2020年江苏省南京市溧水区中考数学适应性训练试卷 解析版


2020年江苏省南京市溧水区中考数学适应性训练试卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．化简（﹣x3）2的结果是（　　）
A．﹣x6 B．﹣x5 C．x6 D．x5
2．下列数中与最接近的是（　　）
A．2 B．3 C．π D．4
3．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．平行四边形的四边相等 B．平行四边形的对角互补
C．平行四边形是轴对称图形 D．平行四边形的对角线互相平分
4．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，4 D．3，4，5
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（　　）

A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
6．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，D是边BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），将△ABD沿AD折叠，点B落在点B'处，连接BB'，B'C，若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为　 　．
8．计算（+2）2的结果等于　 　．
9．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝　 　．
10．甲、乙两名同学的5次射击训练成绩如表（单位：环）：
甲
7
8
9
8
8
乙
6
10
9
7
8
比较甲、乙这5次射击成绩的方差S2甲与S2乙的大小关系为S2甲　 　S2乙（填“＞”“＝”或“＜”）
11．如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x的取值范围是　 　．

12．对于反比例函数y＝，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点（﹣2，﹣2）；③y随x的增大而减小；④当x＞﹣2时，y＜﹣2．其中所有正确结论的序号是　 　．
13．如图，⊙O是正△ABC的外接圆．若正△ABC的边心距为1，则⊙O的周长为　 　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，点E、F分别是AC、AD的中点，S△AEF：S△BCD＝　 　．

15．如图，点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y2＝（x＜0）的图象上，AB⊥y轴，若△AOB的面积为2，则k的值为　 　．

16．如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn∁nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2019＝　 　．

三．解答题（本大题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或满算步骤）
17．计算：．
18．化简：÷（a﹣）．
19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若BA⊥AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

20．一只不透明的袋子中装有4个球，其中两个红球，一个黄球、一个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为　 　．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，用列表法或树形图的方法，求两次都是红球的概率．
21．2020蓉漂•云招聘活动在4月25日正式启动，共发布了岗位13198个．某网络公司招聘一名高级网络工程师，应聘者小魏参加笔试和面试，成绩（100分制）如表所示：

笔试
面试
成绩
98
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
评委6
评委7
94
95
92
99
98
97
96
其中规定：面试得分中去掉一个最高分和一个最低分，余下的面试得分的平均值作为应聘者的面试成绩．
（1）请计算小魏的面试成绩；
（2）如果面试成绩与笔试成绩按6：4的比例确定，请计算出小魏的最终成绩．
22．某商店第一个月以每件100元的价格购进200件衬衫，以每件150元的价格售罄．由于市场火爆，该商店第二个月再次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫的进价和数量都有一定的提高，其数量的增长率是进价增长率的2.5倍，该批衬衫仍以每件150元销售．第二个月结束后，商店对剩余的50件衬衫以每件120元的价格一次性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利17500元．设第二批衬衫进价的增长率为x．
（1）第二批衬衫进价为　 　元，购进的数量为　 　件．（都用含x的代数式表示，不需化简）
（2）求x的值．
23．如图，是一座横跨沙颖河的斜拉桥，拉索两端分别固定在主梁l和索塔h上，索塔h垂直于主梁l，垂足为D．拉索AE，BF，CG的仰角分别是α，45°，β，且α+β＝90°（α＜β），AB＝15m，BC＝5m，CD＝4m，EF＝3FG，求拉索AE的长．（精确到1m，参考数据：≈2.24，≈1.41）

24．已知：二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），当2≤x≤4时，函数有最大值5．
（1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；
（2）将函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0）图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象，若点P（x0，y0）是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于m的一元二次方程m2﹣y0m+k﹣4+y0＝0恒有实数根时，求实数k的最大值．
25．两个运输小队分别从两个仓库以相同的工作效率调运一批物资，两队同时开始工作．第二小队工作5天后，由于技术问题检修设备5天，为赶上进度，再次开工后他们将工作效率提高到原先的2倍，结果和第一小队同时完成任务．在两队调运物资的过程中，两个仓库物资的剩余量yt与第一小队工作时间x天的函数图象如图所示．
（1）①求线段AC所表示的y与x之间的函数表达式；
②求点F的坐标，并解释点F的实际意义．
（2）如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是　 　天．

26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB边上的动点，过点D作DE⊥AB交边AC于点E，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．
（1）当AD＝4时，求EF的长度；
（2）求△DEF的面积的最大值；
（3）设O为DF的中点，随着点D的运动，则点O的运动路径的长度为　 　．

27．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．
（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．
（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．





