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2020届浙江省高考冲刺抢分练高考仿真卷(三) 数学(解析版)
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2020届浙江省高考冲刺抢分练高考仿真卷(三) 数学(解析版)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.已知集合A={x∈Z|x≤0},B=,则A∩B等于( )
A.{x|-1≤x≤0} B.{x|x≤6}
C.{0,1,2,3,4,5,6} D.{0,-1}
答案 D
解析 A={x∈Z|x≤0},B={x|-1≤x≤6},则A∩B={0,-1}.
2.若双曲线-y2=1(a>0)的实轴长为2,则其渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
答案 A
解析 双曲线的实轴长为2,得a=1,又b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
3.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线.
①若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;
②若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;
③若l∥m,m⊥α,n⊥α,则n∥l;
④若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥m.
则上述命题中正确的是( )
A.①② B.①④ C.③④ D.②③
答案 D
解析 对于①,当m,n相交时,才能得到l⊥α,①错误;对于②,由l∥m,m∥n得l∥n,又因为l⊥α,所以n⊥α,②正确;对于③,因为m⊥α,n⊥α,所以m∥n,又因为l∥m,所以n∥l,③正确;对于④,直线l与m可能相交、平行或互为异面直线,④错误.综上所述,正确命题的序号为②③.
4.函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于直线x=对称,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=sin B.f(x)=sin
C.f(x)=sin D.f(x)=sin
答案 D
解析 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,
所以=π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),
将该函数的图象向右平移个单位长度后,
得到图象所对应的函数解析式为
y=sin=sin,
由此函数图象关于直线x=对称,得
2×+φ-=kπ+,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z,
取k=0,得φ=-,满足|φ|<,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
5.函数f(x)=的图象大致为( )
答案 A
解析 由题意知,函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}且满足f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除C,D项;又由当x∈(0,1)时,函数f(x)的值小于0,排除B项,故选A.
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a1>0”是“S3>S2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q,S3>S2⇔a3>0⇔a1q2>0⇔a1>0,故选C.
7.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球.现从中有放回的摸取4次,每次都是随机摸取一个球,设摸得白球个数为X,若D(X)=1,则E(X)等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 设摸取一次摸得白球的概率为p,则易得X~B(4,p),D(X)=4p(1-p)=1,解得p=,则E(X)=4×=2.
8.将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球,放入编号为1,2,…,7的七个盒子中,每一个盒子至多放2个球,则不同的放法有( )
A.98种 B.196种 C.252种 D.336种
答案 D
解析 3个球放入编号为1,2,…,7的七个盒子中,每个盒子至多放2个球,应采用排除法,每个球放入盒子的放法各有7种,共73种,排除3个球放在同一个盒中的7种放法,则共有73-7=336(种)放法.
9.已知向量a,b满足|a|=|a+b|=2,则|2a+b|+|b|的最大值为( )
A.4 B.4 C.4+2 D.8
答案 B
解析 记a+b=m,则|a|=|m|=2,|2a+b|+|b|=|a+m|+|m-a|≤=2=4,当且仅当|a+m|=|m-a|,即a·(a+b)=0,a·b=-4时,取等号,则所求的最大值为4.
10.已知偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=ax2-bx+c,a,b,c∈N*.若函数f(x)在[-100,100]上有400个零点,则a+b+c的最小值为( )
A.5 B.8 C.11 D.12
答案 C
解析 由f(1-x)=f(1+x),得f(x+2)=f(-x)=f(x),则函数f(x)是以2为周期的周期函数,函数f(x)在[-100,100]上有400个零点等价于函数f(x)在[0,1]上有两个不同的零点,又因为a,b,c∈N*,
所以即
所以要使a+b+c取得最小值,不妨取c=1,则不等式组化为以a为横轴,b为纵轴建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(不含边界)所示,由图易得区域内横纵坐标之和最小的整数点为(5,5),此时a=b=5,所以a+b+c的最小值为11.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.复数z=(3+4i)2的虚部为________,z的共轭复数=________.
答案 24 -7-24i
解析 ∵z=(3+4i)2=32+2×3×4i+(4i)2=-7+24i,∴虚部为24,共轭复数=-7-24i.
12.若变量x,y满足则2x+y的最大值为________,的取值范围为________.
答案 8
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示,令z=x+y,则y=-x+z表示的是斜率为-1,在y轴上的截距为z的直线,当直线在y轴上的截距最大时,z最大,即直线过点C时,z最大,由得
zmax=3,2x+y的最大值为23=8.表示的是可行域内的点(x,y)与点(2,-1)连线的斜率,设D(2,-1),kAD=-,kCD==-3,因此的取值范围.
