70(1－a)＝78．………… 2分
解这个方程，得a＝40%． 1－40%＝60%．所以专业技能测试得分和课堂教学展示得分占总成绩的百分比分别是40%，60%．………… 4分
（2）2号考生总成绩为70×0.4＋90×0.6＝82（分）………… 5分
3号考生总成绩为86×0.4＋80×0.6＝82.4（分）………… 6分
4号考生总成绩为75×0.4＋86×0.6＝81.6（分）………… 7分
因为82.4＞82＞81.6＞78，所以3号考生会被录取．………… 8分

21. (8分)
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.
即，解不等式得，；
∴ k的取值范围是且k≠0. ………………4分
（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，∴ k=1.
把k=1代入原方程，得.
∴α+β=1，αβ=-1；，两边同乘α，得.

=
=
=12-2×(-1)+1+2016
=2020 ………………………………8分




22. (8分)
（1）证明：连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F．
F
A
B
C
O
D
P

E
∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，
∴AF⊥AP，∴∠FAP＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠AEB＝∠FAP＝90°，
∴AF⊥BC．
∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，
∴BE＝CE．
∵AF⊥BC，BE＝CE，
∴AB＝AC． ……………… 4分
（法二：易证∠AFC＋∠FAC＝∠FAC＋∠CAP＝90°，∠AFC＝∠CAP＝∠BCA．又∠ABC＝∠AFC，∴∠ABC＝∠BCA．）

（2）解：连接FC，OC．
设OE＝x，则EF＝－x．
∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°．
∵AC＝AB＝4，AF＝2，∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，
∴CF＝＝2．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴CE2＝OC2－OE2．
∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，∴CE2＝CF2－EF2．
∴OC2－OE2＝CF2－EF2. 即2－x2＝22－（－x）2．
解得x＝．
∴EC＝＝． ∴BC＝2EC＝．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝．
∵AD∥BC，∴∠PAC＝∠ACB．
∵PA，PC是是⊙O的切线，∴PA＝PC．∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．
∴△PAC∽△ABC，∴＝．∴AP＝·AB＝2．
∴PD＝AP－AD＝．……………… 8分



23. (9分)
解：（1）当α=45°时，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=67.5°，同理，∠ACE=67.5°.
∴∠ACE=∠CDF=67.5°，∴CF=DF. 在Rt△CDE中，∠CED=∠EDF=90°-67.5°=22.5°，
∴EF=DF. ∴CF=EF. ………………3分
（2）①∠CFB的度数不变，∠CFB=45°. ∵△ABD与△ACE均为顶角为α的等腰三角形，所以底角相等，即∠ABD=∠ACE.设AC与BF的交点为O，则∠AOB=∠COF.
∵∠ABD+∠AOB+∠CAB=∠ACE+∠COF+∠CFB=180°，
∴∠CFB=∠CAB=45°.………………6分
② 结论“CF=EF”，仍然成立.方法较多，先列举2种，仅供参考。
方法1：如图，作EG∥CB交BF延长线于点G.
∵∠ABD=∠ADB，又∵∠EDG+∠ADB=∠CBF+∠ABD=90°，
∴∠EDG=∠CBF.∵ EG∥CB，∴∠G=∠CBF=∠EDG，∴EG=ED.又ED=BC，∴EG=BC.∴△FEG≌△FCB.∴EF=CF.………………9分
方法2：如图，作BG⊥BF交FC延长线于点G，连接AF.
∵∠CFB=45°，BF=BG.又∵∠ABF=∠CBG，AB=BC，∴△ABF≌△CBG.
∴∠AFB=∠CBG=45°.∴AF⊥CE.又∵AC=AE，∴EF=CF.………………9分









24. (9分) 解：（1） OC＝7，OA＝2，14a＝－7，a＝
将点A（2，0）代入y＝－＋bx－7得　b＝
因此抛物线的解析式为y＝－＋x－7．　……………………3分
（2）如图，取BD中点M，连结PM，则PM⊥BD．作ME⊥x轴于点E，PG⊥x轴于点G，PF⊥ME于点F．由∠MBE＝45°，可设BE＝ME＝m，则BM＝m．

由tan∠PBD＝tan∠PDB＝2得，PM＝2m，MF＝FP＝2m，
因此PG＝3m，BG＝m． ……………………6分
∵　点B（7，0）　　
∴　可设点P（7＋m，－3m）（m＞0）,
代入y＝－＋x－7,
解得　m＝1
因此点P的坐标为（8，－3）． ……………………6分
（3） D（5，－2），P（8，－3），Q（7，n）．　
①当PD为边时，边PR可以看成由边DQ平移得到，其中D→P，Q→R，
因此R（10，n－1），代入y＝－＋x－7得，n＝－11．
即此时点Q（7，－11），R（10，－12）．　 ……………………8分　
②当PD为对角线时，边PR可以看成由边QD平移得到，其中Q→P，D→R，
因此R（6，－5－n），代入y＝－＋x－7得　n＝－7．
即此时点Q（7，－7），R（6，2）．……………………9分


初中学业水平模拟考试 数学试题 第13页 （共8页）