2020届上海市崇明区高考一模数学试卷（解析版）


2020年上海市崇明区高考数学一模试卷

题号
一
二
三
总分
得分





一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（　　）
A. B. -a＞b C. a3＜b3 D. a2＞b2
2. 已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，在底面半径和高均为的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点．已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（　　）
A. B. 1 C. D.
4. 若不等式（|x-a|-b）sin（πx+）≤0对x∈[-1，1]恒成立，则a+b的值等于（　　）
A. B. C. 1 D. 2
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}，则A∩B=______．
6. 不等式|x-2|＜1的解集是______．
7. 半径为1的球的表面积是______．
8. 已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，则该数列的前n项和Sn=______．
9. 函数f（x）=的反函数是______．
10. 计算：=______．
11. 在二项式的展开式中，常数项等于______．
12. 若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为______ ．
13. 已知a，b∈R+，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，则ab的最大值等于______．
14. 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数．当0＜x≤1时，f（x）=x3-ax+1，则实数a的值等于______．
15. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种．
16. 正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）
17. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB1=2．
（1）求异面直线B1C1与A1C所成角的大小；
（2）求直线B1C1与平面A1BC的距离．















18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）设△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，，若，求a,b的值．







19. 某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升．
（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；
（2）求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值．







20. 已知椭圆，其左右顶点分别为A，B，上下顶点分别为C，D．圆O是以线段AB为直径的圆．
（1）求圆O的方程；
（2）若点E，F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线CE，DF分别交x轴于点M、N，求证：为定值；
（3）若点P是椭圆Γ上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．







21. 已知无穷数列{an}，{bn}，{cn}满足：对任意的n∈N*，都有an+1=|bn|-|cn|，bn+1=|cn|-|an|，cn+1=|an|-|bn|．记dn=max{|an|，|bn|，|cn|}（max{x，y，z}表示3个实数x，y，z中的最大值）．
（1）若a1=1，b1=2，c1=4，求，b4，c4的值；
（2）若a1=1，b1=2，求满足d2=d3的c1的所有值；
（3）设a1，b1，c1是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，证明：存在正整数k，使得数列{an}，{bn}，{cn}中有且只有一个数列自第k项起各项均为0．







答案和解析
1.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由于a＜0＜b，则＜0＜，A错误；
对于B，若|a|＜|b|，则-a＜b，B错误；
对于C，由于a＜0＜b，则a3＜0＜b3，C正确；
对于D，若|a|＜|b|，则a2＜b2，D错误；
故选：C．
根据题意，依次分析选项中不等式是否正确，综合即可得答案．
本题考查不等式的性质以及应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于基础题．
2.【答案】B

【解析】【分析】
由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．
本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．
【解答】
解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+​=0．
∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．
故选B.
3.【答案】D

【解析】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H．
∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为，
∴OH=EH=．
∴OE=1．
在平面CED内建立直角坐标系如图．
设抛物线的方程为y2=2px．
（p＞0），F为抛物线的焦点．
C（1，），
∴2=2p•1．
解得p=1．
F（，0）．
即OF=，EF=，
∵PB=2，PE=1，
∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为=
故选：D．
根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出EF的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可．
本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，是中档题．
4.【答案】B

【解析】解：当-1≤x≤-或≤x≤1时，sin（πx+）≤0，
当-≤x≤时，sin（πx+）≥0，
∴当-1≤x≤-或≤x≤1时，|x-a|-b≥0，当-≤x≤时，|x-a|-b≤0，
设f（x）=|x-a|-b，则f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
且f（x）的图象关于直线x=a对称，
∴f（-）=f（）=0，
∴2a=-+=，即a=，又f（）=|-|-b=0，故b=．
∴a+b=．
故选：B．
设f（x）=|x-a|-b，得出f（x）的符号变化情况，根据f（x）的单调性和对称性即可得出a，b的值．
本题考查了三角函数值的计算，函数单调性的应用，属于中档题．
5.【答案】{1，2}

【解析】解：∵A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}；
∴A∩B={1，2}．
故答案为：{1，2}．
进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
6.【答案】（1，3）

【解析】解：由不等式|x-2|＜1可得，-1＜x-2＜1，
解得1＜x＜3，
故答案为：（1，3）．
由不等式|x-2|＜1可得，-1＜x-2＜1，由此解得不等式的解集．
本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
7.【答案】4π

【解析】解：由题意，半径为1的球的表面积是4π•12=4π．
故答案为4π．
直接利用球的表面积公式，即可得出结论．
本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．
8.【答案】n2

【解析】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差为2，
∴该数列的前n项和Sn=n×=n2．
故答案为：n2．
利用等差数列前n项和公式直接求解．
本题考查等差数列前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】f-1（x）=x2-1（x≥0）

【解析】解：由y=可得：x=y2-1，y≥0，
∴f（x）=的反函数是：f-1（x）=x2-1（x≥0），
故答案为：f-1（x）=x2-1 （x≥0）．
将y=转化为用y表示x的算式，进而可得答案．
本题考查了反函数的求法，考查了函数与方程思想，转化思想，难度中档．
10.【答案】3

