2020届陕西省榆林市高三下学期3月线上高考模拟测试数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省榆林市高三下学期3月线上高考模拟测试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用对数函数的单调性求出集合，再利用集合的交运算即可求解.

【详解】

由，，

则.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了集合的交运算、对数函数的单调性解不等式，属于基础题.

2．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（    ）

A． B．4 C． D．16

【答案】D

【解析】根据复数乘方公式：，直接求解即可.

【详解】

，

 .

故选：D

【点睛】

本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.

3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（    ）

A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养

C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强

【答案】D

【解析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.

【详解】

对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，

故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；

对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，

故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；

对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为

，

乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；

对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；

故选：D

【点睛】

本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.

4．已知，，则（    ）

A． B．-2 C． D．2

【答案】B

【解析】将表达式中的正切化为正、余弦，由，求出，即可得出结论.

【详解】

由，，

可得，

，

.

故选：B

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系、半角公式，需熟记公式，属于基础题.

5．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（    ）

A． B．-2 C． D．2

【答案】A

【解析】设，用表示出，求出的值即可得出答案.

【详解】

设

由

，

，

.

故选：A

【点睛】

本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.

6．设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率.

【详解】

如图，连接，

椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，

B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限，

直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点

为的中位线，

，且，

，

解得椭圆的离心率.

故选：C

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.

7．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是　　

A．336    B．510    C．1326    D．3603

【答案】B

【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.

【考点】1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.

8．已知函数为奇函数，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】由函数为奇函数，可得，代入整理可得.

【详解】

函数为奇函数，可得，

，整理可得，

.

故选：B

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性求参数值、需掌握函数奇偶性定义，属于基础题.

9．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（    ）

A．4 B．8 C．9 D．27

【答案】D

【解析】设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，

作正四面体的高为，

则，

，

，

设内切球的半径为，内切球的球心为，

则，

解得：；

设外接球的半径为，外接球的球心为，

则或，，

在中，由勾股定理得：

，

，解得，

，

故选：D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.

10．已知函数，，要得到的图像，只需将的图像（    ）

A．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍

D．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍

【答案】A

【解析】根据同角的正弦函数图像向左平移四分之一个周期可得同角的余弦函数图像，结合纵向伸缩变换的法则，可得答案.

【详解】

将向左平移个单位长度，可得，

再保持横坐标不变把各点的纵坐标伸长到原来的3倍.

故选：A

【点睛】

本题考查了三角函数的图像平移伸缩变换，需掌握函数的伸缩变换原则，属于基础题.

11．在空间内，设，m，n是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（    ）

A．，，，则

B．，，，则

C．，，，若，则

D．，，则或

【答案】D

【解析】根据题目给出了不同线和不同的几个面，根据给出的几个条件，分析时从一个条件入手，逐个整合其他条件，看是否符合所学定理，或是得出与定理、公理、定义不符的结论，从而判断命题的真假.

【详解】

对于A，，，，如图，

在平面内取点，过在内分别作垂直于与的交线和与的交线，

则由面面垂直的性质得，得，

，故A正确；

对于B，，过作一平面交于，则，

，，所以，所以，故B正确；

对于C，，，

又，，

则，故C正确；

对于D，垂直于同一平面的两个平面可以相交不垂直，所以D不正确；

故选：D

【点睛】

本题考查了空间中直线与平面垂直、平行的判定定理、面面垂直的判定定理，属于基础题.

12．已知与函数相切，则不等式组确定的平面区域在内的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设切点为，可得，解方程可得，然后作出不等式组在内的区域，再利用扇形的面积公式即可求解.

【详解】

由与函数相切，

设切点为，则，解得，

所以不等式组为，

则不等式组确定的平面区域在内的面积为阴影部分，

由题意可得，，

所以，所以，

所以阴影部分的面积为：.

故选：C

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、不等式表示的平面区域、两角和的正切公式以及扇形的面积公式，综合性比较强，属于中档题.

二、填空题

13．9个相同的口罩分发给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少2个，则甲获得的口罩不少于乙获得的口罩的概率为________.

【答案】

【解析】将口罩分配的基本事件个数利用列举法求出，从而可得甲获得的口罩不少于乙获得的口罩的基本事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】

把9个相同的口罩分发给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少2个，

可以有的分法是：

甲个，乙个，丙个.

甲个，乙个，丙个.

甲个，乙个，丙个.

甲个，乙个，丙个.

甲个，乙个，丙个.

甲个，乙个，丙个.

甲个，乙个，丙个.

甲个，乙个，丙个.

甲个，乙个，丙个.

甲个，乙个，丙个.

一共有种分法，

其中获得的口罩不少于乙获得的口罩的基本事件个数为种，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了古典概型的概率计算公式、解题的关键是列举出基本事件个数，属于基础题.

14．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则________.