参考答案
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．解：原式＝x6，
故选：C．
2．解：∵16＜19＜20.25，
∴4＜＜4.5，即3＜﹣1＜3.5，
则与﹣1最接近的是π，
故选：C．
3．解：A、平行四边形的四条边不一定相等，故错误，是假命题；
B、平行四边形的对角相等，故错误，是假命题；
C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故错误，是假命题，
D、平行四边形的对角线互相平分，故错误，是真命题，
故选：D．
4．解：A、∵＝＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
B、∵2+3＝5，∴不能组成三角形；
C、∵＝5＞4，3+4＞4，∴能组成锐角三角形；
D、∵＝5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：C．
5．解：由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），

故选：C．
6．解：如图1，
当BB′＝B′C时，△BCB'是等腰三角形，

如图2，当BC＝BB′时，△BCB'是等腰三角形，

故若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是2，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故答案为：5.5×104．
8．解：（+2）2
＝3+4+4
＝7+4，
故答案为：7+4．
9．解：原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2，
故答案为：﹣y（3x﹣y）2
10．解：＝（7+8+9+8+8）＝8，
＝（6+10+9+7+8）＝8，
S2甲＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]
＝0.4；
S2乙＝[（6﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2]
＝2；
则S甲2＜S乙2．
故答案为：＜．
11．解：根据题意得：1＜1﹣2x＜2，
解得：﹣＜x＜0，
则x的范围是﹣＜x＜0，
故答案为：﹣＜x＜0
12．解：①∵k＝4＞0，∴它的图象在第一、三象限，故正确；
②把点（﹣2，﹣2）代入反比例函数y＝，成立，故正确；
③当x＞0时，y随x的增大而减小，故错误．
④当x＞﹣2时，y＜﹣2或y＞0，所以错误；
故答案为：①②．
13．解：延长AO交BC于D，连接OB，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝AC，
∵OB＝OC，
∴AO垂直平分BC，即OD⊥BC，
∴OD＝1，AD平分∠BAC，
同理OB平分∠ABC，
∴∠OBD＝30°，
在Rt△OBD中，OB＝2OD＝2，
∴⊙O的周长＝2π×2＝4π．
故答案为4π．

14．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，
∴CD＝AD＝DB，△ADC的面积＝△BCD的面积，
∵点E、F分别是AC、AD的中点，
∴EF∥CD，2EF＝CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴，
∴S△AEF：S△BCD＝1：4；
故答案为：1：4．
15．解：设点A坐标（a，）
∵点B在反比例函数y2＝（x＜0）的图象上，AB⊥y轴，
∴
∴x＝ak
∴点B（ak，）
∵△AOB的面积为2
∴（a﹣ak）×＝2
∴1﹣k＝4
∴k＝﹣3
故答案为：﹣3
16．解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，
∴A1D1∥A2C1，
∴＝，
∴＝，
∴A1D1＝，
同理可得：A2D2＝，
∴S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，Sn＝4n﹣1﹣×4n﹣1＝×4n﹣1，
∴S2019＝×42018，
故答案为：×42018．
三．解答题（本大题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或满算步骤）
17．解：原式＝4+1﹣2+3﹣4，
＝2．
18．解：÷（a﹣）
＝÷
＝
19．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE．
∴有，
∴△AFE≌△DCE（AAS）．
∴AF＝CD．
∵AF＝BD，
∴BD＝CD，即D是BC的中点；

（2）四边形AFBD是菱形．理由如下：
连接FD．∵AF∥BD且AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
同理可证四边形AFDC是平行四边形．
∴FD∥AC．
∵BA⊥AC，
∴BA⊥FD．
∴四边形AFBD是菱形．

20．解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为＝，
故答案为：．
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次都是红球的有4种结果，
所以两次都是红球的概率为．
21．解：（1）（94+95+98+97+96）÷5＝96（分）．
故小魏的面试成绩是96分；
（2）96×+98×＝96.8（分）．
故小魏的最终成绩是96.8分．
22．解：（1）依题意得：
第二批衬衫进价为 100（1+x）元，购进的数量为 200（1+2.5x）件．
故答案是：100（1+x），200（1+2.5x）；

