2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试题（解析版）

2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算，再计算交集得到答案

【详解】

,表示偶数，

故.

故选：.

【点睛】

本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.

2．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】计算，得到答案.

【详解】

根据题意，故，表示的复数在第一象限.

故选：.

【点睛】

本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.

3．已知不重合的平面 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（     ）

A．内有无数条直线与平行 B． 且

C． 且 D．内的任何直线都与平行

【答案】B

【解析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A. 内有无数条直线与平行，则相交或，排除；

B. 且，故，当，不能得到 且，满足；

C. 且，，则相交或，排除；

D. 内的任何直线都与平行，故，若，则内的任何直线都与平行，充要条件，排除.

故选：.

【点睛】

本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.

4．已知角的终边经过点P()，则sin()=

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】【详解】

由题意可得三角函数的定义可知：

，，则：

本题选择A选项.

5．已知，，，，则的大小关系为（     ）

A．    B．   C．    D．

【答案】B

【解析】试题分析：∵，∴  ∴，，∴. 选.

【考点】利用函数图像比较大小.

6．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.

【详解】

解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，

得，当时，.

故选D.

【点睛】

本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.

7．函数的图象大致为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由函数的解析式可得：，则函数的图像关于坐标原点对称，

据此可排除B选项，

考查函数，则，

当时，单调递增，则，据此有：，

据此可排除C选项；

当时，，则，据此可排除D选项；

本题选择A选项.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

8．设双曲线的右焦点是，左､右顶点分别是，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出的坐标，再求出的斜率，最后根据得到满足的等式关系，可从该关系式求得双曲线的离心率.

【详解】

设双曲线的半焦距为，

令，则，不妨设，

故，

因为，故，

整理得到，故离心率.

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，可根据题设条件构建的等量关系即可求出离心率，本题属于基础题.

二、多选题

9．（多选题）下列说法中，正确的命题是（    ）

A．已知随机变量服从正态分布，，则．

B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．

C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．

D．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．

【答案】BC

【解析】根据正态分布性质求即可判断A;根据方程变形即可确定，的值，再判断B; 根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D.

【详解】

因为随机变量服从正态分布，，

所以，即A错；

，，从而，即B正确；

过， ，即C正确；

因为样本数据，，…，的方差为2，所以数据，，…，的方差为，即D错误；

故选：BC

【点睛】

本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（    ）

A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件

B．甲的不同的选法种数为15

C．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是

D．乙、丙两名同学都选物理的概率是

【答案】BD

【解析】根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.

【详解】

甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；

由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；

由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；

乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；

故选BD.

【点睛】

本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.

11．设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．

【详解】

解：令函数，因为，

，

为奇函数，

当时，，

在上单调递减，

在上单调递减．

存在，

得，，即，

；，

为函数的一个零点；

当时，，

函数在时单调递减，

由选项知，取，

又，

要使在时有一个零点，

只需使，

解得，

的取值范围为，

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．

12．已知数列满足

给出下列四个命题，其中的真命题是（    ）

A．数列单调递增； B．数列 单调递增；

C．数从某项以后单调递增； D．数列从某项以后单调递增.

【答案】BCD

【解析】计算得到，A错误，化简，B正确，，C正确，，

D正确，得到答案.

【详解】

因为，所以，

当时, ,所以，所以A错误；

，，

所以是等比数列，，所以B正确；

，故，C正确；

因为，所以，

根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D正确.

故选：.

【点睛】

本题考查了数列的单调性，意在考查学生对于数列性质的综合应用.

三、填空题

13．已知函数，则________．

【答案】

【解析】根据分段函数，和，利用 转化为求解.

【详解】

因为，，

所以，

又，所以．

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题.

14．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．

【答案】

【解析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．

【详解】

∵，∴，解得或，

时，满足题意，

时，，方向相反，不合题意，舍去．

∴．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．

15．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝__________．

【答案】12

【解析】由于512012+a＝（52﹣1）2012+a，按二项式定理展开，根据题意可得 a 能被13整除，再由0≤a＜13，可得 a＝12．

【详解】

由于512012+a＝（52﹣1）2012+a

a，

除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，

故由题意可得 a 能被13整除，再由0≤a＜13，可得 a＝12，

故答案为12．

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．

16．已知正三棱锥P-ABC，Q为BC中点，，，则正三棱锥P-ABC的外接球的半径为________；过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围为________．

【答案】       

【解析】根据正三棱锥，，，有，即，同理，，则此正三棱锥P-ABC为正方体的一角，根据球的直径为正方体的体对角线的长求解.根据当截面过球心时，截面面积最大，当球心与Q的连线垂直截面时，截面面积最小求截面的面积范围.