【答案】

【解析】利用正弦定理边化角可得，从而可得，进而求解.

【详解】

由，

由正弦定理可得，

即，

整理可得，

又因为，所以，

因为，

所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.

15．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.

【答案】

【解析】根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解.

【详解】

由双曲线C：（，，

可得一条渐近线，一个顶点，

所以，解得，

则，

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

16．若奇函数满足，为R上的单调函数，对任意实数都有，当时，，则________.

【答案】

【解析】根据可得函数以为周期的函数，令，可求，从而可得，代入解析式即可求解.

【详解】

令，则，

由，则，

所以，解得，

所以，

由时，，

所以时，；

由，所以，

所以函数以为周期的函数，   

，

又函数为奇函数，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.

三、解答题

17．已知数列为公差为d的等差数列，，，且，，依次成等比数列，.

（1）求数列的前n项和；

（2）若，求数列的前n项和为.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差，从而求出，再利用等比数列的前项和公式即可求解.

（2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解.

【详解】

（1），且，，依次成等比数列，，

即：，，，

，，

；

（2），

.

【点睛】

本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.

18．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，PD=AD=1，，.

（1）证明：；

（2）求D到平面ABP的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）在中，利用正弦定理得出，可得，利用线面垂直的性质定理可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAD，进而得证.

（2）根据即可求解.

【详解】

（1）在中，由正弦定理可得：，

，，，

平面ABCD，

平面PAD，

；

（2），，，

，

，，

设D到平面ABP的距离为h，则，

即：，

，故D到平面ABP的距离为.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、等体法求点到面的距离以及三棱锥的体积公式，属于基础题.

19．已知动圆过定点，且与直线l：相切.

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）过F作斜率为的直线m与C交于两点A，B，过A，B分别作C的切线，两切线交点为P，证明：点P始终在直线l上且.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）利用抛物线的定义即可求解.

（2）设，，利用导数求出切线方程，将切线方程联立，求出交点，直线方程为：，将直线与抛物线联立，利用韦达定理求出，进而可证出结论.

【详解】

（1）动圆过定点，且与直线l：相切，

动圆圆心到定点和定直线的距离相等，

动圆圆心的轨迹C是以为焦点的抛物线，

轨迹的方程为：，

（2）设，，

，，

直线PA的方程为：，

即①，

同理，直线的方程为：②，

由①②可得：，

直线方程为：，联立

可得：，，

，点P始终在直线上且.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义求动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系中的定点、定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.

20．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.

为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：

（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？

（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？

附：对于一组数据（，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：其中，.

【答案】（1）适宜（2）（3）（ⅰ）回归方程可靠（ⅱ）防护措施有效

【解析】（1）根据散点图即可判断出结果.

（2）设，则，求出，再由回归方程过样本中心点求出，即可求出回归方程.

（3）（ⅰ）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；（ⅱ）当时，，与真实值作比较即可判断有效.

【详解】

（1）根据散点图可知：

适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型；

（2）设，则，

，

，

；

（3）（ⅰ）时，，，

当时，，，

当时，，，

所以（2）的回归方程可靠：

（ⅱ）当时，，

10150远大于7111，所以防护措施有效.

【点睛】

本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题.

21．已知函数，其中.

（1）若，求a的值；

（2）讨论函数的零点个数.

【答案】（1）（2）时，有一个零点；当且时，有两个零点.

【解析】（1）利用导数求出函数的单调区间，进而求出函数的最大值，再根据即可求解.

（2）由（1）可知：，时取等号，可得时，有一个零点；当时，，，，此时有两个零点；当时，判断出，，，从而确定零点个数.

【详解】

（1）（，），

当时，，当时，，

在上递增，在上递减，，

，，，；

（2）由（1）可知：，时取等号，，时取等号，

①时，有一个零点；

②时，，，

，，此时有两个零点；

③时，，，，，令，

，在上递增，，，此时有两个零点；

综上：时，有一个零点；当且时，有两个零点.

【点睛】

本题考查了利用导数证明不等式、利用导数求函数的零点个数，考查了分类讨论的思想，属于难题.

22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.

（1）求与的极坐标方程

（2）若与交于点A，与交于点B，，求的最大值.

【答案】（1）的极坐标方程为；的极坐标方程为：（2）

【解析】（1）根据，代入即可转化.

（2）由：，可得，代入与的极坐标方程求出，从而可得，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.

【详解】

（1）：，，

的极坐标方程为

：，，

的极坐标方程为：，

（2）：，则（为锐角），

，，

，当时取等号.

【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.

23．已知函数，设的最小值为m.

（1）求m的值；

（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.

【答案】（1）（2）不存在；详见解析

【解析】（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m.

（2）由，利用基本不等式即可求出.

【详解】

（1）

；

（2），

若，同号，，不成立；

或，异号，，不成立；

故不存在实数，，使得，.

【点睛】

本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.