2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题（解析版）

2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.

【详解】

由题意知,集合,,

由集合的交运算可得,.

故选:D

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.

2．设，则复数的模等于(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.

【详解】

因为,

所以,

由复数模的定义知,.

故选:C

【点睛】

本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.

3．已知是第二象限的角，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.

【详解】

因为,

由诱导公式可得,,

即,

因为,

所以,

由二倍角的正弦公式可得,

,

所以.

故选:D

【点睛】

本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.

4．设，，，则的大小关系是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解.

【详解】

因为对数函数在上单调递增,

所以,

因为对数函数在上单调递减,

所以，

因为指数函数在上单调递增,

所以,

综上可知,.

故选:A

【点睛】

本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.

【详解】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,

因为圆柱的表面积公式为，

所以,解得,

因为圆柱的体积公式为,

所以,

由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，

所以所求圆柱内切球的体积为

.

故选:D

【点睛】

本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.

6．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（   ）

A．1月至8月空气合格天数超过天的月份有个

B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了

C．8月是空气质量最好的一个月

D．6月份的空气质量最差.

【答案】D

【解析】由图表可知月空气质量合格天气只有天，月份的空气质量最差．故本题答案选．

7．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【解析】首先根据等比数列分别求出满足，的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.

【详解】

为等比数列，

若成立，有，

因为恒成立，

故可以推出且，

若成立，

当时，有，

当时，有，因为恒成立，所以有，

故可以推出，，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.

8．设，满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.

【详解】

由题知，满足，可行域如下图所示，

可知目标函数在点处取得最小值，

故目标函数的最小值为，

故的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.

9．设函数，则，的大致图象大致是的(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.

【详解】

对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，

因为,

所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；

对于选项D:因为,故选项D排除;

对于选项C:因为,故选项C排除;

故选:B

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

10．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.

【详解】

，

即，即，

，，得，，.

由余弦定理得，

由正弦定理，因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

11．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.

【详解】

由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，

设中点为，连接，，可知，，

同时易知，，

所以面，故即为与面所成角，

有，

故.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.

12．在中，，，，为的外心，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.

【详解】

如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，

过分别做，的平行线，，

由题知，

则外接圆半径，

因为，所以，

又因为，所以，，

由题可知，

所以，，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.

二、填空题

13．在的展开式中的系数为，则_______．

【答案】2

【解析】首先求出的展开项中的系数，然后根据系数为即可求出的取值.

【详解】

由题知，

当时有，

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.

14．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．

【答案】

【解析】设 ，则 ，由题意可得 故当 时， 由不等式 ，可得 ，或

求得 ，或 故答案为（

15．若函数恒成立,则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】若函数恒成立，即，求导得，在三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的，解关于的不等式，再取并集，即得。

【详解】

由题意得,只要即可，

，

当时，令解得，

令，解得，单调递减，

令，解得，单调递增，

故在时，有最小值，，

若恒成立，

则，解得；

当时，恒成立;

当时，，单调递增，,不合题意,舍去.

综上,实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。

16．已知椭圆Г：，F1、F2是椭圆Г的左、右焦点，A为椭圆Г的上顶点，延长AF2交椭圆Г于点B，若为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.

【答案】

【解析】由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设，由题可得的长，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的关系，从而求出椭圆的离心率

【详解】

如图，若为等腰三角形，则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t，则|BF1|=2a−t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a−t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，设∠BAO=θ，则∠BAF1=2θ，所以Г的离心率e=，结合余弦定理，易得在中，，所以，即e= =，

故答案为：.

【点睛】

此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.

三、解答题

17．设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列．

（1）求及；

（2）设，设数列的前项和，证明：．

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据题中条件求出等差数列的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列的通项和前项和；

（2）根据裂项求和求出，根据的表达式即可证明.

【详解】

（1）设的公差为，

由题意有，

且，

所以，

；

（2）因为，

所以，

.

【点睛】

本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.

18．2019年6月，国内的运营牌照开始发放.从到，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：

我们将大学生升级时间的早晚与大学生愿意为套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的）.

（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到的概率；

（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以表示这2人中愿意为升级多支付10元或10元以上的人数，求的分布列和数学期望；

（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.

【答案】（1）（2）详见解析（3）事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析

【解析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；

（2）由题意的所有可能值为，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.

（3）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，得到七概率为，即可得到结论.

【详解】

（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即.

（2）由题意的所有可能值为，

记事件为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，

事件为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，

由题意可知，事件，相互独立，且，，

所以，

，

，

所以的分布列为

故的数学期望.

（3）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，那么.

回答一：事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.

回答二：事件发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.

19．如图所示，在三棱锥中，，，，点为中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若点为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）答案见解析．（2）

【解析】（1）通过证明平面，证得，证得，由此证得平面，进而证得平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【详解】

（1）因为，所以平面，

因为平面，所以．

因为，点为中点，所以．

因为，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，

，，，，

设平面的一个法向量，则即

取，则，，所以，

设平面的一个法向量，则即

取，则，，所以，

设平面与平面所成锐二面角为，

则．

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20．已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．

（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设、、点坐标，根据利用坐标表示出即可得证；

（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出，即可求出范围.

【详解】

（1）依题有，所以椭圆方程为．

设，，，

由为的重心，；

又因为，，

，，

（2）当的斜率不存在时：，，，

代入椭圆得，，，

当的斜率存在时：设直线为，这里，

由，，

根据韦达定理有，，，

故，代入椭圆方程有，

又因为，

综上，的范围是.

【点睛】

本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.

21．设函数，．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）时，若，，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可；

（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明.

【详解】

（1），令，

则，令得，

当时，则在单调递减，

当时，则在单调递增，

所以，

当时，，即，则在上单调递增，

当时，，

易知当时，，

当时，，

由零点存在性定理知，，不妨设，使得，

当时，，即，

当时，，即，

当时，，即，

所以在和上单调递增，在单调递减；

（2）证明：构造函数，，

，，

整理得，

，

（当时等号成立），

所以在上单调递增，则，

所以在上单调递增，，

这里不妨设，欲证，

即证由（1）知时，在上单调递增，

则需证，

由已知有，

只需证，

即证，

由在上单调递增，且时，

有，

故成立，从而得证.

【点睛】

本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为.（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程及的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到距离的取值范围.

【答案】（1），.（2）

【解析】（1）根据直线的参数方程为（为参数），消去参数，即可求得的的普通方程，曲线的极坐标方程为，利用极坐标化直角坐标的公式: ，即可求得答案；

（2）的标准方程为，圆心为，半径为，根据点到直线距离公式，即可求得答案.

【详解】

（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数

的普通方程为.

曲线的极坐标方程为，

利用极坐标化直角坐标的公式:

的直角坐标方程为.

（2）的标准方程为，圆心为，半径为

圆心到的距离为，

点到的距离的取值范围是.

【点睛】

本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

23．已知.

（Ⅰ） 若，求不等式的解集；

（Ⅱ），，，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数改写成分段函数的形式,分三种情况分别解不等式,然后取并集即可；

（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,结合题意,只需即可,解不等式即可求解.

【详解】

（Ⅰ）当时， ，   

，或，或

，或

所以不等式的解集为；

（Ⅱ）因为

，又

（当时等号成立），

依题意，，，有，

则，解之得，

故实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.