2020届新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测数学（理）试题（解析版）

2020届新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测数学（理）试题  一、单选题1．若集合，，则集合（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】求解一元二次不等式，解得集合，再求并集即可.【详解】对集合：，解得；对集合：，解得，故可得.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，以及集合并运算，属基础题.2．已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求的模长，再利用复数除法运算求得复数，写出其共轭复数即可.【详解】因为，故，故其共轭复数.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的求解，复数的除法运算，以及共轭复数的求解，属综合基础题.3．已知双曲线（，）的两条渐近线互相垂直，焦距为，则该双曲线的实轴长为（    ）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】根据渐近线垂直，可得的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果.【详解】因为两条渐近线互相垂直，故可得，又因为焦距为，故可得，结合，解得，故实轴长.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.4．已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）A．若，，则B．若，且，则C．若，，，，则D．若，，，则【答案】B【解析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】对：若，，则，或与是异面直线，或与相交，故错误；对：若，且，    不妨取交线上一点，作平面的垂线为，    因为，且点，故；    同理可得，故与是同一条直线，    因为，故.    故选项正确.对：只有当与是相交直线时，若，，，，才会有.故错误；对：若，，，则与的关系不确定，故错误.故选：B.【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5．数列是公差为2的等差数列，为其前项和，且，，成等比数列，则（    ）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】D【解析】根据等比中项的定义，结合数列的公差为，列方程即可求得数列的首项，进而利用公式求得.【详解】因为，，成等比数列，故可得，即可得，解得.故.故选：D.【点睛】本题考查等差数列前项和与通项公式基本量的计算，涉及等比中项，属综合基础题.6．若正整数除以正整数的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的等于（    ）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.【详解】模拟执行程序如下：开始，，不满足，故，满足，但不满足，故，不满足，故，满足，满足，输出.故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题.7．为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照，…，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准.使的居民用水量不超过，按平价收水费，超出的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准的是（    ）A．2.5吨 B．3吨 C．3.5吨 D．4吨【答案】B【解析】根据频率分布直方图中，长方形面积表示频率，找出将面积分割为和的数值，即为标准.【详解】根据频率分布直方图，结合题意可得：解得.故要满足的居民用水量不超过，则比较合适的取值为吨.故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图中，频率的计算，属基础题.8．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时， )A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【答案】C【解析】根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得：可得，解得，根据参考公式可得，故与最接近的是.故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.9．已知函数，则下列判断正确的是（    ）A．的图象关于对称 B．为奇函数C．的值域为 D．在上是增函数【答案】A【解析】利用降幂扩角公式以及辅助角公式，将三角函数化简为标准正弦型三角函数，再对选项进行逐一分析即可.【详解】.因为是该函数的最大值，故是函数的对称轴，故正确；因为，故该函数不是奇函数，故错误；因为，故的值域为，故错误；由，可得，在此区间内，正弦函数不单调，故错误；综上所述，正确的是.故选：A.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及正弦型函数性质的求解，属综合性基础题.10．已知，，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，故可得，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小.【详解】因为，故可得，根据指数函数是单调减函数，可得，即可得；根据幂函数是单调增函数，可得，即可得综上所述：.