2020届云南省曲靖市第一中学高三第二次模拟考试数学（理）试题
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数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）
1. 已知集合，集合，则=（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数是纯虚数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 定义运算，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4. 抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A． B． C． D．
6. 若是的充分不必要条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31，
则①处应填的数字为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
8. 已知满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9. 已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
10．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
11. 已知的值域为,当正数满足时,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数,若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）
13. 的展开式中的系数为______.
14. 在平行四边形中，，,则的值为_____.
15. 在直三棱柱内有一个与其各面都相切的，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为______.
16. 在数列中，，，则数列的通项公式______.
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每
道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本小题满分12分）已知函数
(1) 当时，求函数的值域；
(2) 的角的对边分别为且 求边上的高的
最大值.
18.（本小题满分12分）如图，三棱锥中，
,
(1) 证明：；
(2) 求二面角的余弦值．
19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：
研发费用（百万元） | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 15 | 18 | 21 |
销量（万盒） | 1 | 1 | 2 | 2.5 | 3.5 | 3.5 | 4.5 | 6 |
（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．
附：（1）相关系数
（2），，，．
20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆的左右焦点分别为，离心率是直线上的两个动点，且满足.
(1) 若，求的值；
(2) 证明：当取最小值时，与共线．
21.（本小题满分12分）设函数，且函数在处的切线与直线平行.
(1) 求的值；
(2) 若函数，求证：恒成立.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.
23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
已知函数，（其中）
(1) 求函数的最小值.
(2) 若，求证：.
曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答 案 | C | B | A | A | D | B | C | D | C | D | A | D |
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.40 14. -3 15. 16.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17.（本小题满分12分）
解：(1)=
函数的值域为(6分)
(2)
的最大值为(12分)
18.（本小题满分12分）
解：(1)取AB中点O，连结PO，OC.
∵PA＝PB，∴PO⊥AB，
∵PB=AP＝
∴PO＝，CO＝1
∴∠POC为直角
∴PO⊥0C
∴PO⊥平面ABC，∴面PAB⊥面ABC（6分）
(2)如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，P(0,0，)，C(0,1,0)，可取m＝＝(0,1,0)为平面PAB的一个法向量．
设平面PAC的一个法向量为n＝(l，m，n)．
则·n＝0，·n＝0，其中＝(1,0，－)，＝(－1,1,0)，
∴∴
不妨取l＝，则n＝(，，1)．
cos〈m，n〉＝
＝＝.
∵C－PA－B为锐二面角，
∴二面角C－PA－B的余弦值为.（12分）
19.（本小题满分12分）
【详解】
解：（1）由题意可知，
，
由公式，
，∴与的关系可用线性回归模型拟合；
（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为
，，，
由题意， ，
.
20.（本小题满分12分）
解：由e＝，得b＝c＝a，所以焦点F1(－a,0)，F2(a,0)，直线l的方程为x＝a，设M(a，y1)，N(a，y2)，
(1)∵||＝||＝2，∴a2＋y＝20，a2＋y＝20，消去y1，y2，得a2＝4，故a＝2，b＝.（6分）
(2)|MN|2＝(y1－y2)2＝y＋y－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝6a2.
当且仅当y1＝－y2＝a或y2＝－y1＝a时，|MN|取最小值a，
此时，＋＝(a，y1)＋(a，y2)＝(2a，y1＋y2)＝(2a,0)＝2，故＋与共线.（12分）
21.（本小题满分12分）
解：(1)
，解得.(4分)
(2) 得，变形得
令函数
令解得
当时，时.
函数在上单调递增，在上单调递减
而函数在区间上单调递增
即
即
恒成立（12分）
22．（本小题满分10分）
解：（1）消去参数，得直线的普通方程为，
将两边同乘以得，，
∴圆的直角坐标方程为；
（2）经检验点在直线上，可转化为①，
将①式代入圆的直角坐标方程为得，
化简得，
设是方程的两根，则，，
∵，∴与同号，
由的几何意义得.
23.（本小题满分10分）
解: (1)
(2)证明：为要证
只需证， 即证，
也就是，即证，即证，
∵，
∴，故即有，
又 由可得成立，
∴ 所求不等式成立．