13.某多面体的三视图如图所示,则该多面体最长的棱长为________;其外接球的体积为________.
答案 4 π
解析 由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥O-ABCD,
且AB=CD=2,AD=BC=3,AO=,四边形ABCD是矩形,OA⊥平面ABCD,
所以该多面体最长的棱长为OC===4,该几何体外接球的半径为2,其体积V=π×23=π.
14.已知n的展开式中所有二项式系数和为64,则n=________;二项展开式中含x3的系数为________.
答案 6 -540
解析 n展开式中所有二项式系数和为64,
∴2n=64,解得n=6;
∴6展开式的通项公式为
Tk+1=C·(3x2)6-k·k
=(-1)k·36-k·C·x12-3k,
令12-3k =3,解得k=3,
∴二项式展开式中含x3项的系数为(-1)3×33×C=-540.
15.已知实数a≥,b≥,且a2-a=b-b2,则M=+的最大值是________.
答案 +1
解析 由a2-a=b-b2化简得,2+2=,又实数a≥,b≥,图形为圆,如图:
由a2-a=b-b2,可得a2=a+b-b2,b2=a+b-a2,
则M=+=+=1+-a+1+-b=+-a-b+2,
由几何意义得,∈[-1,1+],则∈[-1,1+],则当过点A或点B时,a+b取最小值,可得Mmax=-1+1+-+2=+1,
所以M=+的最大值是+1.
16.如图,椭圆M:+=1(a>b>0)的两个顶点A(a,0),B(0,b),过A,B分别作AB的垂线交椭圆M于D,C(不同于顶点),若|BC|=3|AD|,则椭圆M的离心率e=________.
答案
解析 直线AB的斜率为-,故直线BC,AD的斜率都为,所以直线BC的方程为y=x+b,直线AD的方程为y=.将直线BC的方程代入椭圆方程,求得C点的坐标为,将直线AD的方程代入椭圆方程,求得D点的坐标为,由于|BC|=3|AD|,即=3,也即=3,即=,化简得=.故离心率为e==.
17.已知f(x)=2x2+2x+b是定义在[-1,0]上的函数, 若f(f(x))≤0在定义域上恒成立,而且存在实数x0满足:f(f(x0))=x0且f(x0)≠x0,则实数b的取值范围是________.
答案
解析 因为f(x)min=f =b-,
f(x)max=f(0)=f(-1)=b,
所以得b∈时满足
f(f(x))≤0;
设f(x0)=y0,则f(y0)=x0且y0≠x0,
所以函数f(x)=2x2+2x+b图象上存在两点关于直线y=x对称,
令l:y=-x+m,
由得2x2+3x+b-m=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2)为直线与抛物线的交点,线段MN的中点为E(xE,yE),
所以
所以E,而E在y=x上,
所以m=-,
从而2x2+3x+b+=0在[-1,0]上有两个不相等的实数根,
令h(x)=2x2+3x+b+,
所以
得b∈.
三、解答题(本大题共5小题,共74分.)
18.(14分)已知函数f(x)=cos x+.
(1)求f 的值;
(2)当x∈时,不等式c
解 (1)f(x)=sin xcos x-cos2x+
=sin 2x-cos 2x=sin,
所以f =sin=sin =1.
(2)因为0≤x≤,所以-≤2x-≤.
所以-≤sin≤1.
由不等式c
所以实数c的取值范围为.
19.(15分)如图,四边形ABEF是正方形,AB∥CD,AD=AB=BC=CD.
(1)若平面ABEF⊥平面ABCD,求证:DB⊥平面EBC;
(2)若DF⊥BC,求直线BD与平面ADF所成角的正弦值.
(1)证明 ∵四边形ABEF是正方形,∴EB⊥AB.
又∵平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,
∴EB⊥平面ABCD,可得EB⊥BD.
又∵AD=AB=BC=CD,
不妨设AB=BC=AD=1,DC=2,
可求BD=,可得BD⊥BC,
∵EB∩BC=B,EB,BC⊂平面EBC,
∴DB⊥平面EBC.
