2020届四川省巴中市高三第一次诊断性数学（文）试题（解析版）

2020届四川省巴中市高三第一次诊断性数学（文）试题

一、单选题

1．复数z=在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标后即可得到答案．

【详解】

由题意得，

所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．

故选D．

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．

2．已知集合，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】集合A,B分别表示抛物线，直线上的点构成的集合，其交点构成集合即为交集.

【详解】

由解得或，

，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了集合的交集，求直线与抛物线交点，属于容易题.

3．设，，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小.

【详解】

,

,

,

,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.

4．已知变量、之间的线性回归方程为，且变量、之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）

A．可以预测，当时， B．

C．变量、之间呈负相关关系 D．该回归直线必过点

【答案】B

【解析】将的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误；将的坐标代入回归直线方程可计算出实数的值，可判断出B选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C选项的正误；根据回归直线过点可判断出D选项的正误.

【详解】

对于A选项，当时，，A选项正确；

对于B选项，，，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，B选项错误；

对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量、之间呈负相关关系，C选项正确；

对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项正确.故选：B.

【点睛】

本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

5．已知点，，不共线，则“与的夹角为”是“”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】利用向量数量积的性质,可判断与与的夹角为的推出关系，即可求解.

【详解】

当与的夹角为时

，

，

，

当时，

，

化简得：，

，，不共线，

与的夹角为锐角，

所以“与的夹角为”是“”的充分不必要条件，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了数量积的运算性质，充分不必要条件，属于中档题.

6．下列关于函数和函数的结论，正确的是(    )

A．值域是 B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据正弦函数的值域，周期性分别分析即可.

【详解】

,

,

,

故A错误D正确，

，，

，

故B,C错误，

故选：D

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的值域，周期性，属于容易题.

7．已知函数，则其导函数的图象大致是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】求函数导数，观察图象，确定导函数的奇偶性，再利用导数确定导函数的单调性，即可求解.

【详解】

,

,

,

即函数为奇函数，排除B,D选项，

令，

则，

当时，，

在上单调递减，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了函数的导数，利用导数判定函数单调性，函数的奇偶性，属于中档题.

8．设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中所有正确命题序号是(    )

A．③④ B．②④ C．①② D．①③

【答案】A

【解析】在①中，与相交或平行；在②中，或；在③中，由线面垂直的性质定定理得；在④中，由线面垂直的判定定理得．

【详解】

由，为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，知：

在①中，若，，则与相交或平行，故①错误；

在②中，若，，则或，故②错误；

在③中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故③正确；

在④中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故④正确．

故答案为：③④．

【点睛】

本题主要考查了命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．

9．已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为140°，则的离心率为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由双曲线方程，列出关系式，即可求解双曲线的离心率.

【详解】

渐近线的倾斜角为140°

，

，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题.

10．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若关于的方程在区间内有解，则实数的最小值为(    )

A．4 B． C．8 D．

【答案】B

【解析】由函数的奇偶性，构造方程可解的，原方程有解可转化为在有解，换元，求函数的最小值即可.

【详解】

,

，

又函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数,

,

，，

在有解，

在内有解，

令，是增函数，

则，

即在有解，

，当且仅当时，等号成立，

的最小值，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数奇偶性的运用，函数与方程，均值不等式，换元法，属于中档题.

.

11．如图，在直三棱柱中，，，则四棱锥的外接球的体积是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】连接，由, , 都是以为斜边的直角三角形可知球的直径为，即可求解.

【详解】

连接,

,,,

平面,

平面,

,

, , 都是以为斜边的直角三角形,

是四棱锥的外接球的直径，

，

在中，可解得，

，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了四棱锥的外接球，利用直角三角形确定球的直径是关键，属于中档题.

12．已知函数（），若方程恰有3个不同的根，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，当时显然方程有一个根，问题转化为当时，有2个根，即与的图象有2个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求解.

【详解】

当时，即为，

即，

所以方程有1根，

又方程恰有3个不同的根，

所以当时，有2个根，

即有2个根，

所以与的图象有2个交点，

设过原点与相切的直线切点为，

则切线斜率，

解得，

所以，

所以与有2个交点则需，

即，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数与方程，由方程根的个数求参数，直线与曲线相切，属于中档题.

二、填空题

13．________.

【答案】0

【解析】根据对数运算法则求解即可.

【详解】

,

故答案为：0

【点睛】

本题主要考查了对数的运算法则，属于容易题.

14．已知，则________.

【答案】-3.

【解析】由两角差的正切公式展开，解关于的方程．

【详解】

因为，所以．

【点睛】

本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号．

15．已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，交于点，若，则________.

【答案】2

【解析】根据抛物线的定义，利用平行线分线段成比例，即可推导出所求结果.

【详解】

过P，Q分别作PM,QN垂直准线于,如图：

，

,

由抛物线定义知，

,

,

,

,

,

，

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，属于中档题.

16．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的三个内角的对边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为.若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为________.

【答案】

【解析】根据条件求出，代入求解即可.

【详解】

,

,

,

,

,

,

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，考查了推理能力，计算能力，属于中档题.

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，是棱的中点.

