2020届云南省高三毕业生复习统一检测数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，若，则常数的值为（ ）
A．0或2 B．0或 C．2 D．
【答案】A
【解析】根据题意，求得，讨论和时，满足，求出的值.
【详解】
解：由题可知：，，
，即，
当时，，无解，则，符合题意，
当时，，
，,
，可知，解得，
综上得：或，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的交集的概念和集合间的关系，属于基础题.
2．已知为虚数单位，若．则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标，即可求出答案.
【详解】
解：，
则复数在复平面内对应的点的坐标为：，位于第一象限.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义.
3．设向量，，若，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【解析】根据，则，构造关于的方程，解方程即可求出的值.
【详解】
解：，，
，
解得：.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题.
4．为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位
C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
【答案】D
【解析】把函数化简为，根据三角函数平移的规律，即可求出答案.
【详解】
解：，
要得到函数的图象，
只需将函数的图象向右平行移动个单位.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的平移伸缩的规律，三角函数的平移原则为：左加右减上加下减.
5．执行如图所示的程序框图．若输入的，则输出的（ ）
A．20 B．40 C．62 D．77
【答案】B
【解析】根据程序框图的流程计算，直到时，退出循环，得输出的的值.
【详解】
解：输入，，
，否，
循环：，否，
，否，
，是，
退出循环，输出.
故选：B.
【点睛】
本题考查循环结构的程序框图，属于基础题.
6．—个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】观察三视图，可知几何体是由棱长为4的四棱柱截去四分之一的圆柱，利用柱体的体积公式，即可求得几何体的体积.
【详解】
解：由三视图可知，几何体是由棱长为4四棱柱截去四分之一的圆柱得来的，
则：，
，
几何体的体积为：，
即：.
故选：C.
【点睛】
本题考查由三视图求原几何体的体积，涉及柱体的体积，考查计算能力.
7．已知实数满足约束条件则的最大值等于（ ）
A．10 B．12 C．16 D．22
【答案】B
【解析】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数通过的特殊点求出目标函数的最大值即可.
【详解】
解：满足条件，表示的可行域如图：
当经过的交点时，取得最大值，
最大值为：.
故选：B.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，正确画出约束条件表示的可行域，找出目标函数经过的特殊点是解题的关键，考查计算能力与数形结合.
8．己知抛物线的焦点为，经过点作直线，与拋物线在第一象限交于两点．若点在以为直径的圆上，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题可知，点在以为直径的圆上，则，设直线：，代入抛物线中，写出韦达定理，结合，化简后即可求出直线的斜率.
【详解】
解：由题意与抛物线在第一象限交于两点，且点在以为直径的圆上，
，即，
抛物线的焦点为，
设直线：，
代入抛物线中，化简得：
，
，解得，
，，
，
，
，
，解得：.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的基本性质、韦达定理和向量垂直的坐标运算，考查化简和计算能力.
9．己知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值.
【详解】
解：
，
则
，
，
，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查同角三角函数基本关系和二倍角的正弦公式的运用，熟练掌握三角函数基本关系是解本题的关键.
10．己知正的顶点都在球的球面上，正的边长为．若球心到所在平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求出正外接圆的半径，再求出球的半径，由此能求出球的表面积.
【详解】
解：边长为正的顶点都在球的球面上，
正外接圆的半径：，
球心到所在平面的距离为，
球的半径：，
球的表面积：.
故选：A.
【点睛】
本题考查球的表面积，还涉及球的截面性质和三角形外接圆的半径，考查计算能力.
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右顶点，点是双曲线的右支上一点，．若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】根据图象可知，，根据余弦定理运算得出，即可求出求出离心率.
【详解】
解：已知点是双曲线的右支上一点，，
根据双曲线的定义，，求得，
因为是以为顶角的等腰三角形，
则：，
由图可知，
且，，
则由余弦定理得：
即：，
所以，
则：，
所以，即，
所以，即，
解得：或（舍去）
故选：D .
【点睛】
本题考查双曲线的定义和离心率，余弦定理的应用，考查计算能力.
