2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学（文）试题（解析版）

2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学（文）试题  一、单选题1．复数满足为虚数单位)，则的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知，，故的虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.2．设全集集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出，再与集合N求交集.【详解】由已知，，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.3．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意，，解得.故选：B.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.4．曲线在点处的切线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】只需利用导数的几何意义计算曲线在点处的导数值即可.【详解】由已知，，故切线的斜率为，所以切线方程为，即.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道基础题.5．已知锐角满足则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用代入计算即可.【详解】由已知，，因为锐角，所以，，即.故选：C.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.6．函数在的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由可排除选项C、D；再由可排除选项A.【详解】因为，故为奇函数，排除C、D；又，排除A.故选：B.【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.【详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，退出循环，输出的为.故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.8．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知，，令，得.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.9．在正方体中，点分别为的中点，在平面中，过的中点作平面的平行线交直线于则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当为中点时，易得∥，再由线面平行的判定定理知，∥平面.此时，.【详解】如图因为∥，∥，故∥，所以当为中点时，∥，所以∥，又平面，平面，由线面平行的判定定理可知，∥平面.此时.故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判断定理的应用，考查学生的推理能力，是一道容易题.10．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.11．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为，则,过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，所以，，故.故选：D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.12．已知函数.若存在使得成立，则的最小值为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】将变形为，利用单调性可得，从而，再构造函数，通过求导找到最小值即可.【详解】易知在上单调递增，在上单调递减，同理，，易得在上单调递增，在上单调递减，又存在使得成立，则，，且，又在上单调递增，故，所以，令，则，易知，在上单调递减，在上单调递增，故.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究双变量函数的最值问题，考查学生的逻辑思维与等价转化思想，是一道难题.  二、填空题13．已知函数，则___________．【答案】【解析】由内到外，一层一层的求，先求，再求.【详解】由已知，，.故答案为：.【点睛】本题考查已知分段函数求函数值的问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.14．在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．【答案】【解析】由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得，即，解得，故的面积.故答案为：【点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.15．设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为___________．【答案】【解析】联立直线与抛物线方程消x，得，再利用韦达定理即可解决.【详解】联立直线与抛物线，得，则，又，故，.故答案为：.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到中点弦问题，当然本题也可以用点差法求解.16．已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________．【答案】【解析】只要算出直三棱柱的棱长即可，在中，利用即可得到关于x的方程，解方程即可解决.【详解】由已知，，解得，如图所示，设底面等边三角形中心为，直三棱柱的棱长为x，则，，故，即，解得，故三棱柱的侧面积为.故答案为：.【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题. 三、解答题17．已知是递增的等比数列，且成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设.求数列的前项和【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（I）由成等差数列可得，解方程即可得到公比，再利用等比数列的通项公式计算即可；（II），利用裂项相消法计算即可.【详解】设数列的公比为由题意及，知.成等差数列，.，即.解得或(舍去)..数列的通项公式为.【点睛】本题考查求等比数列的通项公式以及裂项相消法求数列的前n项和的问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.18．如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面分别为的中点.（Ⅰ）求证:平面平面； （Ⅱ）若求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（I）要证明平面平面，只需证明平面 ，即证明，；（II）利用等体积法，即来计算.【详解】是正方形，平面，平面平面且，平面 又平面平面平面)设三棱锥的高为.连接，平面，平面， .，.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理以及等体积法求三棱锥体积，考查学生逻辑推理及转化与划归思想，是一道容易题.19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润关于年份代号的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):年份2013201420152016201720182019年份代号1234567年利润 (单位:亿元)  （Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为)的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年.将中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率.参考公式:【答案】（Ⅰ），63亿元；（Ⅱ）.【解析】（I）按照公式计算即可；（II）被评为级利润年的有年，分别记为，评为级利润年的有年，分别记为，采用枚举法列出从2015至2020年中随机抽取年的总的情况以及恰有一年为级利润年的情况，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】根据表中数据，计算可得又关于的线性回归方程为.将代入，(亿元).该公司2020年的年利润的预测值为亿元.由可知2015 年至2020年的年利润的估计值分别为(单位:亿元)，其中实际利润大于相应估计值的有年.故这年中，被评为级利润年的有年，分别记为；评为级利润年的有年，分别记为从2015至2020年中随机抽取年，总的情况分别为:，共计种情况.其中恰有一年为级利润年的情况分别为:，共有种情况.记“从2015至2020年这年的年利润中随机抽取年，恰有一年为级利润年”的概率为，故所求概率【点睛】本题考查线性回归方程的应用及古典概型的概率计算问题，考查学生运算求解能力，是一道容易题.20．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，与圆相交于两点，当的值为时，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】（I），相加即可得到a，又及可得b；（II）又直线与椭圆联立消x，利用韦达定理得到，在圆中利用垂径定理与勾股定理可得，代入即可求得m.【详解】在椭圆上， .又 ，则故所求椭圆的标准方程为.设联立消去，得. ，设圆的圆心到直线的距离为，则解得.经验证符合题意.故所求直线的方程为或.【点睛】本题考查直线与椭圆、圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.21．已知函数，其中.（Ⅰ）若，求函数的极值； （Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）极小值0，无极大值；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），令，得到的单调性即可得到极值；（Ⅱ）在上恒成立，可构造函数，，令，，分，，讨论即可.【详解】当时，则，令解得(舍去)，.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，的极小值为，无极大值.若在上恒成立，即在上恒成立.构造函数，则令.若可知恒成立.在上单调递增..当即时，在上恒成立，即在上恒成立.在上恒成立，满足条件.当即时， ，存在唯一的使得.当时，即在单调递减.，这与矛盾.若由可得(舍去)，易知在上单调递减.在上恒成立，即在上恒成立.在上单调递减.在上恒成立，这与矛盾.综上，实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值以及不等式恒成立问题，考查学生分类讨论的思想，是一道较难的题.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）直线的直角坐标方程为；曲线的普通方程为；（Ⅱ）.【解析】（I）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.【详解】由可得直线的直角坐标方程为由曲线的参数方程，消去参数可得曲线的普通方程为.易知点在直线上，直线的参数方程为(为参数).将直线的参数方程代入曲线的普通方程，并整理得.设是方程的两根，则有.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.23．已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（I）零点分段法，分，，讨论即可；（II），分，，三种情况讨论.【详解】原不等式即.当时，化简得.解得；当时，化简得.此时无解；当时，化简得.解得.综上，原不等式的解集为由题意，设方程两根为.当时，方程等价于方程.易知当，方程在上有两个不相等的实数根.此时方程在上无解.满足条件.当时，方程等价于方程，此时方程在上显然没有两个不相等的实数根.当时，易知当，方程在上有且只有一个实数根.此时方程在上也有一个实数根.满足条件.综上，实数的取值范围为.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及方程根的个数求参数范围，考查学生的运算能力，是一道中档题.