2020届云南省陆良县高三上学期第二次适应性考试数学（理）试题（解析版）

2020届云南省陆良县高三上学期第二次适应性考试数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】A

【解析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．

【详解】

解：，，

．

故选：A．

【点睛】

本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．已知为实数，若复数为纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．

【详解】

＝，∵复数是纯虚数，∴且

得且≠，即，

故选D．

【点睛】

本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．

3．的值等于(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解，得到答案．

【详解】

由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，

可得，故选B．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的应用，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

4．若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】易知，，，∴，故选B.

5．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案.

【详解】

由题意，边长为2的正方形的孔的面积为，

又由半径为2的圆形纸板的面积为，

根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为，

故选D.

【点睛】

本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】

解：当时，，，满足进行循环的条件，

当时，，满足进行循环的条件，

当时，，满足进行循环的条件，

当时，，不满足进行循环的条件，

故输出的n值为4，

故选：B．

【点睛】

本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

7．的展开式中，含的项的系数是（）

A．-40 B．-25 C．25 D．55

【答案】B

【解析】写出二项式的展开式中的通项，然后观察含的项有两种构成，一种是中的1与中的二次项相乘得到，一种是中的与中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果。

【详解】

二项式的展开式中的通项，含的项的系数为，故选B.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

8．函数的图象大致为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先判断函数为奇函数，再求出即可判断

【详解】

，

则函数为奇函数，故排除，

当时，，故排除，

故选．

【点睛】

本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.

9．等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，得到，再由裂项相消法即可求出结果.

【详解】

设等差数列的公差为，

由，，可得，所以，因此，

所以，

所以 .

故选B

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.

10．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先求出抛物线焦点坐标，可知双曲线；再由双曲线截抛物线的准线所得线段长为，由双曲线的对称性可知点在双曲线上，代入即可求解.

【详解】

由题易知抛物线的焦点坐标为，则双曲线的一个焦点坐标为，

因为抛物线的准线方程为，双曲线截抛物线的准线所得线段长为，

所以点在双曲线上，可得，可得 ，

所以，即

故选：A

【点睛】

本题主要考查抛物线与双曲线的定义和性质以及双曲线的对称性，需熟记并理解双曲线与抛物线的定义和性质，属于基础题.

11．已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的体积为（ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】试题分析：因为，，，所以的中点为的外心，连接，则，又和所在的平面互相垂直，所以

平面，上的每一点到距离相等，因此正三角形的中心即是外接球球心，其半径也是外接球半径，所以球半径，求体积为 ，故选C.

【考点】1、外接球的性质及勾股定理；2、面面垂直及球的体积公式.

【方法点睛】本题主要考查外接球的性质及勾股定理、面面垂直及三棱锥外接球体积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.本题是根据方法④直接找出球心并求出半径进而得到求体积的.

12．已知函数 若函数有个零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

时，，由，得，由，得，在上递增，在上递减，时，，且 时， 画出的图象如图，由图知时，与有三个交点，此时有三个零点，所以实数取值范围是，故选A.

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数的图象以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

二、填空题

13．已知x，y满足不等式组，则的最小值为______．

【答案】2

【解析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解．

【详解】

解：，的几何意义为动点到原点距离的平方．

作出x，y满足不等式组对应的平面区域如图：

由图可知：原点到直线的距离为可行域内动点到原点距离的最小值．

由点到直线距离公式得，

的最小值为．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

14．曲线在处的切线的倾斜角为__________．

【答案】

【解析】首先求出，根据导数的几何意义即可求解.

【详解】

由，

所以

所以

即处的切线的斜率为

故切线的倾斜角为   

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义以及求导公式，需熟记基本初等函数的导数公式和运算法则，理解导数的几何意义.

15．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则_________．

【答案】150

【解析】根据等比数列前项和的性质成等比数列，建立方程关系即可求解.

【详解】

在等比数列中，

，，

也成等比数列，

即成等比数列，

 解得

 故答案为：

【点睛】

本题主要考查等比数列前项和以及性质的应用，要熟练掌握等比数列项和公式和性质以及等比数列的基本运算，考查学生的运算能力.

16．已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为_________．

【答案】16

【解析】首先根据圆和圆的标准方程，作差求出两圆的公共弦所在的直线方程，

结合点在该公共弦上得到，然后把变形为

，展开后利用基本不等式即可求解.

【详解】

根据题意，圆和圆，两圆作差可得

其公共弦所在的直线方程为，

又由点在两圆的公共弦上，则，

当且仅当且，即时等号成立，

的最小值为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查圆的公共弦所在的直线方程、基本不等式求最值，属于基础题.

