2020届四川省眉山市高三第一次诊断性考试数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出集合，再根据交集的定义运算可得.
【详解】
解：因为，
所以.
故选：C
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题.
2．已知为虚数单位，复数，则其共扼复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据复数的乘法运算计算得复数,再根据共轭复数的概念可得答案.
【详解】
因为,
所以.
故选:D
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算,考查了共轭复数的概念,属于基础题.
3．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）．若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案.
【详解】
设截面将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为,圆柱的体积为, 将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为,圆柱的底面积为,
则,
,
,
所以依题意可得,
所以.,
故选:A
【点睛】
本题考查了利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程是解题关键,属于基础题.
4．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角函数的定义计算可得答案.
【详解】
因为,,所以,
所以.
故选:D
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值,考查了利用三角函数的定义求角的三角函数值,属于基础题.
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据函数值恒大于等于0,排除,根据函数不是偶函数,排除,根据趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除,故选:.
【详解】
因为,所以不正确;
函数不是偶函数,图象不关于轴对称,所以不正确;
当时,, 当趋近于正无穷时,和都趋近于正无穷,但是增大的速度大于增大的速度,所以趋近于0,故不正确.
故选:B
【点睛】
本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.
6．执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为，，输出的值分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据程序框图得到,,再相加即可得到答案.
【详解】
由程序框图可知:程序框图的功能是计算分段函数的函数值
当时,,所以,
当时,,所以,
所以.
故选:C
【点睛】
本题考查了利用程序框图计算分段函数的函数值,搞清楚程序框图的功能是解题关键,属于基础题.
7．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得以及,消去,结合离心率的定义可得答案.
【详解】
依题意可知,即,
又,
所以该椭圆的离心率.
故选:B
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率,关键是由得到,属于基础题.
8．关于函数的图象向右平移个单位长度后得到图象，则函数（ ）
A．最大值为3 B．最小正周期为
C．为奇函数 D．图象关于轴对称
【答案】D
【解析】先根据图象的平移变换和诱导公式得,再根据的解析式可得答案.
【详解】
依题意可得,
所以的最大值为4,最小正周期为,为偶函数,图象关于轴对称.
故选:D
【点睛】
本题考查了函数图像的平移变换,考查了诱导公式,考查了函数的最值,周期性和奇偶性,属于基础题.
9．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案.
【详解】
依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,
图②中阴影部分的面积是大三角形面积的,
图③中阴影部分的面积是大三角形面积的,
归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的,
所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为.
故选:C
【点睛】
本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.
10．圆上到直线的距离为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.
【详解】
圆可化为,
所以圆心为,半径为2,
圆心到直线的距离为:,
所以,
所以圆上到直线的距离为的点共有3个.
故选:C
【点睛】
本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.
11．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为（ ）
A．2400元 B．2560元 C．2816元 D．4576元
【答案】B
【解析】设甲型车辆,乙型车辆,运送这批水果的费用为元,依题意列出所满足的不等式组和目标函数,然后作出可行域,平移直线,根据图形得到最优解,代入最优解的坐标即可得到答案.
【详解】
设甲型车辆,乙型车辆,运送这批水果的费用为元,
则 ,目标函数,
作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的阴影部分:
作直线,并平移,分析可得当直线过点时,取得最小值,
即元.
故选:B
【点睛】
本题考查了利用线性规划求最小值,解题关键是找到最优解,属于基础题.
12．已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设切点为,利用导数的几何意义可得,将切点坐标代入直线,可得,再构造函数利用导数可得最小值.
【详解】
设切点为,
因为,所以,
所以,所以,
又切点在直线上,
所以,
所以,
所以,
所以,
令,
则,
令,得,
令,得,
所以在上递减,在上递增,
所以时,取得最小值.
即的最小值为.
故选:B
【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率,考查了利用导数研究函数的单调性,根据单调性求函数的最值,属于中档题.
二、填空题
13．若非零向量满足，则与所成角的大小为___．
【答案】90°
【解析】对该方程两边分别平方，即可得到，即可。
【详解】
则
∴α与β所成角的大小为90°
故答案为90°
【点睛】
本题考查了向量模去绝对值问题，可以通过对向量模平方，去掉绝对值，即可。
14．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为______．
【答案】15
【解析】先根据等高条形图求出喜欢徒步的男女生人数,从而可得喜欢徒步的总人数,进一步可得男生的抽样比,利用抽样比可得抽取的男生人数.
【详解】
根据等高条形图可知: 喜欢徒步的男生人数为,喜欢徒步的女生人数为,
所以喜欢徒步的总人数为,
按分层抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人数为人.
故答案为:15
【点睛】
本题考查了等高条形图,考查了利用分层抽样计算抽取的样本中,各层的人数,属于基础题.
15．如图，在正方体中，点在线段上移动，有下列判断：①平面平面；②平面平面；③三棱锥的体积不变；④平面．其中，正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】①在正方体中可证平面平面，又点在线段上移动,所以平面平面,所以①正确;
②先证平面，再根据面面垂直的判定定理可证平面平面，所以②正确；
③根据平面,可得三棱锥的体积不变，所以③正确；
④由平面，而与交于，可得④不正确.
【详解】
①因为在正方体中有, ,且平面,平面,所以 平面,同理得平面,
又,所以平面平面,
又点在线段上移动,所以平面平面,所以①正确;
②因为平面，所以在平面内的射影为，
因为，根据三垂线定理可得，
同理可得，
因为，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，所以②正确；
③由①知平面，所以点到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积不变，所以③正确；
④由②知平面，而与交于，所以与平面不垂直，所以④不正确。
故答案为:①②③
【点睛】
本题考查了直线与平面,平面与平面平行的判定定理，考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题.
