2020届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学（文）试题  一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据集合的补运算和交运算，即可求得结果.【详解】由题知或，所以，故选：C.【点睛】本题考查二次不等式的解法，集合的运算，属于容易题.2．式子的值等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据余弦的倍角公式，结合诱导公式，即可化简.【详解】，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，余弦的倍角公式，属于容易题.3．.已知，对应的复数为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据向量的减法坐标公式，解得坐标，再写出对应的复数和其共轭复数.【详解】由题可知，故对应的复数为，则，故选：D.【点睛】此题考查复平面内点对应的向量，以及共轭复数的概念，属于容易题.4．在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：.据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在中的学生有（    ）A．30名 B．40名 C．50名 D．60名【答案】B【解析】根据面积之和为1，计算出所在长方形的面积，即为频率，乘以样本容量即可.【详解】由题知，成绩在内的学生所占的频率为，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有名，故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图的概念及应用，属于容易题.5．函数的零点之和为（）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】A【解析】由函数零点与方程的根的关系可得函数的零点即方程，的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】解：令，解得，令，解得，则函数的零点之和为，故选A.【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.6．我市高中数学研究会准备从会员中选拔名男生，名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛，若满足约束条件，则该小组最多选拔学生（    ）A．21名 B．16名 C．13名 D．11名【答案】B【解析】根据不等式组画出可行域，构造目标函数，数形结合即可求得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示：目标函数，求得，观察可知，当直线过点时，有最大值16，故选：B.【点睛】本题考查线性规划的实际应用以及最优解，考查数形结合思想，属于中档题.7．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据目标函数是奇函数，并且定义域为，据此判断.【详解】因为，所以函数是奇函数，根据奇函数图象的特点可以排除A、D，又因为函数的定义域是，排除C.故选：B.【点睛】此题考查函数的奇偶性，函数图象识别，属于中档题；一般地，我们从定义域，奇偶性，单调性以及特值得角度来判断.8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时，即可得解.【详解】时，；时，；时，；时，退出循环.此时，，解得.故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9．已知三个数，则它们之间的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】将数据与或者1比较大小，从而判断三个数据的大小关系.【详解】由题知，即，又因为，故；所以，故选：B.【点睛】此题考查指数、对数函数的基本性质，弧度制、三角函数的单调性，属于中档题.10．已知单位向量分别与平面直角坐标系轴的正方向同向，且向量，，则平面四边形的面积为（）A． B． C．10 D．20【答案】C【解析】由已知可得，可得，可得平面四边形的面积．【详解】由向量正交分解的定义可知，，，则，.因为，所以，所以平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积为.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积运算性质、对角线互相垂直的四边形面积的计算，考查推理能力与运算求解能力．11．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用导数使得函数，在区间单调递增；同时也要根据指数型复合函数的单调性，保证在区间上单调递增；最后再保证在分割点处，使得的函数值小于等于的函数值即可.【详解】由题知，，即；由得只需保证在上恒成立，则在上恒成立，即；又函数在上单调递增，则需满足，综上，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】此题考查分段函数的单调性，三次函数单调性，恒成立问题等，涉及导数的计算，属于较难题.12．已知，为图象的顶点，O，B，C，D为与x轴的交点，线段上有五个不同的点．记，则的值为（    ）A． B．45 C． D．【答案】C【解析】通过分析几何关系，求出，，再将表示成，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，,,,，,∴，即．则，答案选C【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量，是关键  二、填空题13．命题“”的否定形式是____________.【答案】【解析】根据全称命题的否定的求解原则，直接得出结论.【详解】由题可知命题“”的否定形式是“”.故答案为：.【点睛】此题考查全称命题的否定的概念，属于容易题.14．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则     ；函数在处的导数       ．【答案】2 ；-2【解析】；．15．如图，在单位圆中，为等边三角形，且，则__________.【答案】【解析】根据三角形的面积，可求得，再利用角度关系，应用正弦的和角公式即可求得.【详解】记，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查三角形的面积，单位圆的概念，角的分拆，和差角的三角函数，数形结合思想、逻辑推理能力等，属于中档题.16．已知中，角、、对应的边分别为、、，是上的三等分点（靠近点），且，则的最大值为_____.【答案】【解析】利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理，求得角；再利用向量的定比分点，结合均值不等式求得最大值.