故选：A.【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数在区间上的大小关系，以及指数函数和幂函数的单调性，属综合中档题.11．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），于点，直线交轴于点，则（    ）A．4 B． C．2 D．【答案】B【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点的坐标，即可得点坐标，进而可求得的方程，容易得点的坐标，用两点之间的距离公式即可求得的长度.【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点，故直线的方程为，联立抛物线方程可得，解得或因为点在第一象限，故可得.又因为准线方程为，故可得.则直线的方程为，令，解得，即可得.故.故选：B.【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.12．已知函数，若且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据的函数图像，结合，求得的取值范围以及之间的等量关系，将表示为的函数，求该函数在区间上的值域即可.【详解】因为，故其函数图像如下所示：令，解得；令，解得.数形结合可知，若要满足，且，则，且，解得.故，.令，则，令，解得，故在区间单调递减，在区间单调递增，则，故.即可得.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，以及构造函数的能力，数形结合的能力，属综合性中档题.  二、填空题13．已知单位向量，满足，则向量与向量的夹角的大小为__________．【答案】【解析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.【详解】因为，均是单位向量，故可得，故可得，即，解得，又因为向量夹角的范围为，故的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.14．造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以、、…、；、、…、等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格.纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格.现有、、、…、纸各一张.若纸的面积为，则这9张纸的面积之和等于______.【答案】【解析】根据题意，求出纸张的长度和宽度，构造纸张面积的等比数列，利用等比数列前项和的计算公式，即可求得.【详解】由题可设，纸的面积为，根据题意，纸张面积是首项为，公比为的等比数列，则容易知纸张的面积为，故可得，故纸张面积是一个首项为，公比为的等比数列，故张纸的面积之和为.故答案为：.【点睛】本题考查实际问题中等比数列的应用，问题的关键是要构造等比数列，属中档题.15．如图，正方体的棱长为1，有下列四个命题：①与平面所成角为；②三棱锥与三棱锥的体积比为；③过点作平面，使得棱，，在平面上的正投影的长度相等，则这样的平面有且仅有一个；④过作正方体的截面，设截面面积为，则的最小值为.上述四个命题中，正确命題的序号为______.【答案】①②④【解析】根据线面角的求解方法，棱锥体积的求解，正方体截面的相关性质，对选项进行逐一分析即可求得.【详解】对①：连接交与，连接，作图如下：因为是正方体，故可得平面，又因为平面，故可得，又，故可得平面，则即为所求线面角.在中，，故可得，又线面角的范围为，故，则与平面所成角为，故①正确；对②：因为正方体棱长为1，故可得；而棱锥的体积可以理解为正方体的体积减去4个体积都和相等的三棱锥的体积，故.故棱锥与三棱锥的体积比为，故②正确；对③：若棱在平面的同侧，则为过点且与平面平行的平面；若棱中有一条棱与另外两条棱分别在平面的异侧，则这样的平面有3个；故满足题意的平面有4个.故③错误；对④：根据题意，取中点为,则过作正方体的截面如下：则过的所有截面中，当截面为菱形时，面积最小，其面积为.故④正确.总上所述，正确的有①②④.【点睛】本题考查线面角的求解，正方体截面面积的求解，涉及棱锥体积的计算，属中档题. 三、解答题16．已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为______.【答案】3【解析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求.【详解】因为圆方程为，故圆心坐标为，则圆心到直线的距离，则直线与圆相离.故的最小值为.故答案为：3.【点睛】本题考查圆心到直线上一点距离的最值问题，属基础题.17．如图，在四棱锥中，平面，是正方形，是中点，点在上，且.（1）证明平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见详解；(2).【解析】（1）根据平面，可得，再证，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可.【详解】（1）因为平面，平面，故可得；设底面正方形的边长为4，故可得，，，故在中，满足，故可得；又平面，且，则平面，即证.（2）因为平面,平面，故可得，又底面为正方形，故可得，故以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示：设，故可得设平面的法向量为，则，则取，则.不妨取平面的法向量.则.设平面与平面所成二面角的平面为，则.即平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.18．已知的面积为3，边上的高是2，.（1）求外接圆的半径；（2）求和的长.【答案】(1)；(2)或【解析】（1）利用三角形的面积公式求得，再利用同角三角函数关系，求得，最后利用正弦定理，即可求得外接圆半径；（2）利用面积公式以及余弦定理，求得和的方程组，解方程组即可.