2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考数学（理）试题（解析版）

2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】解出,分别代入选项中 的值进行验证.

【详解】

解：，.当 时,，此时不成立.

当 时,，此时成立，符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.

2．设是虚数单位，，，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.

【详解】

解：，

，解得：.

故选:C.

【点睛】

本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把 当成进行运算.

3．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.

【详解】

依题意，.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.

4．已知向量，，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出，进而可求,即能求出向量夹角.

【详解】

解：由题意知，. 则

所以，则向量与的夹角为.

故选:C.

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算.

5．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，

则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，

∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．

故选A．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．

6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（    ）

A．45 B．60 C．75 D．100

【答案】B

【解析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．

【详解】

由题意，．

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．

7．要得到函数的图像，只需把函数的图像（    ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】A

【解析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.

【详解】

解：

.

对于A：可得.

故选:A.

【点睛】

本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.

8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（     ）

A．120种 B．240种 C．480种 D．600种

【答案】B

【解析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.

【详解】

将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法；

将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法；

由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种

本题正确选项：

【点睛】

本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.

9．已知，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则（    ）

A． B．4 C．5 D．

【答案】D

【解析】由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出，结合余弦定理即可求出 的值.

【详解】

解：，即

，即.

，则.

，解得.

，

故选:D.

【点睛】

本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角 的正弦值余弦值.

10．定义在上的奇函数满足，若，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【解析】首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值.

【详解】

由已知为奇函数，得，

而，

所以，

所以，即的周期为.

由于，，，

所以，

，

，

.

所以，

又，

所以.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.

11．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解析】作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值

【详解】

解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，

设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，

所以x＝2a，则EF2＝2a，

由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，

所以c2＝7a2，

则e

故选：D．

【点睛】

本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.

12．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.

【详解】

解：当 时，，则;当时，

则.设 为函数图像上的两点，

当 或时，，不符合题意，故.

则在 处的切线方程为；

在 处的切线方程为.由两切线重合可知

，整理得.不妨设

则 ，由 可得

则当时， 的最大值为.

则在 上单调递减，则.

故选:B.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算.

二、填空题

13．已知，满足约束条件，则的最小值为______．

【答案】2

【解析】作出可行域，平移基准直线到处，求得的最小值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线到处时，取得最小值为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

14．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为_______．

【答案】

【解析】由焦点坐标得从而可求出，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.

【详解】

解：因为一个焦点坐标为，则，即，解得或

由表示的是椭圆，则，所以，则椭圆方程为

所以.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略，从而未对 的两个值进行取舍.

15．已知函数，若方程的解为，（），则_______；_______．

【答案】       

【解析】求出在 上的对称轴，依据对称性可得的值;由可得，依据可求出的值.

【详解】

解：令，解得

因为，所以 关于 对称.则.

由，则

由可知，，又因为 ，

所以，则，即

故答案为: ;.

【点睛】

本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的取值范围，导致求出.在求的对称轴时，常用整体代入法，即令 进行求解.

16．在四棱锥中，是边长为的正三角形，为矩形，，.若四棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为_____．

【答案】

【解析】做 中点，的中点，连接，由已知条件可求出，运用余弦定理可求，从而在平面中建立坐标系，则以及的外接圆圆心为和长方形的外接圆圆心为在该平面坐标系的坐标可求，通过球心满足，即可求出的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积.

【详解】

解：如图做 中点，的中点，连接 ，由题意知

，则

设的外接圆圆心为，则在直线上且

设长方形的外接圆圆心为，则在上且.设外接球的球心为

在 中，由余弦定理可知，.

在平面中，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点垂直于 轴的直

线为 轴，如图建立坐标系，由题意知，在平面中且

设 ，则，因为，所以

解得.则

所以球的表面积为.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解.

三、解答题

17．已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.

（1）证明：为等差数列，并求；

（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.

【答案】（1）见解析，（2）最小正整数的值为35.

【解析】（1）由等差中项可知，当时，得，整理后可得，从而证明为等差数列，继而可求.

（2），则可求出，令，即可求出 的取值范围，进而求出最小值.

【详解】

解析：（1）由题意可得，当时，，∴，，

当时，，整理可得，

∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，.

（2）由（1）可得，

∴，解得，

∴最小正整数的值为35.

【点睛】

本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了 与 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有 与 的递推关系时，常代入 进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数.

18．如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）取中点，连接，，通过证明，得，结合可证线面垂直，继而可证面面垂直.

（2）设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，继而可求二面角的余弦值.

【详解】

解析：（1）取中点，连接，，

由已知可得，，，

∵侧面是菱形，∴，，，

即，∵，∴平面，∴平面平面.

（2）设，则，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，

则，令得.

同理可求得平面的法向量，∴.

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.

19．某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.

（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；

（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.

【答案】（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析

【解析】（1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差；

（2）由题意知服从二项分布，分别求出，，，，进而可求出分布列以及数学期望；

（3）由第一问可知服从正态分布，继而可求出的值，从而可判断.

【详解】

解：（1）

（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在的概率为0.7.

随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量服从二项分布，

则，，

，，

所以的分布列为：

数学期望

（3）由题意知服从正态分布，

则，

所以可以认为该校学生的体重是正常的.

【点睛】

本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.

20．在平面直角坐标系中，为直线上动点，过点作抛物线:的两条切线，，切点分别为，，为的中点.

（1）证明:轴；

（2）直线是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）直线过定点.

【解析】（1）设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，设出点坐标并代入切线的方程，同理将点坐标代入切线的方程，利用韦达定理求得线段中点的横坐标，由此判断出轴.

（2）求得点的纵坐标，由此求得点坐标，求得直线的斜率，由此求得直线的方程，化简后可得直线过定点.

【详解】

（1）设切点，，，

∴切线的斜率为，切线：，

设，则有，化简得，

同理可的.

∴，是方程的两根，∴，，

，∴轴.

（2）∵，∴.

∵，∴直线：，即，

∴直线过定点.

【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

21．已知函数.

（1）讨论的零点个数；

（2）证明：当时，.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】（1）求出，分别以当，，时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令，结合导数求出；同理可求出满足，从而可得，进而证明.

【详解】

解析：（1），，

当时，，单调递减，，，此时有1个零点；

当时，无零点；

当时，由得，由得，∴在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值，

若，则，此时没有零点；

若，则，此时有1个零点；

若，则，，求导易得，此时在，上各有1个零点.

综上可得时，没有零点，或时，有1个零点，时，有2个零点.

（2）令，则，当时，；当时，，∴.

令，则，

当时，，当时，，∴，

∴，，∴，即.

【点睛】

本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程；

（2）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，，），使点、到的距离都为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1），（2）存在，

【解析】（1）先求得曲线的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线的直角坐标方程.

（2）求得曲线的圆心和半径，计算出圆心到直线的距离，结合图像判断出存在符合题意，并求得的值.

【详解】

（1）曲线的普通方程为，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线的直角坐标方程为，其极坐标方程为，

直线的直角坐标方程为.

（2）曲线是以为圆心，为半径的圆，

圆心到直线的距离.

∴由图像可知，存在这样的点，，则，且点到直线的距离，

∴，∴.

【点睛】

本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

23．已知，均为正数，且.证明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】（1）由进行变换，得到，两边开方并化简，证得不等式成立.

（2）将化为，然后利用基本不等式，证得不等式成立.

【详解】

（1），两边加上得，即，当且仅当时取等号，

∴.

（2）.

当且仅当时取等号.

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.