【详解】由，结合正弦定理得，整理得，得，可得；因为点是边上靠近点的三分点，则，故即，即，当且仅当时取等号，解得，即的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查正（余）弦定理，均值不等式的应用，逻辑推理能力等，属于较难题. 三、解答题17．已知是递增的等差数列，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最小值.【答案】（1）；（2）-225.【解析】（1）巧用等差数列的下标和性质，再由等差数列的基本量，根据题意列方程组即可求得.（2）由（1）知，数列是等差数列，故直接用公式法求得，再求其最小值即可.【详解】（1）因为为等差数列，则，又，故是方程的两根，∵是递增的等差数列，解得，则的公差，故.（2）由（1）知，因为，故数列是首项为-29，公差为2的等差数列，由公式可得，由二次函数的单调性，可得当时，的最小值为.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式，以及用公式法求解前项和，涉及其最小值的求解，属综合性基础题.18．在中，内角对应的边分别为，且满足.（1）求；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1） （2）【解析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得到，再根据同角三角函数关系求得，结合正弦的倍角公式即可求得；（2）利用（1）中结论，以及面积公式，即可得的一个方程；再根据余弦定理，得到的另一个方程，解方程组即可.【详解】（1）由正弦定理可得：，故，又，所以，则.（2）由，又，可得.又，得，即，故.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，同角三角函数关系，正弦的倍角公式，以及三角形面积公式，余弦定理解三角形，属综合性基础题.19．已知四棱锥中，侧面，，是边长为2的正三角形，底面是菱形，点为的中点.（1）求证：（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连结，交于，，欲证，只需证即可，再由题意可证明；（2）由已知条件可得，再求出的体积即可得解.【详解】解：（1）连结，交于，由于底面为菱形，为中点又为的中点，，又（2）过作，垂足为，由于为正三角形，为的中点，由于侧面，由面面垂直的性质得，由，得.，因为为的中点， 所以，故三棱锥的体积为.【点睛】本题考查了线面平行的判定及三棱锥的体积的求法，重点考查了运算能力，属中档题.20．某校为了了解篮球运动是否与性别相关，在高一新生中随机调查了40名男生和40名女生，调查的结果如下表： 喜欢不喜欢总计女生 8 男生20  总计    （1）根据题意完成上面的列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关？（2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人做进一步调查，从这5人中任选2人，求2人都喜欢篮球运动的概率.附：0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828 .【答案】（1）填表、分析见详解，能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关；（2）.【解析】（1）根据男生和女生各有40个，即可得到表格中的所有数据，再根据表格数据，利用参考公式，计算，即可进行判断；（2）先根据分层抽样的等比例抽取的性质，计算出5人中喜欢篮球和不喜欢篮球的人；从而列举出所有从5人中抽取2人的可能性，再找出满足题意的可能性，用古典概型概率计算公式即可求得.【详解】（1）填表如下： 喜欢不喜欢总计女生32840男生202040合计522880 ∴.所以能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关.（2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人，则其中喜欢篮球运动的有（人），不喜欢篮球运动的有（人）设喜欢篮球运动的4人记为，不喜欢篮球运动的记为，则从这5人中任选2人的所有结果有：，共10种.其中恰好2人都喜欢篮球运动的有，共6种.所以从这5人中任选2人，2人都喜欢篮球运动的概率为.【点睛】本题考查的计算，以及古典概型的概率计算，涉及分层抽样的计算，属综合性中档题.21．已知函数.（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；（2）若在R上有且仅有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】（1）根据极值点处导数为零，计算出参数以及，再对求导，对参数进行分类讨论，从而求得该函数的单调区间；（2）分离参数，构造函数，通过讨论构造的函数的单调性求得值域，即可求得参数的取值范围.【详解】（1），因为是函数的一个极值点，则，所以，则，当，当时，恒成立，在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）在上有且仅有一个零点，即方程有唯一的解，令，可得，由，得或，（1）当时，，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围为.（2）当时，，所以在上单调递增，所以，即，故的取值范围为.（3）当时，，所以在上单调递减，所以，即，即的取值范围为.所以，当或，即或时，在上有且只有一个零点，故的取值范围为.【点睛】本题考查对含参函数单调性的讨论，以及利用导数研究由函数零点个数求参数范围的问题，涉及分离参数，构造函数的数学方法，属综合性中档题.22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，直线与轴的交点为，与曲线相交于两点，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】(1)先将和化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出l的普通方程有，点，写出直线l的参数方程，代入曲线：，设交点两点的参数为，，根据韦达定理可得和，进而求得的值．【详解】(1) 曲线的普通方程为：曲线的普通方程为：，即由两圆心的距离，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为，即.所以直线的极坐标方程为.(2) 直线的直角坐标方程：，则与轴的交点为直线的参数方程为，带入曲线得.设两点的参数为，所以，，所以，同号.所以【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8【解析】（1）利用基本不等式可得 , 再根据0＜xy＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.（2）由＝, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，即．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．