2020届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学（文）试题
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文科数学试题
第I卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．设复数满足，则
A．3 B．13 C．2 D．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，，，，则等于
A． B． C． D．2
5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A．2 B．1 C． D．
6．若椭圆经过点，则椭圆的离心率=
A． B． C． D．
7．设数列满足，则
A． B． C． D．
8．已知满足，则
A. B. C. D.
9．如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则
A．2028 B．2038 C．4046 D．4056
10．已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，，则满足的实数的取值范围是
A． B． C． D．
11．一个圆锥的高和底面直径相等，且这个圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等，则圆锥和圆柱的侧面积的比值为
A． B． C． D．
12．已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则
A．0 B．6 C．12 D．18
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．双曲线的渐近线方程为_____________
14．设，满足约束条件，则的最小值为 .
15．设，，则的最小值为______.
16．若两曲线与存在公切线,则正实数的取值范围是 ．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若cos(B＋)＝，求cosC的值．
18.（12分）2019年10月28日至10月31日，中国共产党第十九届四中全会在北京召开。一段时间后，某单位就“十九届四中全会”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在[75，100]内，按成绩分成5组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九届四中全会”精神作深入学习．
（1）求这100人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；
（3）若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．
19．（12分）如图，四棱锥中，，且底面，为棱的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）当四面体的体积最大时，求四棱锥的体积．
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点，证明：直线于的交点在一条定直线上.
21．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）若斜率为k的直线与曲线交于，两点，其中，求证：．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为参数，直线l的参数方程是为参数，与C相交于点A、以直角坐标系xOy的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；
（2）若，求．
23．（10分）已知函数，
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求实数的取值范围．
四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试
文科数学试题参考答案
1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．A 9．B 10．C 11．C 12．D
13． 14. 15． 16．
17．（1）由正弦定理可得：.
所以，整理得：
又.解得：
所以或（舍去）所以
（2），
,
18．解：（1）这100人的平均得分为：
． …………3分
（2）第3组的人数为0.06×5×100=30，
第4组的人数为0.04×5×100=20，
第5组的人数为0.02×5×100=10，故共有60人，
∴用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1． …………7分
（3）记其他人为、丁、戊、己，
则所有选取的结果为（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（甲、戊）、（甲、己）、
（乙、丙）、（乙、丁）、（乙、戊）、（乙、己 ）、（丙、丁）、（丙、戊）、（丙、己）、
（丁、戊）、（丁、己 ）、（戊、己）共15种情况， …………9分
其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，
故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为． …………12分
19.解：（1）因为，设为的中点，所以，
又平面，平面，所以，又，
所以平面，又，所以平面．
（2），设，，
则四面体的体积，
当，即时体积最大，
又平面，平面，所以，因为，
所以平面，
．
20．解：（1）由题意得
椭圆的方程为；
（2）由（1）得，，，设直线的方程为，
，，由，得，
，，，
直线的方程为，直线的方程为，
，，
，直线与的交点在直线上.
21．（1）解：的定义域是，且．
由得，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增．
综上，的减区间为，的增区间为．
（2）证明：，
要证明，即证， 等价于， 令（由，知），
则只需证，由知，
故等价于．（*）
①，则当时，，
所以在内是增函数，
当时，，所以；
②设，则当时，，
所以在内是增函数，
所以当时，，即．
由①②知（*）成立，所以．
22．解：曲线C的参数方程是为参数，
转换为直角坐标方程为：．
整理得：，转换为极坐标方程为：．
直线l的参数方程是为参数，．
转换为极坐标方程为：，极径为：和，故：，
转换为：，所以：，，
所以：，则：，
解得：，由于：所以：．
23．（1）当时，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：
的解集为：
（2）若存在满足等价于有解
，解得：
实数的取值范围为：