【解析】解：===3
故答案为：3．
可将分子分母同除以3n再利用和极限的四则运算法则即可求解．
本题主要考查极限及其运算．解题的关键是要分子分母同除以3n使得分子和分母的极限均存在．
11.【答案】160

【解析】解：展开式的通项为=
令6-2r=0可得r=3
常数项为=160
故答案为：160
展开式的通项为=，要求常数项，只要令6-2r=0可得r，代入即可求
本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题
12.【答案】

【解析】解：依题意可知a=3，c=5
∴b=
根据顶点坐标可知焦点在x轴，
∴双曲线的方程为
故答案为：
根据顶点坐标求得a，根据焦距求得c，进而根据b2=c2-a2求得b，进而求得双曲线的标准方程．
本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利用a，b和c的关系，同时注意焦点是在x轴还是在y轴．
13.【答案】

【解析】解：根据题意，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，
则有（a-1）+2b=0，变形可得a+2b=1，
则ab=（a×2b）≤×（）2=，当且仅当a=2b=时，等号成立；
即ab的最大值为，
故答案为：．
根据题意，由直线垂直的判断方法可得（a-1）+2b=0，变形可得a+2b=1，进而结合基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查直线与直线垂直的判断，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
14.【答案】2

【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数．
当0＜x≤1时，f（x）=x3-ax+1，
∴f（-1）=-f（1）且f（-1）=f（-1+2）=f（1），
∴f（1）=0，即f（1）=1-a+1=2-a=0，
∴a=2．
故答案为：2．
根据函数的周期为2，奇函数，又已知当0＜x≤1时的解析式，故f（-1）=-f（1）且f（-1）=f（-1+2）=f（1）推出f（1）=0，解出即可．
本题考查了函数的奇偶性和周期性，和特殊值，属于基础题．
15.【答案】78

【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：
①，从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3×A33=18种选派方法；
②，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3×A33=18种选派方法；
③，从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙，
需要在剩下3人中选出2人，有C32种选法，选出4人的安排方法有A33+2×2×A22种，
则此时有C32（A33+2×2×A22）=42种选派方法；
故一共有18+18+42=78种选派方法；
故答案为：78
根据题意，按甲乙两人是否被选中分3种情况讨论，求出每一种情况的选派方法数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
16.【答案】-7

【解析】解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，
则B（2，-2），C（2，2），
∴2=+（1-λ）=λ（2，-2）+（1-λ）（2，2）=（2，2-4λ），∴=（1，1-2λ）
即P点坐标为（1，1-2λ），
设M（a，-2），则N（-a，2），-2≤a≤2，
∴=（a-1，2λ-3），=（-a-1，2λ+1）
∴=（a-1）（-a-1）+（2λ-3）（2λ+1）=1-a2+4λ2-4λ-3，
当a=±2且λ=-=时，有最小值-7．
故答案为：-7．
建立坐标系，根据，求出P点坐标，设出M，N坐标分别为（a，-2），（-a，2），将转化为关于a，λ的函数，即可得到其最小值．
本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1）由题意可得BC∥B1C1，
∴∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，
由题意可知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，
∴△A1BC为直角三角形，
∴tan∠A1CB===，
∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan；
（2）∵BC∥B1C1，BC⊂平面A1BC，B1C1⊄平面A1BC，
∴B1C1∥平面A1BC，
∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离，
不妨取B1，且设B1到平面A1BC的距离为h，
由等体积法可得=，即×h=×BC
代入数据可得××1××h=××2×1×1，解得h=
∴直线B1C1到平面A1BC的距离为

【解析】（1）由题意可得∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，解三角形可得；
（2）可证B1C1∥平面A1BC，则B1到平面A1BC的距离h即为所求，由等体积法可得=，代入数据计算可得．
本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中档题．
18.【答案】解：（1）∵f（x）=sin2x-cos2x-  (x∈R)
=sin2x--
=sin（2x-）-1，
∴T==π，
∴由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ+]，k∈Z，
∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ+]，k∈Z；
（2）f（C）=sin（2C-）-1=0，则sin（2C-）=1，
∵0＜C＜π，
∴C=，
∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理可得b=2a，①
∵c=，
∴由余弦定理可得c2=a2+b2-ab=3，②
由①②可得a=1，b=2．

【解析】（1）先化简函数f（x），再求函数的单调递减区间和最小正周期；
（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值．
本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．
19.【答案】解：（1）由题意，令×（x-100+）≤9，
化简得x2-145x+4500≤0，解得45≤x≤100；
又因为60≤x≤120，
所以欲使每小时的油耗不超过9升，x的取值范围是[60，100]；
（2）设该汽车行驶100公里的油耗为y；
则y=•（x-100+）=90000+，（其中60≤x≤120）；
由60≤x≤120，知∈[，]，
所以x=90时，汽车行驶100公里的油耗取得最小值为升．