12．已知在单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B．（-3,3） C． D．(-5,5)
【答案】C
【解析】求出函数的导函数，由函数在单调递减，则在上恒成立，即可求出的取值范围.
【详解】
解：，
，
要使函数在单调递减，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
则：，即：，
解得：
则的取值范围为：.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性求参数范围，通过导数解决函数恒成立问题.
二、填空题
13．对总数为的一批零件抽取一个容量为40的样本．若每个零件被抽取的概率为0.2，则=___________．
【答案】200；
【解析】对总数为的一批零件抽取一个容量为40的样本，则每个零件被抽取的概率都相等，据此即可求出.
【详解】
解：每个零件被抽取的概率都相等，
，解得：.
故答案为：200.
【点睛】
本题考查概率的求法，以及抽样方法的特点是每个个体被抽到的机会都相等.
14．已知，若函数的图象关于原点成中心对称图形，则常数的值为___________．
【答案】；
【解析】根据题意，可知函数定义域为且为奇函数，得到，即可求出的值.
【详解】
解：由题意知，函数的图象关于原点成中心对称图形，
函数为奇函数，且定义域为，
，
，
化简得：，解得：，
常数的值为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查奇函数的性质和图像特征，属于基础题.
15．已知的三个内角分别为．若，则的值是___________．
【答案】；
【解析】运用正弦定理角化边公式和余弦定理解三角形，即可得的值.
【详解】
解：设的三个的对边分别为：，
中，，
由正弦定理化简得：，
可得：，
则余弦定理得：，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力.
16．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】利用向量的加减法运算，求出，即可得出，运用向量的数量积运算求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得出的最小值.
【详解】
解：由题可知，平行四边形的图象如下：
设，
，
，，
则，
所以，
又，
则有：，解得：，
即，
平行四边形的面积为，
即，
，
，
即：，
，
即：，
，
即，
所以
，
，当且仅当：时，取等号，
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量的应用，涉及向量加减法运算、向量的数量积运算和模以及运用基本不等式求最值，考查转化思想和计算能力.
三、解答题
17．某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩（单位：分），得到如下图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良．
其中30名男生该学科成绩分成以下六组，，．
（1）请完成下面的列联表（单位：人）：
| 成绩优良人数 | 成绩非优良人数 | 总计 |
男生 |
|
| 30 |
女生 |
|
| 20 |
总计 |
|
| 50 |
（2）根据（1）中的列联表，能否有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系？
附：，其中．
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【答案】（1）见解析（2）有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．
【解析】（1）根据频率分布直方图，计算出男生成绩优良人数，再根据茎叶图数据，得出女生优良的人数，即可求出其他数据，即可写出列联表；
（2）根据题给公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.
【详解】
解：（1）根据题意，可知不低于80分为成绩优良，
由频率分布直方图可知，男生成绩优良人数为：（人），
则男生中成绩不优良的人数为：（人），
由茎叶图可知，女生成绩优良人数为：11人，成绩不优良人数为9人，
得出列联表如下：
| 成绩优良人数 | 成绩非优良人数 | 总计 |
男生 | 9 | 21 | 30 |
女生 | 11 | 9 | 20 |
总计 | 20 | 30 | 50 |
（2）因为
，
∴有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．
【点睛】
本题考查独立性检验的应用，以及根据茎叶图和频率分布直方图求频数．
18．已知数列的前项和为，，，设，数列的前项和为；．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）由于，根据，得出，可证出数列为等比数列，根据等比数列的通项公式，求出，即可求出，对进行检验，即可得出数列的通项公式；
（2）由（1）知：，求得，利用裂项公式得出，再利用裂项相消法求出的前项和为.
【详解】
（1）解：∵，∴，
得，即，
所以数列为等比数列，首项为，公比，
∴．
当时，，
当时，，
∴数列的通项公式为．
（2）证明：由（1）知：，
∴．
∴
∴．
【点睛】
本题考查根据和的关系和利用公式求等比数列的通项公式，考查证明等比数列，以及利用裂项相消法求数列的前项和，考查计算能力.