16．已知函数，则满足不等式的取值范围是______．
【答案】
【解析】先用偶函数的定义得函数为偶函数,可得,再利用时,函数为增函数,可将不等式化为,从而可解得结果.
【详解】
因为,所以,
所以 为偶函数,所以,
当时,为增函数,
所以等价于,
所以,
所以,
故答案为:
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式,利用将不等式化为是解题的关键,属于中档题.
三、解答题
17．在中，角，，所对的边分别是，，，且 ．
（1）证明：为，的等差中项；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）5.
【解析】(1)由以及正弦定理,得,即为，的等差中项;
(2)根据以及余弦定理可解得.
【详解】
（1）由,得，
所以,
由正弦定理得,
即为，的等差中项,
（2）由（1）得,
因为，，由余弦定理有,即,
由，解得，（舍去）,
所以.
【点睛】
本题考查了两角和的正弦公式,考查了正弦定理角化边,考查了诱导公式,考查了余弦定理,考查了等差中项,属于中档题.
18．已知数列的前项和为，首项为，且4，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)根据4，，成等差数列,可得,再利用可得,从而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列,由此可得数列的通项公式;
(2)由可得,再根据等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】
（1）由题意有,
当时，，所以,
当时，，，
两式相减得，整理得，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列,
所以数列的通项公式．
（2）由，所以，
所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列,
所以．
【点睛】
本题考查了等差中项的应用,考查了用和的递推关系求通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列的前项和的公式,属于中档题.
19．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：
根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：
27 | 74 | 182 |
表中，．
（1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；
（2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（1）；（2），.
【解析】(1)根据公式计算出和,可得;
(2)根据可得,再根据函数为增函数可得答案.
【详解】
（1）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设．
，
所以，
故关于的线性回归方程为．
（2）由（1）可得，
于是产卵数关于温度的回归方程为,
当时，；
当时，；
因为函数为增函数，
所以，气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数．
【点睛】
本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.
20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点．
（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；
（2）若为线段，，上的动点（不含，），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【解析】(1)利用,可得平面,根据面面垂直的判定定理可证平面平面;
(2) 由底面，得平面平面．将问题转化为点到直线的距离有无最大值即可解决.
【详解】
（1）证明:因为，为线段的中点，所以,
因为底面，平面，所以,
又因为底面为正方形，所以，,
所以平面,
因为平面，所以,
因为，所以平面,
因为平面，所以平面平面.
（2）由底面，则平面平面,
所以点到平面的距离（三棱锥的高）等于点到直线的距离,
因此，当点在线段，上运动时，三棱锥的高小于或等于2,
当点在线段上运动时,三棱锥的高为2,
因为的面积为,
所以当点在线段上，三棱锥的体积取得最大值,
最大值为.
由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积,
所以三棱锥的体积存在最大值.
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题.
21．已知函数.
（1）若为单调递增函数，求的取值范围；
（2）若函数仅一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）对求导得，因为为单调函数，故或恒成立，
（2）因为，所以1是的一个零点，由（1）可知，当时，为上的增函数，所以仅有一个零点，满足题意，
当时，令得，由（1）可知，在上为单调递增，且，，故存在唯一的，使得成立，即，故最小值点就是零点．
【详解】
解：（1）由，
得，
因为为单调递增函数，所以当时，由于，于是只需对于恒成立，
令，则，当时，，所以为增函数，
所以.
当，即时，恒成立，
所以，为单调递增函数时，的取值范围是.
（2）因为，所以是的一个零点.由（1）知，当时，为的增函数，
此时关于的方程仅一解，即函数仅一个零点，满足条件.
当时，由得，
（ⅰ）当时，，则，令，
易知为的增函数，且，
所以当时，，即，为减函数，
当时，，即，为增函数，
所以在上恒成立，且仅当，于是函数仅一个零点.
所以满足条件.
（ⅱ）当时，由于在为增函数，
则，当时，.
则存在，使得，即使得，
当时，，当时，，
所以，且当时，.
于是当时存在的另一解，不符合题意，舍去.
（ⅲ）当时，则在为增函数，
又，，
所以存在，使得，也就使得，
当时，，当时，，
所以，且当时，.
于是在时存在的另一解，不符合题意，舍去.
综上，的取值范围为或.
【点睛】
本题考查了函数图象和性质，函数零点，导数在研究函数中的应用等基本知识，属于综合题．
22．已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2），是曲线上两点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)先消去参数将参数方程化成普通方程,再利用，将普通方程化成极坐标方程即可得到;
(2) 设点的极坐标为，则点的极坐标为．将化成,利用即可得到答案.
【详解】
（1）由（为参数），得曲线的普通方程为,
将，代入，得,
即,
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由（1）知,
设点的极坐标为，
因为，则点的极坐标为,
所以
．
【点睛】
本题考查了参数方程化普通方程,考查了直角坐标方程化极坐标方程,考查了极坐标的几何意义,考查了同角公式,属于中档题.
23．已知正实数，满足．
（1）求最大值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）4；（2）.
【解析】(1)平方后用基本不等式即可得到答案;
(2)利用基本不等式求得的最小值为3,利用绝对值三角不等式求得的最大值为,然后将恒成立转化为,解绝对值不等式即可得到答案.
【详解】
（1）因为
，当且仅当时取等号．
所以最大值为4．
（2）因为，
当且仅当，即，取等号，
所以的最小值为3,
又,
所以,
所以不等式对任意恒成立，只需,
所以,解得,
即实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查了基本不等式求积的最大值,和的最小值,考查了绝对值三角不等式,考查了不等式恒成立问题,属于中档题.
