2020届山东省章丘市第四中学高三3月模拟考试数学试题（解析版）

2020届山东省章丘市第四中学高三3月模拟考试数学试题

一、单选题

1．若集合，，则集合中的元素个数为（   ）

A．9 B．6 C．4 D．3

【答案】D

【解析】的数对共9对，其中满足，所以集合中的元素个数共3个．

2．若复数（是虚数单位，）是纯虚数，则复数的模等于（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】，因为是纯虚数，所以 ，那么 ，所以模等于3，故选C.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，将a，b，c分别与1和0比较，得到结论.

【详解】

因为

所以

故选：C

【点睛】

本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.

4．已知函数（为自然对数的底数），当时，的图象大致是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【解析】由题意可得即为函数，排除，，显然存在使得，所以在上单调递增，在上单调递减。所以选B.

【点睛】

对于函数图像选择题，一般从四个选项的差异性入手讨论函数的性质，从整体性质到局部性质，如本题先利用图像对称性，考虑奇偶性。再利用图像的单调性变化，从而讨论导数。

5．已知，且，则的最小值为（   ）

A．4 B． C． D．

【答案】A

【解析】且，可知，所以．

，当且仅当 时等号成立．故选A．

6．将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则不可能等于（   ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，所以，因此，从而，可知不可能等于．

7．设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取的中点，利用，可得，从而可得，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．

【详解】

取的中点，则，，.

，是的中点，，，

，，

，，.

故选：D．

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，确定是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力。

8．已知不等式对一切都成立，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】令，求出导数，分类讨论，进而得到，可得，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到的最小值．

【详解】

令，则，

若，则恒成立，时函数递增，无最值．

若，由得，

当时，，函数递增；当时，，函数递减．

则处取得极大值，也为最大值，

，，，

令，，上，，上，，

时，，的最小值为．

故选：A．

【点睛】

本题考查了利用导数解决恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

二、多选题

9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（   ）

A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得

B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上

C．若且，则

D．若点为的重心，则

【答案】BC

【解析】利用向量共线的概念即可判断A正确，B错误；利用向量垂直的数量积关系即可判断C错误，利用三角形重心的结论即可判断D正确，问题得解.

【详解】

对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；

对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；

对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；

对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.

故选BC

【点睛】

本题主要考查了平面向量共线（平行）的定义，考查了平行向量垂直的数量积关系，还考查了平面向量中三角形重心的推论，属于中档题．

10．对于二项式，以下判断正确的有（    ）

A．存在，展开式中有常数项；

B．对任意，展开式中没有常数项；

C．对任意，展开式中没有的一次项；

D．存在，展开式中有的一次项.

【答案】AD

【解析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。

【详解】

设二项式展开式的通项公式为，

则，

不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；

令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。

故答案选AD

【点睛】

本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题。

11．已知椭圆的左，右焦点是是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（   ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】由椭圆的定义和题设条件， 求得，再在中，结合三角形的性质，得到，求得离心率的范围，即可求解.

【详解】

由椭圆的定义，可得，又由， 解得，

又由在中，，可得，所以，

即椭圆的离心率的取值范围是.

故选：．

【点睛】

本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ）

A．当时，

B．函数有3个零点

C．的解集为

D．，都有

【答案】BCD

【解析】设，则，则由题意得，根据奇函数即可求出解析式，即可判断A选项，再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D选项．

【详解】

解：（1）当时，，则由题意得，

∵ 函数是奇函数，

∴ ，且时，，A错；

∴ ，

（2）当时，由得，

当时，由得，

∴ 函数有3个零点，B对；

（3）当时，由得，

当时，由得，

∴ 的解集为，C对；

（4）当时，由得，

由得，由得，

∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，

∴函数在上有最小值，且，

又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，

∴当时，函数的值域为，

由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，

∴ 对，都有，D对；

故选：BCD．

【点睛】

本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题．

三、填空题

13．若的展开式中第项为常数项，则______.

【答案】

【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得，从而得到 的值.

【详解】

解：的展开式中第项为
，再根据它为常数项，
可得，求得，
故答案为：.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14．设是数列的前项和，且，，则__________．

【答案】

【解析】化简得，即是等比数列，然后求出的值

【详解】

，，，，

是首项为1，公比为2的等比数列，则，.

【点睛】

本题考查了求数列的前项的和，结合条件进行化简，构造出新的数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式，继而求出结果

15．若双曲线的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为_______，如果双曲线上存在一点到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为______．

【答案】2       

【解析】由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，可知双曲线渐近线的倾斜角为，即，所以，因为，从而．所以虚轴长为.

