2020届云南省昆明市第一中学高中新课标高三第一次摸底测试数学（文）试题（解析版）

2020届云南省昆明市第一中学高中新课标高三第一次摸底测试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求集合，然后求.

【详解】

因为，所以，选B.

【点睛】

本题考查了集合的交集.

2．若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】复数，然后化简.

【详解】

，选B.

【点睛】

本题考查了复数的运算，属于简单题型.

3．中秋佳节即将来临之际，有3名同学各写一张贺卡，混合后每个同学再从中抽取一张，则每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】记3名同学及他们所写贺卡分别为，写出所有他们拿到的贺卡的排列方式的基本事件并记录总数，找出满足条件的对应都不同的基本事件个数，由古典概型概率公式计算求得答案.

【详解】

记3名同学及他们所写贺卡分别为，则他们拿到的贺卡的排列方式分别为，，，，，，共6种， 其中对应位置字母都不同的有，， 共2种，则所求概率，

故选：D

【点睛】

本题考查古典概型问题，属于简单题.

4．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为的样本参加活动，其中高三年级抽了人，高二年级抽了人，则该校高一年级学生人数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先计算高一年级抽取的人数，然后计算抽样比，再计算高一年级的总人数.

【详解】

因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为的样本，其中高三年级抽人，高二年级抽人，所以高一年级要抽取人，因为该校高中学共有名学生，所以各年级抽取的比例是，所以该校高一年级学生人数为人，选C.

【点睛】

本题考查了分层抽样，属于简单题型.

5．椭圆+=1（0＜m＜4）的离心率为，则m的值为（　　）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【解析】利用椭圆方程，结合离心率公式求解即可．

【详解】

解：椭圆=1（0＜m＜4）的离心率为，

可得，解得m=2．

故选：C．

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．

6．函数在上的最大值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】由辅助角公式整理，再在三角函数中由内到外求值域，即可求得答案.

【详解】

因为，所以，

所以，所以在上的最大值为1，

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数求值域，常借助三角恒等变换与辅助角公式化为同一个角的三角函数处理，属于简单题.

7．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．-3 B．3 C．-6 D．6

【答案】B

【解析】将已知由等差数列前n项和公式表示，再由等差数列项的下标的性质整理，运算求得答案.

【详解】

因为，所以，所以，则，

故选：B

【点睛】

本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的前n项和公式，属于简单题.

8．在正方体中，为的中点，为的中点，则（   ）

A． B．

C．平面 D．平面

【答案】D

【解析】分析选项，得到正确结果.

【详解】

连结，，则为的中点，所以，因为，，，所以平面，所以平面，选D.

【点睛】

本题考查了几何体里面的线线和线面的位置关系，考查空间想象能力，以及逻辑推理能力，本题的关键是能证明.

9．已知函数，若是的一个极小值点，且，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先求函数的导数，，再结合已知求解，注意不要忘了验证是极小值点.

【详解】

由，得，又，则，若，则，此时，是的一个极大值点，舍去；

若，则，此时，是的一个极小值点，满足题意，故，选C.

【点睛】

本题考查了根据函数的极值点求参数，属于简单题型，本题的一个易错点是忘记回代验证是极小值点.

10．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据程序框图，顺着流程线依次代入循环结构，得到结果.

【详解】

第一次循环：，：第二次循环：，；

第三次循环：，；第四次循环：，；

第五次循环：，，此时循环结束，可得.选A.

【点睛】

本题考查了循环结构，顺着结构图，依次写出循环，属于简单题型.

11．若点P在不等式组内，点在曲线上，那么的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图作出满足约束条件的可行域和圆的图像，显然的最小值即为可行域中的点到圆上的最小距离，转化为到圆心的距离减半径，观察图像即可求得答案.

【详解】

如图作出满足约束条件的可行域和曲线，

的最小值即为可行域中的点到圆上的最小距离

故选：D

【点睛】

本题考查线性规划问题中目标函数为距离型问题，属于中档题.

12．偶函数在上为减函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】偶函数满足，所以函数化简为，再根据的单调性去绝对值，转化为和在上恒成立，求出的取值范围.

【详解】

因为为偶函数，由题意可知，，在上为增函数，所以，从而在恒成立，可得且，所以，选D.

