2020_2021学年高中数学课时分层作业12奇偶性的应用新人教A版必修1 练习

课时分层作业(十二)　奇偶性的应用

(建议用时：60分钟)

一、选择题

1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝－x2＋2x－3　 B．f(x)＝－x2－2x－3

C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3

B　[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.]

2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)

A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)

B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)

C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)

D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)

C　[∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.]

3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，0] B．[0，＋∞)

C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)

A　[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．]

4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是(　　)

A．这个函数仅有一个单调增区间

B．这个函数有两个单调减区间

C．这个函数在其定义域内有最大值是7

D．这个函数在其定义域内有最小值是－7

C　[根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C.

]

5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)

A.　B.　C.　D.

A　[由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒<x<，故选A.]

二、填空题

6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.

＋1　[∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝＋1，

∴当x＜0时，－x＞0，

f(x)＝f(－x)＝＋1，

即x＜0时，f(x)＝＋1.]

7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 019，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．

2 019　[由于偶函数的图象关于y轴对称，

所以f(x)在对称区间内的最值相等．

又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 019，

故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 019.]

8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．

f(－2)<f(1)<f(0)　[当m＝1时，

f(x)＝6x＋2不合题意；

当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0，

∴f(x)＝－x2＋2，

∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．

又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．]

三、解答题

9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.

[解]　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，

∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得

f(1－x)<－f(1－2x)，

∴f(1－x)<f(2x－1)．

又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，

∴解得0<x<，

∴原不等式的解集为.

10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．

[解]　F(x)在(－∞，0)上是减函数．

证明如下：

任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0.

因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，

所以f(－x2)<f(－x1)<0，  ①

又因为f(x)是奇函数，

所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)， ②

由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是

F(x1)－F(x2)＝>0，

即F(x1)>F(x2)，

所以F(x)＝在(－∞，0)上是减函数．

1．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是(　　)

A．y＝|x| B．y＝1－x

C．y＝ D．y＝－x2＋4

A　[选项B中，函数不具备奇偶性；选项C中，函数是奇函数；选项A，D中的函数是偶函数，但函数y＝－x2＋4在区间(0,1)上单调递减．故选A.]

2．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)

A．最大值－ B．最大值

C．最小值－ D．最小值

B　[法一(奇函数的图象特征)：当x<0时，

f(x)＝x2＋x＝－，

所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数，

所以当x>0时，f(x)有最大值.

法二(直接法)：当x>0时，－x<0，

所以f(－x)＝－x(1－x)．

又f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－＋，

所以f(x)有最大值.故选B.]

3．如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝

________.

2x＋3　[当x<0时，－x>0，F(－x)＝－2x－3，

又F(x)为奇函数，故F(－x)＝－F(x)，

∴F(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.]

4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为________．

{x|－3<x<0或x>3}　[∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，

∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，

∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，f(x)<0，解得x>3；

当x<0时，f(x)>0，解得－3<x<0.]

5．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.

(1)求b值；

(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

[解]　(1)因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，

所以f(0)＝0，解得b＝0.

(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是单调递增的，

因为f(m)＋f(m－1)>0，

所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，

所以m－1>－m，  ①

又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0

在函数f(x)定义域范围内有意义．

所以  ②

解①②得<m≤2，所以m的取值范围为.