2020年福建省三明市梅列区中考数学一模试卷 解析版


2020年福建省三明市梅列区中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）的结果是（　　）
A．1 B． C．0 D．2
2．（4分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（　　）
A．5.6×10﹣1 B．5.6×10﹣2 C．5.6×10﹣3 D．0.56×10﹣1
3．（4分）如图所示物体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．3a﹣a＝2 B．a2+a3＝a5 C．a6÷a2＝a4 D．（a2）3＝a5
5．（4分）有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
6．（4分）如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝50°，则∠APB的度数为（　　）

A．100° B．50° C．40° D．25°
7．（4分）方程x2﹣5x＝0的解是（　　）
A．x＝﹣5 B．x＝5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2﹣5
8．（4分）如果△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，已知A（﹣4，6）、B（﹣6，2）、C（2，1），现将△A1B1C1向左平移5个单位，再向下平移3个单位后得到△A2B2C2，则点B2的坐标为（　　）
A．（﹣13，﹣1） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣1） D．（1，5）
9．（4分）A、B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（　　）
A．﹣＝30 B．﹣＝
C．﹣＝ D．+＝30
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（共6题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）4的算术平方根等于　 　．
12．（4分）把多项式mx2﹣my2分解因式的结果是　 　．
13．（4分）一次函数y＝kx﹣8的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是　 　．
14．（4分）如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA＝90°，AB＝6，则CD的长为　 　．

15．（4分）如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为　 　．

16．（4分）已知等边三角形ABC是边长为4，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC的长的最小值是　 　．

三、解答题（本大题共9小题，满分84分）
17．（8分）|﹣3|﹣．
18．（8分）为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？

19．（8分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝5．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC∽△PAC（不写画法保留作图痕迹），并证明△ABC∽△PAC．

21．（8分）目前，某校九年级同学对“新冠疫情下停课不停学”线上学习的家长进行问卷调查，随机调查了若干名家长对线上学习的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．反对；D．赞成）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；
（2）求出图2中扇形C所对的圆心角度数，并将图1补充完整；
（3）在此次调查活动中，初三（1）班有A1、A2两位家长对线上学习，持基本赞成的态度，初三（2）班有B1、B2两位学生家长对线上学习，也持基本赞成的态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率．
22．（10分）如图，在▱ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥DB，且CF＝DE，连接AE，BF，EF．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若∠ABE+∠BFC＝180°，则四边形ABFE是什么特殊四边形？说明理由．

23．（8分）某商店销售甲、乙两种品牌的A4多功能办公用纸，购买2包甲品牌和3包乙品牌的A4多功能办公用纸共需156元；购买3包甲品牌和1包乙品牌的A4多功能办公用共需122元．
（1）求这两种品牌的A4多功能办公用纸每包的单价；
（2）疫情期间，为满足师生的用纸要求，该商店对这两种A4多功能办公用纸展开了促销活动，具体办法如下：甲品牌的A4多功能办公用纸按原价的八折销售，乙品牌的A4多功能办公用纸超出5包的部分按原价的七折销售，设购买的x包甲品牌的A4多功能办公用纸需要y1元，购买x包乙品牌的A4多功能办公用纸需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）当需要购买50包A4多功能办公用纸时，买哪种品牌的A4多功能办公用纸更合算？
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，交⊙O于C、D两点，交AB点E、F是弧BD上一点，过点F作一条直线，交CD的延长线于点G，交AB的延长线于点M．连结AF，交CD于点H，GF＝GH．
（1）求证：MG是⊙O的切线；
（2）若弧AF＝弧CF，求证：HC＝AC；
（3）在（2）的条件下，若tanG＝，AE＝6，求GM的值．

25．（14分）如图，二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常数a＜0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的右侧），与y轴交于点C（0，3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）求a与m的关系式；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的正半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．


2020年福建省三明市梅列区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．【解答】解：（）0＝1．
故选：A．
2．【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，
故选：B．
3．【解答】解：从上面向下看，易得到横排有3个正方形．
故选：D．
4．【解答】解：3a﹣a＝2a，故A选项错误；
a2+a3≠a5，故B选项错误；
a6÷a2＝a4，故C选项正确；
（a2）3＝a6，故D选项错误；
故选：C．
5．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：A．
6．【解答】解：由圆周角定理知，∠P＝∠AOB＝25°，故选D．
7．【解答】解：x2﹣5x＝0，
x（x﹣5）＝0，
解得x1＝0，x2＝5．
故选：C．
8．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，B（﹣6，2），
∴B1（6，2），
∵将△A1B1C1向左平移5个单位，再向下平移3个单位后得到△A2B2C2，
∴点B2的坐标（6﹣5，2﹣3），
即（1，﹣1），
故选：C．
9．【解答】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，
根据题意得，﹣＝．
故选：B．
10．【解答】解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP＝90°，
∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠APB＝∠PAD，
又∵∠B＝∠DEA＝90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴＝，
即＝，
∴y＝，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．