【点睛】

本题考查了根据偶函数和单调性解抽象不等式，以及一元二次不等式恒成立的问题，需注意偶函数解抽象不等式时，需根据公式化简，根据的单调性去绝对值.

二、填空题

13．已知，，且，则_____

【答案】

【解析】因为由构建方程，解得答案.

【详解】

因为， 所以，.

故答案为：

【点睛】

本题考查由平面向量垂直的坐标表示求参数，属于基础题.

14．已知等比数列的各项都是正数，，，则的公比为_____.

【答案】

【解析】由等比数列下标的性质且的各项都是正数，可求得，再由，求得答案.

【详解】

因为为各项都是正数的等比数列，

所以由，得 且.，则

故答案为：

【点睛】

本题考查等比数列的性质求项，进而求公比，属于简单题.

15．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线的右支于，两点，若，则双曲线的离心率为_________.

【答案】.

【解析】根据已知条件可知，那么，然后进一步求出，根据双曲线的定义可知，求出离心率.

【详解】

设与轴交于点，则，所以，

所以，所以，所以，

所以双曲线的离心率.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求法，本题的重点是利用半径等于，根据平面几何的性质将和都表示成与有关的量，然后根据双曲线的定义求解.

在圆锥曲线中求离心率的方法：（1）直接法，易求的比值；（2）构造法，根据条件构造成关于的齐次方程；（3）几何法，利用椭圆和其他平面图形的一些几何性质，找到等量关系，求离心率.

16．在三棱锥中，平面平面，和均为边长为的等边三角形，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________.

【答案】.

【解析】因为和是全等的等边三角形，所以取中点，连接，过两个三角形外接圆的圆心做的高，交点就是外界球的球心，根据所构造的平面图形求半径，最后求球的表面积.

【详解】

由题意可知，设和的外心的半径为，，

则，，，，，

，，

所以球的表面积为.

【点睛】

本题考查了几何体外接球的表面积的求法，考查了空间想象能力，以及转化与化归和计算能力，属于中档题型，这类问题，需先确定球心的位置，一般可先找准底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，垂线上的点到底面各顶点的距离相等，然后再满足某点到顶点的距离也相等，找到球心后，利用球心到底面的距离，半径和顶点到底面中心的距离构造直角三角形，求半径.

三、解答题

17．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：

甲样本数据直方图

乙样本数据直方图

已知乙样本中数据在的有个.

（1）求和乙样本直方图中的值；

（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.

【答案】（1），；

（2）81.5,82.5.

【解析】（1）首先计算乙样本中数据在的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；

【详解】

（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，而这个组学生有人，则，得.

由乙样本数据直方图可知，

故.

（2）甲样本数据的平均值估计值为

.

由（1）知，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为

，

前四组的频率之和为，

故乙样本数据的中位数在第组，则可设该中位数为，

由得

，故乙样本数据的中位数为.

根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为.

【点睛】

本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是.

18．已知在中，，.

（1）求的值；

（2）若，的平分线交于点，求的长.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】（1）根据正弦定理边角互化可知，利用，代入，整理求；（2），利用，，最后中利用正弦定理求的长.

【详解】

（1）因为，所以.

，可得.

（2）因为是角平分线，所以，

由，可得，，

所以，

由可得.

【点睛】

本题考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换解三角形，常用公式，以及两角和或差的三角函数，辅助角公式等转化，考查了转化与化归的思想，以及计算能力的考查.

19．图1是由正方形，直角梯形，三角形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.

（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；

（2）求图2中的点到平面的距离.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）由平行的传递性可证得，即可说明四点共面；由和直角梯形可知，利用线面垂直的判定定理可证得平面，进而，分别在直角梯形和直角梯形中由勾股定理求得和，再由勾股定理逆定理可知，从而平面，即可证得平面平面.

（2）计算等腰直角三角形中边上的高，由线面平行的性质可知，点到平面的距离，分别计算三角形的面积和的面积，由等体积法构建方程，可求得点到平面的距离.