(2)解 方法一 过点F作FH⊥平面ABCD,连接AH交CD于点G,过点H作HI⊥AD交AD于点I,连接FI,作HO⊥FI交FI于点O,
∵FH⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴FH⊥BC,
又∵DF⊥BC,且FH∩DF=F,FH,DF⊂平面FDH,
∴BC⊥平面FDH,
又DH⊂平面FDH,∴BC⊥DH,即H在BD上,
又∵FH⊥AB,FA⊥AB,且FH∩FA=F,FH,FA⊂平面FAH,∴AB⊥平面FAH,
又AH⊂平面FAH,∴AB⊥AH.
又∵AD⊥FH,AD⊥HI,FH∩HI=H,FH,HI⊂平面FHI,∴AD⊥平面FHI,
又∵AD⊂平面FAD,∴平面FHI⊥平面FAD,
∴H到平面AFD的距离为HO,
由(1)知DG=,HG=HI=,HO=,
又∵DB=3DH,∴B到平面AFD的距离为,
设直线BD与平面ADF所成角为θ,则sin θ=,
方法二 设AD=AB=BC=1,
以A为坐标原点,AB为y轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,1,0),C,D,
设F(x,y,z),由题意得
即
解得x=,y=0,z=,即F.
设平面ADF的法向量为m=(r,s,t),
又=,=,
∴即
令r=,则s=,t=-1,即m=(,,-1).
设直线BD与平面ADF所成角为θ,且=,
则sin θ=|cos〈m,〉|==,
∴直线BD与平面ADF所成角的正弦值为.
20.(15分)已知数列{an}是等差数列,满足a2=6,S4=28,数列{bn}满足:b1=1,++…+=-1(n∈N*).
(1)求an和bn;
(2)记数列的前n项和为Sn,求Sn.
解 (1)设数列{an}的首项和公差分别为a1,d,则解得∴an=2n+2,n∈N*.
++…+=-1,①
++…+=-1(n≥2),②
①-②得=-,=(n≥2),当n=1时,=-1,b2=,当n≥2时,bn=··…··b1=.当n=1时,b1=1符合上式,所以bn=,n∈N*.
(2)===·
=,
Sn=++…+
=
==.
21.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F(1,0),直线l1:y=k1x,l2:y=k2x分别与抛物线C相交于点A和点B,过A,B的直线与圆O:x2+y2=4相切.
(1)求直线AB的方程(含k1,k2);
(2)若线段OA与圆O交于点M,线段OB与圆O交于点N,求S△MON的取值范围.
解 (1)焦点是F(1,0),可得=1,即p=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),
抛物线方程为y2=4x,联立可得A,同理可得B,
若AB的斜率存在,可得kAB==,
AB的方程为y-=,
化为k1k2x-(k1+k2)y+4=0,
若AB的斜率不存在,也满足上面的方程,则直线AB的方程为k1k2x-(k1+k2)y+4=0.
(2)过A,B的直线与圆O:x2+y2=4相切,可得d==r=2,
化简为(k1k2)2+(k1+k2)2=4,即有-2≤k1k2<0,
cos∠AOB==
=,
由(k1k2)2+(k1+k2)2=4,可得cos∠AOB=,sin2∠MON=,
设t=5-2k1k2∈(5,9],则S=4sin2∠MON=4·=4·==18-≤18-2=4,
当t=7时取等号,即k1k2=-1∈[-2,0),所以(S△MON)max=2,
又S>18-=,即S△MON>,
即有S△MON的取值范围为.
22.(15分)已知函数f(x)=kex-x2,k∈R.
(1)当k=-1时,求f(x)的最大值;
(2)若函数f(x)有两个零点,求k的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域为R,当k=-1时,f(x)=-ex(x-1)-x2,
f′(x)=-exx-x=-x(ex+1).
当x<0时,f′(x)>0,当x>0时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
所以f(x)在x=0时取到最大值,最大值为f(0)=1.
(2)f′(x)=kexx-x=x(kex-1),
当k<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又因为f(0)=-k>0,f(1)=-<0,
f(2k-1)=ke2k-1(2k-2)-(2k-1)2<k(2k-2)-(2k-1)2=-<0,所以f(x)有两个零点;
当k=0时,f(x)=-x2,所以此时f(x)只有一个零点;
当k=1时,f′(x)=exx-x=x(ex-1)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增,f(x)不存在两个零点;
当k>0且k≠1时,
令f′(x)=0,得x=0或x=ln ,
当0<k<1时,ln =-ln k>0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,-ln k)上单调递减,在(-ln k,+∞)上单调递增,且f(0)=-k<0,f(x)不存在两个零点;
当k>1时,ln =-ln k<0,f(x)在(-∞,-ln k)上单调递增,在(-ln k,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,且f=-<0,f(x)不存在两个零点.