16．在中，为钝角，，且，函数的最小值为，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】在中，为钝角，，函数的最小值为．利用数量积的性质可得，进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．

【详解】

在中，为钝角，，函数的最小值为．

∴函数

，化为恒成立．

当且仅当时等号成立，，．

，当且仅当时，取得最小值，的最小值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定是解题的关键.

四、解答题

17．已知，

（1）求函数的单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A满足，而，求边BC的最小值．

【答案】（1）;（2）

【解析】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得

（1）令，解不等式可得答案；（2）由

及0＜A＜π可得，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△ABC中，从而可求

试题解析：（1）=

由得，

故所求单调递增区间为．

（2）由得，

∵，即，∴bc=2，

又△ABC中， =，

∴

18．已知数列的前项和为，，（且），数列满足：，且（且）.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列为等比数列；

（Ⅲ）求数列的前项和的最小值.

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）由得，所以。（2） （） （）

所以（）且。所以得证。（3）

（Ⅱ）得所以 ，所以是递增数列

和最小，即所有的负数项的和，只需求到。

试题解析：（Ⅰ）由得

即（且）

则数列为以为公差的等差数列

因此

（Ⅱ）证明：因为（）

所以（）

（）

（）

所以（）

因为

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得

所以

（）

所以是递增数列.

因为当时，，当时，

当时，

所以数列从第3项起的各项均大于0，故数列的前2项之和最小.

记数列的前项和为，则 .

19．如图，在三棱锥中，底面分别是的中点，在，且.

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；

若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；(2)存在.

【解析】【详解】试题分析：（1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，由，所以，求得平面的法向量为，平面的法向量为，由二面角的大小为，得，化简得，又，求得即.

试题解析：

（1）由，

是的中点，得，

因为底面，所以，

在中，，所以，

因此，又因为，

所以，

则，即，因为底面，

所以，又,

又，所以平面.

(2)假设满足条件的点，存在，

并设，以为坐标原点，分别以为轴建立空间之间坐标系，

则，

由，所以，所以，

设平面的法向量为，

则 ，取，得，

即，设平面的法向量为，

则 ，取，得，

即，

由二面角的大小为，得，

化简得，又，求得，于是满足条件的点存在，且.

点睛：本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明，考查空间想象能力，利用空间向量法求解空间角，注意计算的准确性.

20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且△PF1F2的面积为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且（），当取得最小值时，求直线的方程.

【答案】(1) ；(2).

【解析】（1）根据的面积求得的值，再利用椭圆过点及，求得的值，从而求得椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，由直线和圆、椭圆都相交，求得，再利用弦长公式分别计算，，从而建立的函数关系式，当取得最小值时，可求得的值，从而得到直线的方程.

【详解】

解：（1）由的面积可得，即，∴．①

又椭圆过点，∴．②

由①②解得，，故椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，

由弦长公式可得．

将代入椭圆方程，得，

由判别式，解得．

由直线和圆相交的条件可得，即，也即，

设，，则，，

由弦长公式，得．

由，得．

∵，∴，则当时，取得最小值，

此时直线的方程为．

【点睛】

本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利用坐标将与建立联系，从而使问题得到解决.

21．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．

（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？

（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为，求的分布列和数学期望．

附：．

【答案】（1）列联表见解析；没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． （2）分布列见解析；

【解析】（1）由茎叶图能完成列联表，由列联表求出，从而得到没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．

（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．

【详解】

（1）由茎叶图可得：

由列联表可得：，

所以没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．

（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则的可能取值为0，1，2，

，，，

所以分布列为：

数学期望为．

【点睛】

本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

22．设函数，其中为正实数.

(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；

(2)当时，证明.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】(1)讨论研究函数的单调性，求出函数在上的最大值．要不等式恒成立，只需最大值小于零，即可求出．

(2)将原不等式等价变形为，由(1)可知，试证在时恒成立，即可由不等式性质证出．

【详解】

（1）由题意得

设，则，

①当时，即时， ，

所以函数在上单调递增，，满足题意；

②当时，即时，则的图象的对称轴

因为，

所以在上存在唯一实根，设为，则当时，，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

此时，不合题意．

综上可得，实数的取值范围是．

（2）等价于

因为，所以，所以原不等式等价于，

由(1)知当时，在上恒成立，整理得

令，则，

所以函数在区间上单调递增，

所以，即在上恒成立.

所以，当时，恒有，

【点睛】

本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想，转化思想的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题．