【解析】（1）令×（x-100+）≤9，求出解集，结合题意得出x的取值范围；
（2）写出y关于x的函数，求出函数的最小值即可．
本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：（1）由题意得：A（-2，0），B（2，0），
∴圆O的圆心为原点，半径为2，
∴圆O的方程是x2+y2=4；
（2）由题意可知：C（0，1），D（0，-1），设E（x0，y0），则F（-x0，y0），（x0≠1），
∴直线CE的方程是：，∴点M（，0），
同理点N（，0），
又∵点E（x0，y0）在椭圆上，∴
∴=，
（3）显然直线AP的斜率存在，设其方程为：y=k（x+2），
联立方程，化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，
设P（x1，y1），则x1+（-2）=-，
所以|AP|=|x1-（-2）|=，
因为圆心O到直线AP的距离d=，
所以|AQ|=2=4，
假设存在点P，使得=，则|AQ|=4|AP|，
所以4=4，化简得：4+4k2=1+4k2，此方程在实数范围内无解，
故原假设错误，即不存在点P，使得=．

【解析】（1）由题意得：A（-2，0），B（2，0），即可求出圆O的方程；
（2）由题意可知：C（0，1），D（0，-1），设E（x0，y0），则F（-x0，y0），（x0≠1），求出直线CE的方程是，从而求出点M坐标，同理求出点N坐标，再利用点E（x0，y0）在椭圆上，坐标满足椭圆方程，即可化简出为定值；
（3）显然直线AP的斜率存在，设其方程为：y=k（x+2），代入椭圆方程得到（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，再利用根与系数的关系和弦长公式求出|AP|的长，再利用构造直角三角形用勾股定理算出|AQ|的长，假设存在点P，使得=，则|AQ|=4|AP|，所以4=4，化简得：4+4k2=1+4k2，此方程在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点P，使得=．
本题主要考查了椭圆与直线的位置关系，是中档题．
21.【答案】解：（1）由题意：a2=|b1|-|c1|=2-4=-2；b2=|c1|-|a1|=4-1=3；c2=|a1|-|b1|=1-2=-1；以此类推，
看得出a4=0，b4=-1，c4=1．
（2），若a1=1，b1=2，c1=x，则a2=2-|x|，b2=|x|-1，c2=-1，d2=，a3=||x|-1|-1，
b3=1-|2-|x||，c3=|2-|x||-|x|-1|，当0≤|x|＜1时，a3=-|x|，b3=|x|-1|，c3=1，d3=1，由d3=d2，得||x|=1，不符合题意．
当1≤|x|＜2，a3=|x|-2，b3=|x|-1，c3=3-2|x|，d3=，由d3=d2，得|x|=1，符合题意．
当|x|≥2，a3=|x|-2，b3=3-|x|，c3=-1，d3=由d3=d2，得|x|=2，符合题意，
综上c1的取值是：-2，-1，1，2．
（3）先证明‘’存在正整数k≥3，使，ak，bk，ck中至少有一个为零，假设对任意正整数k≥3，
ak，bk，ck都不为零，由a1，b1，c1是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，得d1∈N*，d2∈N*，
若对任意k≥3，ak，bk，ck都不为零，则dk∈N*．即对任意k≥1，dk∈N*．当k≥1时，
|ak+1|=|bk|-|ck||＜max{|bk|，|ck|}≤dk，|bk+1|=||ck|-|ak||＜dk，|ck+1|=||ak|-|bk||＜dk，
所以dk+1=max{|ak+1|，|bk+1|，|ck+1|}＜dk，所以{dk}单调递减，由d2为有限正整数，所以必存在正整数m≥3，使得dm≤0，矛盾，
所以存在正整数k≥3，使ak，bk，ck中至少有一个为零，不妨设ak=0，且a1≠0，a2≠0…
ak-1≠0，则|bk-1|=|ck-1|，且|bk-1|=|ck-1|≠|ak-1|，否则若|bk-1|=|ck-1|=|ak-1|，因为ak-1+bk-1+ck-1=0，则
必有ak-1=bk-1=ck-1=0，矛盾．于是，bk=|ck-1|-|ak-1|≠0，ck=|ak-1|-|bk-1|≠0，且bk=-ck，所以，ak+1=0，
bk+1=|ck|，ck+1=-|bk|=-|ck|，
以此类推，即有：对∀n≥k，an=0，bn+1=|ck|，cn+1=-|ck|，|ck|≠0，此时有且仅有一个数列{an}自k项起各项均为0．
综上：结论成立．

【解析】（1）由题意代入分别求出a4，b4，c4的值；
（2）设c1=x，的值，讨论d2的函数表达式，进而得出a2，a3，b2，b3，c2，c3都用x表示，进而求出所有的c1的值；
（3）分类讨论：先ak，bk，ck都不为零，由题意得出矛盾；所以存在正整数k≥3，使ak，bk，ck中至少有一个为零，再讨论两个为零得出矛盾，以此类推，即有：对∀n≥k，an=0，bn+1=|ck|，cn+1=-|ck|，|ck|≠0，此时有且仅有一个数列{an}自k项起各项均为0．
考查数列的递推公式的综合应用，属于难题．