综上,当f(x)有两个零点时,k的取值范围是(-∞,0).
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.已知集合A={x∈Z|x≤0},B=,则A∩B等于( )
A.{x|-1≤x≤0} B.{x|x≤6}
C.{0,1,2,3,4,5,6} D.{0,-1}
答案 D
解析 A={x∈Z|x≤0},B={x|-1≤x≤6},则A∩B={0,-1}.
2.若双曲线-y2=1(a>0)的实轴长为2,则其渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
答案 A
解析 双曲线的实轴长为2,得a=1,又b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
3.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线.
①若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;
②若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;
③若l∥m,m⊥α,n⊥α,则n∥l;
④若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥m.
则上述命题中正确的是( )
A.①② B.①④ C.③④ D.②③
答案 D
解析 对于①,当m,n相交时,才能得到l⊥α,①错误;对于②,由l∥m,m∥n得l∥n,又因为l⊥α,所以n⊥α,②正确;对于③,因为m⊥α,n⊥α,所以m∥n,又因为l∥m,所以n∥l,③正确;对于④,直线l与m可能相交、平行或互为异面直线,④错误.综上所述,正确命题的序号为②③.
4.函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于直线x=对称,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=sin B.f(x)=sin
C.f(x)=sin D.f(x)=sin
答案 D
解析 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,
所以=π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),
将该函数的图象向右平移个单位长度后,
得到图象所对应的函数解析式为
y=sin=sin,
由此函数图象关于直线x=对称,得
2×+φ-=kπ+,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z,
取k=0,得φ=-,满足|φ|<,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
5.函数f(x)=的图象大致为( )
答案 A
解析 由题意知,函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}且满足f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除C,D项;又由当x∈(0,1)时,函数f(x)的值小于0,排除B项,故选A.
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a1>0”是“S3>S2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q,S3>S2⇔a3>0⇔a1q2>0⇔a1>0,故选C.
7.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球.现从中有放回的摸取4次,每次都是随机摸取一个球,设摸得白球个数为X,若D(X)=1,则E(X)等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 设摸取一次摸得白球的概率为p,则易得X~B(4,p),D(X)=4p(1-p)=1,解得p=,则E(X)=4×=2.
8.将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球,放入编号为1,2,…,7的七个盒子中,每一个盒子至多放2个球,则不同的放法有( )
A.98种 B.196种 C.252种 D.336种
答案 D
解析 3个球放入编号为1,2,…,7的七个盒子中,每个盒子至多放2个球,应采用排除法,每个球放入盒子的放法各有7种,共73种,排除3个球放在同一个盒中的7种放法,则共有73-7=336(种)放法.
9.已知向量a,b满足|a|=|a+b|=2,则|2a+b|+|b|的最大值为( )
A.4 B.4 C.4+2 D.8
答案 B
解析 记a+b=m,则|a|=|m|=2,|2a+b|+|b|=|a+m|+|m-a|≤=2=4,当且仅当|a+m|=|m-a|,即a·(a+b)=0,a·b=-4时,取等号,则所求的最大值为4.
10.已知偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=ax2-bx+c,a,b,c∈N*.若函数f(x)在[-100,100]上有400个零点,则a+b+c的最小值为( )
A.5 B.8 C.11 D.12
答案 C
解析 由f(1-x)=f(1+x),得f(x+2)=f(-x)=f(x),则函数f(x)是以2为周期的周期函数,函数f(x)在[-100,100]上有400个零点等价于函数f(x)在[0,1]上有两个不同的零点,又因为a,b,c∈N*,
所以即
所以要使a+b+c取得最小值,不妨取c=1,则不等式组化为以a为横轴,b为纵轴建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(不含边界)所示,由图易得区域内横纵坐标之和最小的整数点为(5,5),此时a=b=5,所以a+b+c的最小值为11.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.复数z=(3+4i)2的虚部为________,z的共轭复数=________.
答案 24 -7-24i
解析 ∵z=(3+4i)2=32+2×3×4i+(4i)2=-7+24i,∴虚部为24,共轭复数=-7-24i.
12.若变量x,y满足则2x+y的最大值为________,的取值范围为________.
答案 8
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示,令z=x+y,则y=-x+z表示的是斜率为-1,在y轴上的截距为z的直线,当直线在y轴上的截距最大时,z最大,即直线过点C时,z最大,由得
zmax=3,2x+y的最大值为23=8.表示的是可行域内的点(x,y)与点(2,-1)连线的斜率,设D(2,-1),kAD=-,kCD==-3,因此的取值范围.