【详解】设三角形的边长.（1）由面积公式，解得.因为，，故由同角三角函数关系，容易得.由正弦定理可得.故外接圆的半径为.（2）由面积公式可得，结合（1）中所求，可得；由余弦定理可得，解得，即解得，联立可得或.故或.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形外接圆半径的求解，属综合基础题.19．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问題.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.（1）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？（2）若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有个人存在早恋的现象，求的分布列及数学期望.【答案】(1)；(2)分布列见详解，数学期望为.【解析】（1）先计算出摸两个球，出现同色和异色的概率，据此计算出回答第一个问题和第二个问题的人数，再根据学籍号最后一位是奇数的概率为，计算出回答第一个问题选择“是”的同学个数，从而算出回答早恋选择“是”的同学个数，据此估算百分比即可；（2）根据题意可知，服从二项分布，结合（1）中所求，写出分布列，计算出数学期望即可.【详解】（1）从10个球中随机摸取两个球，摸到两球同色的的概率.故回答第一个问题的人数为人，则回答第二个问题的人数为人；又学籍号最后一位是奇数还是偶数，是等可能的，故回答第一个问题，选择“是”是的同学个数为人，则回答第二个问题，选择“是”的同学个数为人，则中学生早恋人数的百分比为.（2）根据（1）中所求，可知，且可取值为，故可得故的分布列如下所示： 故.【点睛】本题考查简单随机抽样的特点，以及二项分布分布列的求解和数学期望的计算，属综合性中档题.20．已知函数（）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在定义域内为单调函数，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）对函数求导，解得函数在点处切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程；（2）构造函数，利用导数求解其值域，再根据与之间的关系，求解恒成立问题即可得参数的范围.【详解】（1）当时，，故；故可得，故切线方程为：，整理得.故曲线在点处的切线方程为.（2）因为，故可得.若在定义域内为单调函数，则恒成立，或恒成立.构造函数，故可得，令，解得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减.故，且当趋近于0时，趋近于.故.若要保证在定义域内恒成立，即恒成立，即在定义域内恒成立，则只需；若要保证在定义域内恒成立，则恒成立，则在定义域内恒成立，但没有最小值，故舍去.综上所述，要保证在定义域内为单调函数，则.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及根据函数单调性，利用导数求参数的范围，属综合中档题.21．点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，设的中点为，，两点为曲线上关于原点对称的两点，且（），求四边形面积的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）设出点的坐标，根据题意，列出方程，整理化简即可求得动点的轨迹方程；（2）设出直线的方程，利用弦长公式求得，再利用，建立直线与之间的联系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的值域即可.【详解】（1）设动点，则到直线的距离，由题可知：，即可得，两边平方整理可得：故曲线的方程为：.（2）因为，故两点不可能重合，则直线的斜率不可能为0，故可设直线方程为，联立椭圆方程，可得，设两点坐标分别为，则可得，则故可得，因为，故可得四点共线，故可得.不妨设直线方程为，，联立直线与椭圆方程可得，设，则，即则，即则点到直线的距离为：将代入上式即可得：，，故又根据弦长公式可得：故四边形面积，因为，则，，故.故四边形面积的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆轨迹方程的求解，以及椭圆中四边形面积的范围问题，计算量相对较大，属综合性困难题.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，四边形的四个顶点都在曲线上.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若，相交于点，求的值.【答案】(1)；(2)4【解析】（1）将两边平方，利用公式，即可转化为直角坐标方程；（2）写出直线的参数方程，根据直线参数的几何意义，即可求得.【详解】（1）将两边平方，即可得，即可得.（2）因为直线都经过点，故直线的参数方程为：为参数；直线的参数方程为：为参数；联立直线的方程与可得：，设两点对应的参数为，故可得；同理联立直线的方程与可得：，设两点对应的参数为，故可得；根据直线参数方程中的几何意义可知：.即为所求.【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及利用直线参数方程中参数的几何意义，求解线段长度的乘积，属基础题.23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【详解】（1）当时，等价于，解得；当时，等价于，恒成立，解得；当时，等价于，解得；综上所述，不等式的解集为.（2）不等式的解集包含，等价于在区间上恒成立，也等价于在区间恒成立.则只需满足：且即可.即，解得.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.