2020届云南省曲靖市第一中学高三第二次模拟考试数学（文）试题

曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）

1. 已知集合，集合，则=（   ）

A．        B．    C．       D．

2. 若复数是纯虚数，则在复平面内对应的点在（   ）

A．第一象限         B．第二象限            C．第三象限             D．第四象限 

3. 在平行四边形中，，,则的值为（   ）

A．              B．                 C．                   D．

4. 定义运算，则函数的图象大致为（   ）

A．                 B．                    C．                     D．

5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（   ）

A． B． C． D．

6. 若是的充分不必要条件，则是的（   ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充分必要条件     D．既不充分也不必要条件

7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31，

则①处应填的数字为（   ）

A．3                 B．4      

C．5                 D．6

8. 已知满足，则的取值范围为（   ）

A．            B．   

C．  D．

9. 抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（   ）

A．      B．    C．      D．

10. 已知变量与变量的取值如下表所示，且，则由该数据算得的线性回归方程可能是（   ）

A． B．       C．       D．

11. 已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（   ）

A．6                 B．3               C．          D．

12. 函数是上的偶函数，,当时，,则函数的零点个数为（   ）

A．10                B．8             C．5                  D．3

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）

13. 函数恒过点______.

14. 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，若顶点在双曲线的左支上，则＝______.

15. 在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球，若,，,则球的表面积为______.

16. 在数列中，，，则数列的通项公式______.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每

道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17.（本小题满分12分）从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1) 由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；

(2) 在这50名男生身高不低于176 cm的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180，184]内的概率.

18.（本小题满分12分）已知函数

(1) 当时，求函数的值域；

(2) 的角的对边分别为且 求边上的高的最大值.

19. （本小题满分12分）等腰梯形中，,是的中点．将沿折起后，使二面角成直二面角，设是的中点，是棱的中点．

(1) 求证：；

(2) 求证：平面平面；

(3) 判断能否垂直于平面，并说明理由．

20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆的左右焦点分别为，离心率是直线上的两个动点，且满足.

(1) 若，求的值；

(2) 证明：当取最小值时，与共线．

21. （本小题满分12分）设函数，.

(1) 求函数最大值；

(2) 求证：恒成立.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：

（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.

23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

已知函数，（其中）

（1）求函数的最小值；

（2）若，求证：.

曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试

数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（4，1），（6,1）      14.      15.       16.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分）

17.（本小题满分12分）

6解：(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生身高的中位数为168.25 (4分)

(2)由频率分布直方图知，后2组频率为(0.02＋0.01)×4＝0.12，人数为0.12×50＝6，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为6.（8分）

身高介于[176，180]的有4人,用1,2,3,4表示, 身高介于[180，184]的有2人,用a,b表示,从中任取2人的基本事件有（1,2）（1,3）（1,4）（1,a）（1,b）（2,3）（2,4）（2,a）（2,b）（3,4）（3,a）（3,b）（4,a）（4,b）（a,b）. 恰有一人身高在[180，184]内的基本事件有（1,a）（1,b）（2,a）（2,b）（3,a）（3,b）（4,a）（4,b）.

所以,恰有一人身高在[180，184]内的概率为（12分）

18.（本小题满分12分）

解：(1)=

函数的值域为(6分)

(2)

         的最大值为(12分)

19.（本小题满分12分）

(1)证明：设AE中点为M，

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，

∴△ABE与△ADE都是等边三角形．

∴BM⊥AE，DM⊥AE.

∵BM∩DM＝M，BM、DM⊂平面BDM，∴AE⊥平面BDM.

∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD.(4分)

 (2)证明：连结CM交EF于点N，∵MEFC，

∴四边形MECF是平行四边形．∴N是线段CM的中点．

∵P是BC的中点，∴PN∥BM.

∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.

又∵PN⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.（8分）

(3)DE与平面ABC不垂直．

证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，

∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.

∵AB∩BM＝B，AB、BM⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE.

∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．

∴DE与平面ABC不垂直．（12分）

20.（本小题满分12分）

解：由e＝，得b＝c＝a，所以焦点F1(－a,0)，F2(a,0)，直线l的方程为x＝a，设M(a，y1)，N(a，y2)，

 (1)∵||＝||＝2，∴a2＋y＝20，a2＋y＝20，消去y1，y2，得a2＝4，故a＝2，b＝.（6分）

(2)|MN|2＝(y1－y2)2＝y＋y－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝6a2.

当且仅当y1＝－y2＝a或y2＝－y1＝a时，|MN|取最小值a，

此时，＋＝(a，y1)＋(a，y2)＝(2a，y1＋y2)＝(2a,0)＝2，故＋与共线.（12分）

21.（本小题满分12分）

解：(1)

令解得

当时，时.

函数在上单调递增，在上单调递减

（6分）

(2)而函数在区间上单调递增

恒成立（12分）

22．（本小题满分10分）

解：（1）消去参数，得直线的普通方程为，

将两边同乘以得，，

∴圆的直角坐标方程为；

（2）经检验点在直线上，可转化为①，

将①式代入圆的直角坐标方程为得，

化简得，

设是方程的两根，则，，

∵，∴与同号，

由的几何意义得.

23.（本小题满分10分）

解: (1)

（5分）

(2)证明：为要证

只需证，  即证，

也就是，即证，即证，

∵，

∴，故即有，

又 由可得成立，

∴ 所求不等式成立．（10分）