13.某多面体的三视图如图所示,则该多面体最长的棱长为________;其外接球的体积为________.
答案 4 π
解析 由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥O-ABCD,
且AB=CD=2,AD=BC=3,AO=,四边形ABCD是矩形,OA⊥平面ABCD,
所以该多面体最长的棱长为OC===4,该几何体外接球的半径为2,其体积V=π×23=π.
14.已知n的展开式中所有二项式系数和为64,则n=________;二项展开式中含x3的系数为________.
答案 6 -540
解析 n展开式中所有二项式系数和为64,
∴2n=64,解得n=6;
∴6展开式的通项公式为
Tk+1=C·(3x2)6-k·k
=(-1)k·36-k·C·x12-3k,
令12-3k =3,解得k=3,
∴二项式展开式中含x3项的系数为(-1)3×33×C=-540.
15.已知实数a≥,b≥,且a2-a=b-b2,则M=+的最大值是________.
答案 +1
解析 由a2-a=b-b2化简得,2+2=,又实数a≥,b≥,图形为圆,如图:
由a2-a=b-b2,可得a2=a+b-b2,b2=a+b-a2,
则M=+=+=1+-a+1+-b=+-a-b+2,
由几何意义得,∈[-1,1+],则∈[-1,1+],则当过点A或点B时,a+b取最小值,可得Mmax=-1+1+-+2=+1,
所以M=+的最大值是+1.
16.如图,椭圆M:+=1(a>b>0)的两个顶点A(a,0),B(0,b),过A,B分别作AB的垂线交椭圆M于D,C(不同于顶点),若|BC|=3|AD|,则椭圆M的离心率e=________.
答案
解析 直线AB的斜率为-,故直线BC,AD的斜率都为,所以直线BC的方程为y=x+b,直线AD的方程为y=.将直线BC的方程代入椭圆方程,求得C点的坐标为,将直线AD的方程代入椭圆方程,求得D点的坐标为,由于|BC|=3|AD|,即=3,也即=3,即=,化简得=.故离心率为e==.
17.已知f(x)=2x2+2x+b是定义在[-1,0]上的函数, 若f(f(x))≤0在定义域上恒成立,而且存在实数x0满足:f(f(x0))=x0且f(x0)≠x0,则实数b的取值范围是________.
答案
解析 因为f(x)min=f =b-,
f(x)max=f(0)=f(-1)=b,
所以得b∈时满足
f(f(x))≤0;
设f(x0)=y0,则f(y0)=x0且y0≠x0,
所以函数f(x)=2x2+2x+b图象上存在两点关于直线y=x对称,
令l:y=-x+m,
由得2x2+3x+b-m=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2)为直线与抛物线的交点,线段MN的中点为E(xE,yE),
所以
所以E,而E在y=x上,
所以m=-,
从而2x2+3x+b+=0在[-1,0]上有两个不相等的实数根,
令h(x)=2x2+3x+b+,
所以
得b∈.
三、解答题(本大题共5小题,共74分.)
18.(14分)已知函数f(x)=cos x+.
(1)求f 的值;
(2)当x∈时,不等式c
=sin 2x-cos 2x=sin,
所以f =sin=sin =1.
(2)因为0≤x≤,所以-≤2x-≤.
所以-≤sin≤1.
由不等式c
19.(15分)如图,四边形ABEF是正方形,AB∥CD,AD=AB=BC=CD.
(1)若平面ABEF⊥平面ABCD,求证:DB⊥平面EBC;
(2)若DF⊥BC,求直线BD与平面ADF所成角的正弦值.
(1)证明 ∵四边形ABEF是正方形,∴EB⊥AB.
又∵平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,
∴EB⊥平面ABCD,可得EB⊥BD.
又∵AD=AB=BC=CD,
不妨设AB=BC=AD=1,DC=2,
可求BD=,可得BD⊥BC,
∵EB∩BC=B,EB,BC⊂平面EBC,
∴DB⊥平面EBC.
(2)解 方法一 过点F作FH⊥平面ABCD,连接AH交CD于点G,过点H作HI⊥AD交AD于点I,连接FI,作HO⊥FI交FI于点O,
∵FH⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴FH⊥BC,
又∵DF⊥BC,且FH∩DF=F,FH,DF⊂平面FDH,
∴BC⊥平面FDH,
又DH⊂平面FDH,∴BC⊥DH,即H在BD上,
又∵FH⊥AB,FA⊥AB,且FH∩FA=F,FH,FA⊂平面FAH,∴AB⊥平面FAH,
又AH⊂平面FAH,∴AB⊥AH.