【详解】

因为正三棱锥，，，

所以，即，

同理，，

因此正三棱锥P-ABC可看作正方体的一角，如图，

记正方体的体对角线的中点为O，由正方体结构特征可得，O点即是正方体的外接球球心，

所以点O也是正三棱锥P-ABC外接球的球心，

记外接球半径为R，则，

因为球的最大截面圆为过球心的圆，

所以过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大为；

又Q为BC中点，由正方体结构特征可得；

由球的结构特征可知，当OQ垂直于过Q的截面时，

截面圆半径最小为，所以．

因此，过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围为．

故答案为：(1).     (2).

【点睛】

本题主要考查组合体问题以及球的截面的性质，还考查了空间想象和理解问题的能力，属于中档题.

四、解答题

17．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知________．

（1）求的值；

（2）若，求b的值．

【答案】（1）；（2）；

【解析】（1）若选择条件①．，由正弦定理得，整理得：，再利用余弦定理有求解.若选择条件②．因为，根据正弦定理得，，即求解.

（2）由（1）知，再根据，利用正弦定理解得，再将代入求解.

【详解】

（1）选择条件①．，

所以，

整理得：．

即.

整理可得，

又．所以，所以.

选择条件②．因为，

由正弦定理得，，

，

即，

在中，，

所以，，所以.

（2）由，得，又，

则，解得.

将代入中，

得，解得．

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18．已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】【详解】

分析：（1）由题意可求得等差数列的公差，从而可得．（2）由（1）可得，然后根据裂项相消法得到，由此可得结论成立．

详解：（Ⅰ）∵数列为等差数列，且，

．

∵成等比数列，

∴，

即，

又

∴，

∴，

∴.

（2）证明：由（1）得，

∴．

∴

．

∴．

点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：

（1）裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．

19．如图，四棱锥中，底面，为直角梯形，，，，，过点作平面平行于平面，平面与棱，，，分别相交于点，，，.

(1)求的长度；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：

（1）【法一】（Ⅰ）由面面平行的性质定理可得，，

则∽，由相似三角形的性质计算可得

【法二】由面面平行的性质定理可得，，

则∽，由题意结合余弦定理可得.

（2）建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量为,平面的法向量则二面角的余弦值.

试题解析：

（1）【法一】（Ⅰ）因为平面，平面平面，

，平面平面，所以，同理，

因为∥，

所以∽，且，

所以，，

同理，

连接，则有∥，

所以，，所以，同理，，

过点作∥交于，则

【法二】因为平面，平面平面，,

平面平面，

根据面面平行的性质定理，所以，同理，

因为,所以，且,

又因为∽，,所以，

同理,，

如图：作,

所以，

故四边形为矩形，即,

在中,所以，所以.

（2）建立如图所示空间直角坐标系,

,设平面的法向量为,

,令，得,

因为平面平面，所以平面的法向量

，二面角的余弦值为

20．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．

（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；

（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；

（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）结合题意用分段函数的形式表示与的关系．（Ⅲ）先确定的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望．

详解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：

．

（Ⅱ）当时，，

当时，．

所以

（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，．

所以的分布列为：

∴万元．

点睛：（1）求随机变量及其分布列的一般步骤

①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．

（2）解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解．

21．已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）根据椭圆截直线所得的线段的长度为，可得椭圆过点 ，结合离心率即可求得椭圆方程；

（Ⅱ）分类讨论：当直线的斜率不存在时，四边形的面积为 ； 当直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由 得 ，代入曲线C，整理出k，m的等量关系式，再根据 写出面积的表达式整理即可得到定值．

【详解】

(Ⅰ)由解得

得椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，

此时四边形的面积为．

当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程

，

点到直线的距离是

由得

因为点在曲线上，所以有

整理得

由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为

由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．

【点睛】

本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．

22．已知，，.

（Ⅰ）若，求的极值；

（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：．

【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数在上的单调性，然后可得当时，有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设，由题意可得，即，又由条件得，构造，令，则，利用导数可得，故得，又，所以．

详解：（Ⅰ），

，

由得，

且当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

∴当时，有极大值，且，无极小值．

（Ⅱ）函数的两个零点为，不妨设，

，．

 ，

即，

又，，

，

．

令，则

，

在上单调递减，

故，

，

即，

又，

．

点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．

（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．