2020届浙江省高三高考模拟数学试题（解析版）

2020届浙江省高三高考模拟数学试题


一、单选题
1．已知U＝R，集合，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据交集和补集的定义，先求解,继而得到∁U（A∩B）
【详解】
∵U＝R，，B＝{y|y＞1}，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了集合的交集和补集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
2．已知i是虚数单位，若，则z的共轭复数等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用复数的除法运算化简z，从而得到
【详解】
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，考查了学生概念理解、数学运算的能力，属于基础题.
3．若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用题设的焦距求解m, 由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：即得解.
【详解】
双曲线的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，
由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：
所以双曲线的渐近线方程为：yx．
故选：A．
【点睛】
本题考查了双曲线的方程及性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（　　）
A．β内一定能找到与l平行的直线
B．β内一定能找到与l垂直的直线
C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行
D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直
【答案】B
【解析】当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线；由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线；β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内；β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直.
【详解】
由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：
在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；
在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；
在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；
在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线和平面的位置关系概念辨析，考查了学生概念理解，逻辑推理，空间想象的能力，属于中档题.
5．等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“Z”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若d＝0，则{an}为常数列，可证得充分性成立；当Z时，可构造反例，必要性不成立.
【详解】
等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，
若d＝0，则{an}为常数列，故an=，
即⇒“Z”，
当Z时，d不一定为0，
例如，数列1，3，5，7，9，11中，4，d＝2，
故d＝0是Z的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】
本题考查了充分必要条件和等差数列的性质，考查了学生概念理解，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
6．随机变量ξ的分布列如表：
ξ
﹣1
0
1
2
P

a
b
c

其中a，b，c成等差数列，若，则D（ξ）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据a，b，c成等差数列，分布列的概率和为1，，构造等量关系，求解a，b，c，利用方差的公式即得解.
【详解】
∵a，b，c成等差数列，E（ξ），
∴由变量ξ的分布列，知：，
解得a，b，c，
∴D（ξ）＝（﹣1）2（0）2（1）2（2）2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用随机变量的分布列研究随机变量的期望和方差，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，
7．若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】转化为4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，以y为自变量的方程有正根，根据根与系数关系确定实数x的范围即可.
【详解】
∵，
∴4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，
∴y1•y20，
∴y1+y20，
∴，或，
∴0＜x或x①，
△＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，
∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，
解得：﹣1≤x②，
综上x的取值范围是：0＜x；
x的最大值是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的分布问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.
8．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（　　）
A．85 B．95 C．2040 D．2280
【答案】C
【解析】根据题意，分2步进行分析：先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，再将选出的4个元素全排列，即得解.
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，
若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，
若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，
则有5+35+35+10＝85种选法，
②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，
则一共有85×24＝2040种不同排法；
故选：C．
【点睛】
本题考查了排列组合综合，考查了学生综合分析，转化化归，分类讨论的能力，属于中档题.
9．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长为1．M是底面△ABC内部一个动点（包括边界），且M到三个侧面PAB，PBC，PAC的距离h1，h2，h3成单调递增的等差数列，记PM与AB，BC，AC所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（　　）

A．α＝β B．β＝γ C．α＜β D．β＜γ
【答案】D
【解析】PM与AB，BC，AC所成的角分别为α，β，γ，即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，然后在△ABC中解决问题, 由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）
从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角,即得解.
【详解】
依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，

由余弦定理可知，
cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，
同理可以将β，γ转化，
cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，
cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，
由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，
设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3 则d1＝sin，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ，
所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题

由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）
从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了空间中角度问题综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于较难题.
10．已知，则的取值范围是（　　）
A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]
【答案】D
【解析】设，可得，构造（）22，结合，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.
【详解】
设，则，
，
∴（）2•2
||22＝4，所以可得：，
配方可得，
所以，
又
则[0，2]．
故选：D．
【点睛】
本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.


二、填空题
11．若，，则cosα＝_____，tan2α＝_____．
【答案】 ﹣2
【解析】根据cosα，可得解cosα，由tanα，再利用二倍角公式解得tan2α.
【详解】
∵，，
∴cosα，tanα，
∴tan2α2．
故答案为：，﹣2．
【点睛】
本题考查了同角三角函数变换，二倍角公式，考查了学生概念理解，转化化归，数学运算的能力，属于基础题.
12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是_____，剩余部分表面积是_____．

【答案】 9
【解析】根据几何体的三视图可知该几何体为长方体切去一个角，计算对应体积比和表面积即可.
【详解】
根据几何体的三视图转换为几何体为：
如图所示：

该几何体为长方体切去一个角．
故：V．
所以：．
S＝2（1×2+1×2+1×1）9．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了由三视图还原几何体及相关的体积、表面积计算，考查了学生空间想象，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.
13．若实数x，y满足，若z=3x+y的最大值为7，则m＝_____．
【答案】2
【解析】作出不等式组对应的平面区域，转化z＝3x+y得y＝﹣3x+z，当直线的截距最大时，z最大，数形结合得到过B点时，直线截距最大，联立求得B点坐标，代入即得解.
【详解】
作出不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分）