又∵AD⊥FH,AD⊥HI,FH∩HI=H,FH,HI⊂平面FHI,∴AD⊥平面FHI,
又∵AD⊂平面FAD,∴平面FHI⊥平面FAD,
∴H到平面AFD的距离为HO,
由(1)知DG=,HG=HI=,HO=,
又∵DB=3DH,∴B到平面AFD的距离为,
设直线BD与平面ADF所成角为θ,则sin θ=,
方法二 设AD=AB=BC=1,
以A为坐标原点,AB为y轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,1,0),C,D,
设F(x,y,z),由题意得
即
解得x=,y=0,z=,即F.
设平面ADF的法向量为m=(r,s,t),
又=,=,
∴即
令r=,则s=,t=-1,即m=(,,-1).
设直线BD与平面ADF所成角为θ,且=,
则sin θ=|cos〈m,〉|==,
∴直线BD与平面ADF所成角的正弦值为.
20.(15分)已知数列{an}是等差数列,满足a2=6,S4=28,数列{bn}满足:b1=1,++…+=-1(n∈N*).
(1)求an和bn;
(2)记数列的前n项和为Sn,求Sn.
解 (1)设数列{an}的首项和公差分别为a1,d,则解得∴an=2n+2,n∈N*.
++…+=-1,①
++…+=-1(n≥2),②
①-②得=-,=(n≥2),当n=1时,=-1,b2=,当n≥2时,bn=··…··b1=.当n=1时,b1=1符合上式,所以bn=,n∈N*.
(2)===·
=,
Sn=++…+
=
==.
21.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F(1,0),直线l1:y=k1x,l2:y=k2x分别与抛物线C相交于点A和点B,过A,B的直线与圆O:x2+y2=4相切.
(1)求直线AB的方程(含k1,k2);
(2)若线段OA与圆O交于点M,线段OB与圆O交于点N,求S△MON的取值范围.
解 (1)焦点是F(1,0),可得=1,即p=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),
抛物线方程为y2=4x,联立可得A,同理可得B,
若AB的斜率存在,可得kAB==,
AB的方程为y-=,
化为k1k2x-(k1+k2)y+4=0,
若AB的斜率不存在,也满足上面的方程,则直线AB的方程为k1k2x-(k1+k2)y+4=0.
(2)过A,B的直线与圆O:x2+y2=4相切,可得d==r=2,
化简为(k1k2)2+(k1+k2)2=4,即有-2≤k1k2<0,
cos∠AOB==
=,
由(k1k2)2+(k1+k2)2=4,可得cos∠AOB=,sin2∠MON=,
设t=5-2k1k2∈(5,9],则S=4sin2∠MON=4·=4·==18-≤18-2=4,
当t=7时取等号,即k1k2=-1∈[-2,0),所以(S△MON)max=2,
又S>18-=,即S△MON>,
即有S△MON的取值范围为.
22.(15分)已知函数f(x)=kex-x2,k∈R.
(1)当k=-1时,求f(x)的最大值;
(2)若函数f(x)有两个零点,求k的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域为R,当k=-1时,f(x)=-ex(x-1)-x2,
f′(x)=-exx-x=-x(ex+1).
当x<0时,f′(x)>0,当x>0时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
所以f(x)在x=0时取到最大值,最大值为f(0)=1.
(2)f′(x)=kexx-x=x(kex-1),
当k<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又因为f(0)=-k>0,f(1)=-<0,
f(2k-1)=ke2k-1(2k-2)-(2k-1)2<k(2k-2)-(2k-1)2=-<0,所以f(x)有两个零点;
当k=0时,f(x)=-x2,所以此时f(x)只有一个零点;
当k=1时,f′(x)=exx-x=x(ex-1)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增,f(x)不存在两个零点;
当k>0且k≠1时,
令f′(x)=0,得x=0或x=ln ,
当0<k<1时,ln =-ln k>0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,-ln k)上单调递减,在(-ln k,+∞)上单调递增,且f(0)=-k<0,f(x)不存在两个零点;
当k>1时,ln =-ln k<0,f(x)在(-∞,-ln k)上单调递增,在(-ln k,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,且f=-<0,f(x)不存在两个零点.
综上,当f(x)有两个零点时,k的取值范围是(-∞,0).
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