二、填空题（共6题，每小题4分，满分24分）
11．【解答】解：∵22＝4，
∴4算术平方根为2．
故答案为：2．
12．【解答】解：原式＝m（x2﹣y2）
＝m（x+y）（x﹣y）．
故答案为：m（x+y）（x﹣y）．
13．【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2，y随x的增大而减小，
∴一次函数的系数k＜0，
故答案为：k＜0．
14．【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴CD＝AB＝×6＝3．
故答案为3．
15．【解答】解：连接OB和AC交于点D，
∵圆的半径为4，
∴OB＝OA＝OC＝4，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝OB＝，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，
∴AC＝2CD＝3，
∵sin∠COD＝，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S菱形ABCO＝×3×3＝，
S扇形AOC＝＝3π，
则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．

16．【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，
当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，
∴△ABC是等边三角形，
∴CE过点O，E为AB中点，则此时EO＝AB＝2，
故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝BCsin60°﹣AB＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．

三、解答题（本大题共9小题，满分84分）
17．【解答】解：原式＝3﹣×2﹣1﹣4
＝3﹣﹣5
＝﹣2﹣．
18．【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
即＝，
∴AB＝20．
答：河的宽度AB为20米．
19．【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝5时，原式＝＝．
20．【解答】解：如图所示：点P即为所求，
∵MN是AC的垂直平分线，交BC于点P，
∴AP＝CP，
∴∠C＝∠PAC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝∠PAC，
∴△ABC∽△PAC．

21．【解答】解：（1）30÷15%＝200，
所以共调查了200名中学生家长；
（2）C类人数为200﹣30﹣40﹣120＝10（人），
所以扇形C所对的圆心角度数＝360°×＝18°；
频数折线统计图为：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同班级的结果数为8，
所以选出的2人来自不同班级的概率＝＝．
22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵CF∥DB，
∴∠BCF＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠BCF
在△ADE与△BCF中
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）．
（2）四边形ABFE是菱形
理由：∵CF∥DB，且CF＝DE，
∴四边形CFED是平行四边形，
∴CD＝EF，CD∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝EF，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵△ADE≌△BCF，
∴∠AED＝∠BFC，
∵∠AED+∠AEB＝180°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴四边形ABFE是菱形．
23．【解答】解：（1）设A、B两种品牌的多功能办公用纸的单价分别为x元、y元，
根据题意得，，解得，
答：A、B两种品牌的多功能办公用纸的单价分别为30元、32元；

（2）A品牌：y1＝30x•0.8＝24x；
B品牌：0≤x≤5，y2＝32x，
x＞5时，y2＝5×32+32×（x﹣5）×0.7＝22.4x+48，
所以y1＝24x，
y2＝；

（3）当y1＝y2时，24x＝22.4x+48，
解得x＝30，
购买30个多功能办公用纸时，两种品牌都一样，
购买超过30个多功能办公用纸时，B品牌更合算，
购买不足30个多功能办公用纸时，A品牌更合算，
∵需要购买50个多功能办公用纸，
∴买B种品牌的多功能办公用纸更合算．
24．【解答】（1）证明：连接OF．
∴AB⊥CD，
∴∠AEH＝90°，
∴∠EAH+∠AHE＝90°，
∵GF＝GH，
∴∠GFH＝∠GHF＝∠AHE，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OFA+∠GFH＝90°，
∴OF⊥GM，
∴MG是⊙O的切线．

（2）证明：∵＝，
∴OF垂直平分线段AC
∵OF⊥MG，
∴AC∥GM，
∴∠CAH＝∠GFH，
∵∠CHA＝∠GHF，∠HGF＝∠GFH，
∴∠CAH＝∠CHA，
∴CA＝CH．

（3）解：∵AC∥GM，
∴∠G＝∠ACH，
∴tan∠CAH＝tan∠G＝＝，
∵AE＝6，
∴EC＝8，AC＝＝＝10，
设GF＝GH＝x，则CG＝CH+GH＝AC+GH＝10+x，
∵CD＝2EC＝16，
∴GD＝10+x﹣16＝x﹣6，
∵GF2＝GD•GC，
∴x2＝（x﹣6）（x+10），
解得x＝15，
∴EG＝CG﹣CE＝25﹣8＝17，
∵tan∠G＝＝，
∴EM＝，
∴GM＝＝＝．

25．【解答】解：（1）将点C的坐标代入抛物线表达式得：﹣3am2＝3，
解得：am2＝﹣1；

（2）对于二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2），令y＝0，则x＝m或﹣3m，
∴函数的对称轴为：x＝﹣m，
∵CD∥AB，
∴点D、C的纵坐标相同，故点D（﹣2m，3），
故点A、B的坐标分别为：（m，0）、（﹣3m，0），
设点E（x，y），y＝a（x2+2mx﹣3m2），
分别过点D、E作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM＝∠EAN，
∴RtADM△∽Rt△ANE，
∴，即，
解得：y＝，
故点E（x，），
将点E的坐标代入抛物线表达式并解得：x＝＝﹣4m，
则y＝＝﹣5，
故点E（﹣4m，﹣5），
故＝＝＝为定值；

（3）存在，理由：
函数的对称轴为x＝﹣m，当x＝﹣m时，y＝a（x2+2mx﹣3m2）＝4，即点F（﹣m，4），
由点F、C的坐标得，直线FC的表达式为：y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3m，即点G（3m，0），
GF2＝（3m+m）2+42＝16m2+16，
同理AD2＝9m2+9，AE2＝25m2+25，
故AE2＝AD2+GF2，
GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，
点G的横坐标为3m．