三、解答题

17．已知，设．

（1）求的解析式并求出它的周期．

（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．

【答案】（1），周期为；（2）．

【解析】（1）先根据向量的运算规则求解，然后化简可求；

（2）先求角，结合余弦定理求出，可得面积.

【详解】

（1）由，

则＝，

即函数的周期，

故，周期为．

（2）因为，

所以，

所以，

又，

所以，

所以，

又，

由余弦定理得：

，

所以，

所以，

即.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质和利用余弦定理求解三角形，侧重考查数学运算的核心素养.

18．如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在的平面，垂足为，，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）先证明平面，再证明后即可得平面，即可得证；

（2）建立空间坐标系后分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，求出后即可得解.

【详解】

（1）证明：因为是半圆的直径，所.

因为垂直于所在的平面，，

所以，所以平面.

因为，且，

所以四边形为平行四边形.

所以，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）由题意，，、、两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，所以，，，.

设平面的一个法向量为，

则即

令，则.

设平面的一个法向量为，

则即

则，

则. 

因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定与空间向量的应用，考查了计算能力，属于中档题.

19．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：

（1）假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？

（2）某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量X表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求X的分布列与数学期望．

【答案】（1）220元；（2）分布列见解析，；

【解析】（1）分别计算小明调整前后的税收，实际收入比调整前增加的为税收减少的部分

（2）由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人，X的取值可能值0，1，2，3；列出分布列，利用期望定义公式计算即可．

【详解】

解：（1）按调整起征点前应纳税为：；

按调整起征点后应纳税为：；；

所以小明实际收入增加了220元；

（2）由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人，

X的取值可能值0，1，2，3；

；

；

；

；

所以X的分布列为：

；

【点睛】

本题考查了税收的计算，离散型随机变量的概率分布列和期望的计算，属于基础题．

20．已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.

（1）求该椭圆的方程.

（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）的面积为定值1.

【解析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，求，点到直线的距离，写出三角形面积，化简即可求证.

【详解】

由，又由于，一个长轴顶点在直线上，

可得：，，.

（1）故此椭圆的方程为.

（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，

联立椭圆的方程得：，

由，可得，

则，，

，

又点到直线的距离，

，

由于，

可得：，

故，

当直线的斜率不存在时，可算得：，

故的面积为定值1.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.

21．已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.

【答案】（1）当时， 的递增区间为；

当时，的递增区间为，，递减区间为；

当时，的递增区间为，，递减区间为；

（2）见解析

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间即可.

（2）问题转化为，令 ，根据函数的单调性证明即可.

【详解】

（1）由题意，函数的定义域为,

当时，恒成立，故的递增区间为；

当时，在区间，时，时，

所以的递增区间为，，递减区间为；

当时，在区间，时，时，

所以的递增区间为，，递减区间为；

综上所述，当时， 的递增区间为；

当时，的递增区间为，，递减区间为；

当时，的递增区间为，，递减区间为；

（2）当时，由,只需证明.

令 ，.

设，则.

当时，，单调递减;

当时，，单调递增,

∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.

的最小值是 成立.

故成立.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的单调区间，导函数在证明不等式中的应用，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.

22．已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于,两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1），；（2）存在，

【解析】（1）消去参数可求出直线的普通方程，利用极坐标公式可求出曲线的直角坐标方程.

（2）求出圆心到直线的距离，根据垂径定理即可求解.

【详解】

（1）消由  

直线的普通方程为

由，

曲线的直角坐标方程为

（2）由于曲线的直角坐标方程为，则圆心，，

所以圆心到直线的距离 ，

根据垂径定理可得，即，

可求得，

实数.

【点睛】

本题主要了参数方程、极坐标方程化为普通方程以及直线与圆相交的弦长问题，考查了学生的运算能力，属于中档题.

23．已知，，，函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的最小值为，求的值，并求的最小值．

【答案】（1）；（2）3

【解析】（1）当时,不等式化为即解．

对与的大小关系分类讨论即可得出.

（2）由绝对值三角不等式与柯西不等式即可求解.

【详解】

（1）当时,不等式即，化为．

当时，化为：，解得；

当时，化为：，化为：，解得；

当时，化为：，解得．

综上可得：不等式的解集为：；

（2）由绝对值三角不等式得

，

由柯西不等式得

，当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为．

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式、柯西不等式，考查学生的灵活分析问题的能力、运算能力.