令z＝3x+y得y＝﹣3x+z，
平移直线y＝﹣3x+z，
由图象可知当3x+y＝7．
由 ，解得 ，即B（1，4），
同时B也在2x﹣y+m＝0上，
解得m＝﹣2x+y＝﹣2×1+4＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是含参的线性规划问题，考查了学生转化化归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
14．在二项式的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a的值是_____．
【答案】
【解析】写出二项式的展开式的通项公式，求出x﹣5的系数与常数项，令其相等，即得解.
【详解】
∵二项式的展开式的通项公式为 Tr+1••，
令5，求得r＝3，故展开式中x﹣5的系数为•；
令0，求得r＝1，故展开式中的常数项为 •，
由为•5•，可得a，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
15．设数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝6，an+1＝3Sn+2，n∈N，则a2＝_____，S5＝_____．
【答案】5 426
【解析】代入n=1，与S2＝6联立求解得到a1，a2，依次代入n=3,4,5计算即得解.
【详解】
∵数列{an}的前n项和为Sn．S2＝6，an+1＝3Sn+2，n∈N，
∴a2＝3a1+2，且a1+a2＝6，
解得a1＝1，a2＝5，a3＝3S2+2＝3（1+5）+2＝20，
a4＝3S3+2＝3（1+5+20）+2＝80，
a5＝3（1+5+20+80）+2＝320，
∴S5＝1+5+20+80+320＝426．
故答案为：5，426．
【点睛】
本题考查了项和关系，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知acosB＝bcosA，，边BC上的中线长为4．则c＝_____；_____．
【答案】
【解析】由正弦定理得sinAcosB＝sinBcosA，计算可得B＝A，由正弦定理可得ca，再结合余弦定理，可求解c,a,从而可求解
【详解】
由acosB＝bcosA，及正弦定理得sinAcosB＝sinBcosA，
所以sin（A﹣B）＝0，
故B＝A，
所以由正弦定理可得ca，
由余弦定理得16＝c2+（）2﹣2c••cos，
解得c；可得a，
可得accosB．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了正弦、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.
17．如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．

【答案】
【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，即，将直线AB1方程与椭圆联立，得到韦达定理，三式联立，可解得离心率.
【详解】
作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，

所以．
将直线AB1方程，代入椭圆方程后，，
整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，
由韦达定理解得，，
三式联立，可解得离心率．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆锥曲线的性质综合，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

三、解答题
18．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）最小正周期为π，，； （2）最大值为，最小值为0．
【解析】（1）利用正弦、余弦的和差角公式以及辅助角公式化简得到f（x），利用正弦型函数的周期和单调性公式即得解.
（2）可计算得到，结合正弦函数的图像和单调性，可得解.
【详解】
（1）

＝sin2x+cos2x+1
所以最小正周期为π．
因为当时，f（x）单调递减．
解得：
所以单调递减区间是，
（2）当时，，
利用正弦函数的图像和单调性，
当2x函数取得最大值为，
当2x或时，函数取得最小值，最小值为1＝0．
【点睛】
本题考查了三角函数的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．

（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；
（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】（1）先证明AB1⊥A1B，AB1⊥A1C1，进而得证结论；
（2）以A1B1，A1C1，A1A为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系，求解平面A1BC1的法向量为,利用线面角的向量公式，即得解.
【详解】
（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，
根据已知条件易得AB1⊥A1B，
由A1C1⊥面ABB1A1，得AB1⊥A1C1，
A1B∩A1C1＝A1，
故AB1⊥平面A1BC1；
（2）以A1B1，A1C1，A1A为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系，

设AB＝a，则A（0，0，a），B（a，0，a），，
所以，
设平面A1BC1的法向量为
，令
则，
可计算得到
所以AD与平面A1BC1所成的角的正弦值为．
【点睛】
本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
20．已知等比数列{an}（其中n∈N），前n项和记为Sn，满足：，log2an+1＝﹣1+log2an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an•log2an}（n∈N）的前n项和Tn．
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）由log2an+1＝﹣1+log2an得到，再结合得到，即得解；
（2）代入可得，乘公比错位相减法求和，即得解.
【详解】
（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q，
∵log2an+1＝﹣1+log2an，
∴，∴．
由，得，解得．
∴数列{an}的通项公式为．
（2）由题意，设bn＝an•log2an，则．
∴Tn＝b1+b2+…+bn
故，
．
两式相减，可得．
∴．
【点睛】
本题考查了数列综合，考查了等比数列的通项公式，乘公比错位相减法求和，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
21．已知抛物线与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．

（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）试求△PAB面积的最小值．
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】（1）借助导数，可求得在A，B两点的切线方程PA，PB，由于P点在两条切线上，结合方程，可得直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，可得定点.
（2）将直线AB与抛物线联立，利用弦长公式，点到直线距离公式表示三角形的底和高，继而表示面积，配方，求解最小值，即可.
【详解】
（1）由求导得y′＝x，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
其中
则kPA＝x1，
PA：y﹣y1＝x1（x﹣x1），
设P（x0，kx0﹣1），
代入PA直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，
PB直线方程同理，
代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，
所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，
即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；
（2）直线l方程与抛物线方程联立，
得到x2﹣2kx+2＝0，
由于△<0,k2＜2．
将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入，
得，
所以，
，
设点P到直线AB的距离是d，
则，
所以，
所以面积最小值为．
【点睛】
本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
22．已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：．
【答案】（1）； （2）见解析.
【解析】（1）对f（x）求导，对a≤0，a＞0两种情况分析函数的单调性，研究有两个极值点限制条件;
（2）根据（1）中单调性的分析，可得，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以，结合单调性，以及范围边界点的函数值，可得的范围，从而可得证.
【详解】
（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），
由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．
∵．
当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，
因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；
当a＞0时，令g′（x）＝0，解得，
所以单调递增，
单调递减．
所以是g（x）的极大值点，
则，解得；
（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且，
又g（1）＝1﹣2a＞0，所以，
从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．
所以，
所以．
【点睛】
本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.