(1)求证：平面；

(2)在棱上是否存在点，使得平面？并说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析.

【解析】（1）先证明平面，可得平面平面，由面面垂直的性质可证平面（2）取中点，连接，，根据平行四边形可得线线平行，即可证明线面平行.

【详解】

(1)由底面是矩形，知，

又，平面

平面

又平面

平面平面

由，是棱的中点得：

平面平面 ， 平面

平面

(2)在棱上存在点，使得平面，且为的中点.

证明如下：如图

取中点，连接，

在矩形中，，

四边形是平行四边形

平面，平面

平面.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，线面平行的判定，属于中档题.

18．已知各项均为正数的数列的前项和满足（）.

(1)证明：数列是等差数列，并求其通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析，；(2).

【解析】（1）根据与的递推关系的关系求出通项公式即可（2）由（1）可知，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的求和公式即可求解.

【详解】

(1)由知：

当时，有， ，解得

由， 两式相减，得：

，化简得：

变形得：

对，有

，即

故 数列是以1为首项，2为公差的等差数列

(2)，

【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系，等差数列、等比数列的求和公式，分组求和，属于中档题.

19．“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：），经统计，树苗的高度均在区间内，将其按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于的为优质树苗.

(1)求图中的值；

(2)已知所抽取的这120株树苗来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：

将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由；

(3)通过用分层抽样方法从试验区被选中的树苗中抽取5株，若从这5株树苗中随机抽取2株，求优质树苗和非优质树苗各有1株的概率.

附：参考公式与参考数据：

其中

【答案】(1)0.025；(2)没有，理由见解析；(3).

【解析】（1）根据频率分布直方图计算即可（2）由题意完善列联表，计算，比较临界值即可得出结论（3）根据分层抽样抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株，记2株优质树苗为、，记3株非优质树苗为、、，列出基本事件，利用古典概型求解即可.

【详解】

(1)根据频率直方图数据，有，解得：.

(2)根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有

列联表如下：

可得；

所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与两个试验区有关系

注：也可由得出结论

(3)由(2)知：试验区选中的树苗中优质树苗有20株，非优质树苗有30

故用分层抽样在这50株抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株

记2株优质树苗为、，记3株非优质树苗为、、

则从这5株树苗中随机抽取2株的共有以下10种不同结果：

，，，，，，，，，，

其中，优质树苗和非优质树苗各有1株的共有以下共6种不同结果：

，，，，，

优质树苗和非优质树苗各有1株的概率为.

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图，独立性检验，古典概型，属于中档题.

20．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间及极值；

(2)当时，求证：.

【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为；，没有极小值；(2)证明见解析.

【解析】（1）求函数的导数，利用导数求函数的单调区间、极值即可（2）构造函数，利用导数，分类讨论求函数的最小值，转化为最小值不小于0即可，也可构造函数后变换主元为求其最大值也可证明.

【详解】

(1)当时，，在上单调递减

由得：

当时，；当时，

函数的单调增区间为，单调减区间为.

，但没有极小值.

(2)证明：

证法一

令

①当时，，故

②当时，在上是增函数

由得：

当时，，在上单调递减

当时，，在上单调递增

由知：

，于是

，即

综上所述，当时，.

证法二

即，其中，

以为主元，设，，则

当时，.

由知对任意成立.

令，则在上单调递减

又

当时，；当时，

对任意，都有，即

综上所述，当时，.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求函数的单调区间及极值，利用导数证明不等式恒成立，属于难题.

21．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为.记点的轨迹为曲线.

(1)求的方程，并说明是什么曲线；

(2)若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，椭圆；(2)存在，.

【解析】（1）写出斜率，根据斜率之积为建立方程，化简即可（2）假设存在的定点，分MN斜率存在或不存在两种情况讨论，设，，当MN斜率存在时，联立方程可求出，根据两角相等可得，化简即可求出m,验证MN斜率不存在时也成立即可.

【详解】

(1)由题意得：

化简得：

曲线的方程为

是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）

(2)假设存在的定点符合题意

由题意知：直线的斜率分别为，

由题意及(1)知：直线与直线均不重合.

当直线的斜率存在时

设其方程为，，

由，得直线的倾斜角互补，故

又

①

由消去，整理得：.

又，②

代②入①得：③

当时，又不恒为０

当且仅当时，③式成立，即定点满足题意.

当直线的斜率不存在时，点满足，也符合题意.

综上所述，在 轴上存在定点，使得.

【点睛】

本题主要考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，定点问题，属于难题.

22．选修4－4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数，)．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.

(1)当时，求与的交点的极坐标；

(2)直线与曲线交于两点，且两点对应的参数互为相反数，求的值．

【答案】（1），（2）

【解析】试题分析：（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为，联立解出方程组即可；（2）把直线的参数方程代入曲线，根据结合韦达定理可得结果.

试题解析：（1）由，可得，

所以，即，

\当时，直线的参数方程（为参数），化为直角坐标方程为，

联立解得交点为或，

化为极坐标为，

（2）把直线的参数方程代入曲线，得，

可知，，

所以．

23．    已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].

【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围

试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；

当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．                 6分

（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|

－2－a≤x≤2－a，

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，

故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．

【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数