19．如图，在三棱柱中，，分别是的中点，设到平面的距离为，到平面的距离为．
（1）求证：；
（2）若三棱柱是直三棱柱，，，求的值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）因为是的中点，，通过等腰三角形的性质，可得出，利用三角形的中位线性质，得出，根据棱柱的性质，进而可证出；
（2）设，由题设得，，分别求出和，通过三棱锥等体积法，，即可求出的值.
【详解】
（1）证明：∵是的中点，，
∴．
∵分别是的中点，
∴．
在三棱柱中，．
∴．
∴．
（2）设，由题设得，，
所以，
∵，，
∴，，
由题设可得，，
∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】
本题考查线线垂直的证明和利用等体积法求点到面的距离，还涉及等腰三角形的性质、三角形的中位线性质和棱锥的体积公式，考查转化思想和推理能力.
20．已知函数．
（1）当，时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当，时，求证：曲线与有公共点．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）当，时，，则，通过导数的几何意义求出切线斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）由，构造函数，求导，通过导数求出函数的单调性和最小值，由题知，则，即，进而可得出结论.
【详解】
解：（1）当，时，，
∴，
∴，
∴所求切线的斜率，
∴曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）证明：的定义域为，
，
设，则，
，
∵，
∴当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
∴当时，取得最小值，
即.
∵，
∴，即，
又∵，，
∴曲线与有公共点，即方程有实数解，
∴方程有实数解，即曲线与有公共点，
∴当，时，曲线与有公共点．
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和最值，考查计算能力.
21．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，以线段为直径的圆经过点，线段与轴交于点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆交于两点，且．求证：动直线与圆相切．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）根据双曲线和圆的性质可知，且，所以，由相似比得出，根据离心率求出，再根据，求出，即可求得椭圆的标准方程；
（2）根据题意，分类讨论动直线的斜率不存在时和斜率存在时，联立直线和椭圆方程，求出韦达定理，结合，以及点到直线的距离，化简后即可得出证明.
【详解】
解：（1）由双曲线和圆的性质，可知：
设椭圆的方程为，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
由已知得，解得，
由，得，
∴椭圆的方程为．
（2）证明：①当动直线的斜率不存在时，
设的方程为，，，
由，得，
∵直线与椭圆交于两点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵，且，
∵，
∴，即，
∵圆心到直线的距离，
∴直线与圆相切；
②当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
，，
由得，
即，
∵动直线与椭圆交于两点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
且，
∵，
∴
．
化简得，
∵圆心即原点到直线的距离，
∴直线与圆相切，
综上所述，动直线与圆相切．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及联立方程组、韦达定理、点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系，考查计算能力.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）直接写出曲线的普通方程；
（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用互化公式即可将曲线的极坐标方程化成普通方程；
（2）消去参数，求出曲线的普通方程为，从而得出的参数方程，由题可知，，设，利用两点间的距离公式求出，运用二次函数的性质求出，从而得出的最大值．
【详解】
解：（1）曲线的普通方程为；
（2）由曲线的参数方程为（为参数），
得曲线的普通方程为，
它是一个以为圆心，半径等于2的圆，
则曲线的参数方程为：为参数），
∵是曲线上的点，是曲线上的点，
∴．
设，
则
，
∴当时，，
∴．
【点睛】
本题考查利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，利用消参法将参数方程化为普通方程，运用曲线的参数方程表示点坐标，以及结合两点间的距离和二次函数的性质，求出距离最值，考查转化思想和计算能力.
23．己知，是的最小值．
（1）求；
（2）若，，且，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）根据绝对值不等式的性质，即可求出的最小值，即可得出；
（2）由已知，得出，则，即可得出，即可得出证明.
【详解】
（1）解：由绝对值不等式的性质得：
，
又∵，
∴．
（2）证明：∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查利用绝对值不等式的性质求函数最值，以及通过综合分析法证明不等式，考查计算能力.