【详解】

（1） 证明：因为正方形中，，梯形中，， 所以，

所以四点共面；

因为， 所以， 因为，

所以平面，

因为平面， 所以，

在直角梯形中，，可求得，

同理在直角梯形中，可求得，

又因为，

则，

由勾股定理逆定理可知，

因为， 所以平面，

因为平面，

故平面平面， 即平面平面.

（2）在等腰直角三角形中，边上的高为1， 所以点到平面的距离等于1，

因为与平面平行， 所以点到平面的距离，

三角形的面积，

中，边上的高为，

又因为的面积，

设点到平面的距离为，由三棱锥的体积，

得， 故点到平面的距离为.

【点睛】

本题考查空间中平面与平面垂直的证明，空间中四点共面的证明，还考查了利用等体积法求点到面的距离问题，属于较难题.

20．过的直线与抛物线交于，两点，以，两点为切点分别作抛物线的切线，，设与交于点.

（1）求；

（2）过，的直线交抛物线于，两点，证明：，并求四边形面积的最小值.

【答案】（1）（2）见解析，最小值为32.

【解析】（1）设直线，联立直线l与抛物线方程，由韦达定理可得根与系数的关系，利用导数的几何意义表示，的斜率，进而表示，的方程，联立两直线的方程表示交点坐标，即可求得答案；

（2）由两点坐标分别表示，由可知，由抛物线的焦点弦弦长公式表示和，因为，所以由表示四边形的面积，最后由均值不等式求得最小值.

【详解】

（1）设，直线，

所以，得，所以，

由，所以，

即，同理，联立得

即.

（2）因为，

所以，

， 即，

，同理，

当且仅当时， 四边形面积的最小值为32.

【点睛】

本题考查椭圆的焦点弦问题，还考查了借助导数的几何意义表示切线方程以及平面图形面积的最值问题，属于难题.

21．已知函数在区间内没有极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）若函数在区间的最大值为且最小值为，求的取值范围.

参考数据：.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）对函数求导，因为，所以，令，对其求导利用分类讨论参数的取值范围进而研究的单调性，其中当，单调性唯一，满足条件，当，导函数存在零点，原函数由极值点不满足条件，综上得答案；

（2）由（1）可知的单调性，利用分类讨论当，在上单调递增，即可表示M，m，从而表示，视为关于的函数，可求得值域，同理当时，可求得的值域，比较两类结果的范围，求得并集，即为答案.

【详解】

（1）因为函数，求导得，

令，

则，则在上单调递增，

①.若，则，则在上单调递增，

②.若，则，则，则在上单调递减；

③.若，则，又因为在上单调递增，结合零点存在性定理知：存在唯一实数，使得，

此时函数在区间内有极小值点，矛盾.

综上，

（2）由（1）可知，，，

①.若，则在上单调递增，则，，

则是关于的减函数，故；

②.若， 则在上单调递减，则，而；

则是关于的增函数，故；

因为，故，

综上，

【点睛】

本题考查由极值关系利用导数求得参数的取值范围，还考查了在分类讨论思想下研究最值差的范围问题，属于难题.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点为曲线上的动点，求中点到直线的距离的最小值

【答案】（1），；

（2）.

【解析】（1）两式相减，消去后的方程就是直线的普通方程，利用转化公式， ，极坐标方程化为直角坐标方程；（2），然后写出点到直线的距离公式，转化为三角函数求最值.

【详解】

（1）直线的普通方程为：，由线的直角坐标方程为：.

（2）曲线的参数方程为（为参数），

点的直角坐标为，中点，

则点到直线的距离，

当时，的最小值为，

所以中点到直线的距离的最小值为.

【点睛】

本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将距离的最值转化为三角函数问题，意在考查转化与化归的思想，以及计算求解的能力，属于基础题型.

23．已知正数，，满足等式.

证明：（1）；

（2）.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【解析】（1）采用分析法证明，要证明不等式成立，只需证明，展开以后利用基本不等式证明；（2）利用，再利用第一问的结论，即可证明.

【详解】

（1）要证不等式等价于，因为

，

所以，当且仅当时取等号.

（2）因为，所以，

又因为，，.所以，

所以，当且仅当时取等号.

【点睛】

本题考查了利用基本不等式证明不等式，考查了学生分析问题和类比推理的能力，属于中档题型.