（2）根据题意，得
200×（150﹣100）+[150﹣100（1+x）][200（1+2.5x）﹣50]+50[120﹣100（1+x）]＝17500．
化简，得50x2﹣5x﹣1＝0．
解这个方程，得x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去）．
所以x的值是20%．
23．解：在Rt△BDF中，∵∠DBF＝45°，∠BDF＝90°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴FD＝BD＝BC+CD＝9m，
∵α+β＝90°，∠ADE＝∠GDC＝90°，
∴△ADE∽△GDC，
∴＝，
∴AD•CD＝GD•ED，
设EF＝3FG＝3x，则24×4＝（9﹣x）（9+3x），
解得：x＝1，或x＝5（舍去），
∴EF＝3，
∴DE＝EF+FD＝12m，
∵AD＝AB+BD＝24m，
∴AE＝＝＝12≈27（m），
答：拉索AE的长约为27m．
24．解：（1）抛物线y＝y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0）的对称轴为：x＝＝1
∵a＞0，抛物线开口向上：
∴当x≥1时，y随x增大而增大；
由已知：当2≤x≤4时，函数有最大值5．
∴当x＝4时，y＝5，
∴16a﹣8a﹣3＝5，解得a＝1；
∴y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与y轴交于（0，﹣3），抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）
（2）若关于m的一元二次方程m2﹣y0m+k﹣4+y0＝0 恒有实数根，则须，
即4k≤恒成立，即k恒成立．
∵点p（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，且抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），
∴0＜y0≤4，
∴3≤≤4，（k取的值之下限）
∴实数k的最大值为3．
25．解：（1）①设AC的函数表达式为y＝kx+b，
将（12，0），（0，360）代入y＝kx+b，
得，解得
即线段AC所表示的y与x之间的函数表达式为y＝﹣30x+360；

②第一小队的工作效率为360÷12＝30（t/天），
第二小队再次开工后的工作效率为30×2＝60（t/天），调运物资为60×2＝120（t），
即点E的坐标为（10，120），所以点F的纵坐标为120．
将y＝120代入y＝﹣30x+360，可得x＝8，
即点F的坐标为（8，120）．
点F的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120t；

（2）120÷30＝4（天），
5+4＝9（天）．
故答案为9．
26．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝＝10．
∵DE⊥AB，
∴∠EDA＝90°．
∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，
∴△AED∽△ABC，
∴＝．
∴AE＝•AB＝5．
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3．
∵DE⊥AB，
∴∠DEF＝90°．
∵∠EDA＝∠DEF＝90°，
∴EF∥AB．
∴△CEF∽△ACB，
∴＝．
∴EF＝•AB＝．
（2）设AD＝x．
∵△AED∽△ABC，
∴＝＝．
∴DE＝•BC＝x，AE＝•AB＝x．
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣x．
∵△CEF∽△ACB，
∴＝．
∴EF＝•AB＝10﹣x．
∴S△DEF＝ DE•EF＝﹣ x2+x＝﹣（x﹣）2+6．
∴当x＝时，S△DEF取最大值为6．
因此，△DEF的面积的最大值为6．
（3）如图，以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，

设AD＝t，则点D坐标（t，0），点E（t，t），点F（10﹣t，t）
∵点O是DF的中点，
∴点O（5+t，t）
∴点O在直线y＝上运动，
∵过点D作DE⊥AB交边AC于点E，
∴0≤t≤
∴当t＝0时，点O坐标为（5，0）
当t＝时，点O坐标为（，）
∴点O的运动路径的长度＝＝
故答案为：
27．解：（1）如图2，
在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，
∵点F是的中点，FA＝FB，
在△FAG和△FBC中，，
∴△FAG≌△FBC（SAS），
∴FG＝FC，
∵FE⊥AC，
∴EG＝EC，
∴AE＝AG+EG＝BC+CE；

（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，
理由：如图3，
在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，
∵点F是的中点，
∴FA＝FB，，
∴∠FCG＝∠FCB，
在△FCG和△FCB中，，
∴△FCG≌△FCB（SAS），
∴FG＝FB，
∴FA＝FG，
∵FE⊥AC，
∴AE＝GE，
∴CE＝CG+GE＝BC+AE；

（3）如图3，
在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝2，AC＝2，
当点P在弦AB上方时，
在CA上截取CG＝CB，连接PA，PB，PG，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝45°，
∴∠PBA＝45°＝∠PAB，
∴PA＝PB，∠PCG＝∠PCB，
在△PCG和△PCB中，，
∴△PCG≌△PCB（SAS），
∴PG＝PB，
∴PA＝PG，
∵PH⊥AC，
∴AH＝GH，
∴AC＝AH+GH+CG＝2AH+BC，
∴2＝2AH+2，
∴AH＝﹣1，
当点P在弦AB下方时，如图5，
在AC上截取AG＝BC，连接PA，PB，PC，PG
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝45°，
∴∠PBA＝45°＝∠PAB，
∴PA＝PB，
在△PAG和△PBC中，，
∴△PAG≌△PBC（SAS），
∴PG＝PC，
∵PH⊥AC，
∴CH＝GH，
∴AC＝AG+GH+CH＝BC+2CH，
∴2＝2+2CH，
∴CH＝﹣1，
∴AH＝AC﹣CH＝2﹣（﹣1）＝+1，
即：当∠PAB＝45°时，AH的长为﹣1或+1．