2020届山东省淄博市部分学校高三教学质量检测（二模）数学试题（解析版）

2020届山东省淄博市部分学校高三教学质量检测（二模）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】

由题意得，，则

．故选C．

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．已知复数满足，则的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.

【详解】

由，得，所以．

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.

3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙

【答案】A

【解析】利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．

【点睛】

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．

4．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．

【详解】

由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．

【点睛】

面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．

5．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（    ）.

A． B．9 C．5 D．

【答案】A

【解析】根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.

【详解】

定点为,

，

当且仅当时等号成立，

即时取得最小值.

故选：A

【点睛】

本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.

6．函数在的图像大致为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．

【详解】

设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．

【点睛】

本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

7．“十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.

详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，

所以，

又，则

故选D.

点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：

（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；

（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.

8．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k的值，设出双曲线方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用双曲线的离心率公式求得e．

【详解】

直线F2A的直线方程为：y＝kx，F1（0，），F2（0，），

代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，

∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，

∴A（p，），设双曲线方程为：1，

丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，

2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p，

2c＝p，

∴离心率e1，

故选：D．

【点睛】

本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．

二、多选题

9．某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：）变化情况：

对比数据，关于这名肥胖者，下面结论正确的是（    ）

A．他们健身后，体重在区间内的人数较健身前增加了人

B．他们健身后，体重原在区间内的人员一定无变化

C．他们健身后，人的平均体重大约减少了

D．他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少

【答案】AD

【解析】根据直方图计算健身前后体重分别在区间、、的人数以及平均数，进而可得出结论.

【详解】

体重在区间内的肥胖者由健身前的人增加到健身后的人，增加了人，故A正确；

他们健身后，体重在区间内的百分比没有变，但人员组成可能改变，故B错误；

他们健身后，人的平均体重大约减少了，故C错误；

因为图（）中没有体重在区间内的人员，所以原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少，故D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查直方图的应用，考查频数以及平均数的计算与应用，考查计算能力，属于基础题.

10．已知点在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有（    ）

A．点到轴的距离为 B．

C．为钝角三角形 D．

【答案】BC

【解析】利用的面积可求出点的纵坐标，可判断A选项的正误；将点的纵坐标代入双曲线方程求得点的横坐标，即可求得的值，可判断B选项的正误；计算的值，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

因为双曲线，所以.

又因为，所以，所以选项A错误；

将代入得，即.

由对称性，不妨取的坐标为，可知.

由双曲线定义可知，

所以，所以选项B正确；

由对称性，对于上面点，

在中，.

且，则为钝角，所以为钝角三角形，选项C正确；

由余弦定理得，，所以选项D错误.

故选：BC.

【点睛】

本题考查焦点三角形有关命题的判断，涉及双曲线的定义、余弦定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

11．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．若时，平面平面

B．若时，直线与平面所成的角的正弦值为

C．若直线和异面时，点不可能为底面的中心

D．若平面平面，且点为底面的中心时，

【答案】AC

【解析】推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A选项的正误；设的中点为，连接、，证明出平面，找出直线与平面所成的角，并计算出该角的正弦值，可判断B选项的正误；利用反证法可判断C选项的正误；计算出线段和的长度，可判断D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

因为，，，所以平面，

平面，所以平面平面，A项正确；

设的中点为，连接、，则.

平面平面，平面平面，平面.

平面，设平面所成的角为，则，

，，，则，B项错误；

连接，易知平面，由、、确定的面即为平面，

当直线和异面时，若点为底面的中心，则，

又平面，则与共面，矛盾，C项正确；

连接，平面，平面，，

、分别为、的中点，则，

又，故，，则，D项错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、线面角的计算以及异面直线的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

12．已知，，记，则（    ）

A．的最小值为 B．当最小时，

C．的最小值为 D．当最小时，

【答案】BC

【解析】将视为曲线上的点到直线上的点的距离的平方，利用曲线在点上的切线平行于直线可求得点的坐标，利用点到直线的距离公式可求得的最小值，联立过点且与直线垂直的直线与直线的方程，可求得的值，综合可得出结论.

【详解】

由，得：，

的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，

由得：，

与直线平行的直线的斜率为，

则令，解得：，切点坐标为，

到直线的距离.

即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为.

的最小值为，

过与垂直的直线为，即.

由，解得：，即当最小时，.

故选：BC.

【点睛】

本题考查曲线上一点到直线距离最值的计算，考查导数几何意义的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

三、填空题

13．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.

【答案】8.

【解析】利用转化得到加以计算，得到.

【详解】

向量

则.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.

14．在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________________.

【答案】

【解析】利用展开式各项系数之和求得的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.

【详解】

的展开式各项系数和为，得，

所以，的展开式通项为，

令，得，因此，展开式中的常数项为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.

15．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.

【答案】1       

【解析】由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.

【详解】

因为，所以由正弦定理可得，所以;

所以，当，即时，三角形面积最大.

故答案为(1). 1    (2).

【点睛】

本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.

16．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为______.

【答案】

【解析】构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果.

【详解】

依题意，，

令，则，故函数为奇函数

，故函数在上单调递减，

则

，即，故，则x的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

四、解答题

17．已知数列满足，且.

（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【解析】（1）将等式变形为，进而可证明出是等差数列，确定数列的首项和公差，可求得的表达式，进而可得出数列的通项公式；

（2）利用错位相减法可求得数列的前项和.

【详解】

（1）因为，所以，即，

所以数列是等差数列，且公差，其首项

所以，解得；

（2），①

，②

①②，得，

所以.

【点睛】

本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

18．已知的内角、、的对边分别为、、，满足.有三个条件：①；②；③.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：

（1）求；

（2）设为边上一点，且，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先求出角，进而可得出，则①②中有且只有一个正确，③正确，然后分①③正确和②③正确两种情况讨论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得的值；

（2）计算出和，计算出，可得出，进而可求得的面积.

【详解】

（1）因为，所以，得，

，，

为钝角，与矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.

显然，得.

当①③正确时，

由，得（无解）；

当②③正确时，由于，，得；

（2）如图，因为，，则，

则，.

【点睛】

本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

19．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.

【答案】(1)见详解；(2) .

【解析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2)在图中找到对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线，发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证.

【详解】

(1)证：，，又因为和粘在一起.

，A，C，G，D四点共面.

又.

平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.

(2)过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以

而又，故平面，所以.又因为所以是二面角的平面角，而在中，又因为故，所以.

而在中,，即二面角的度数为.

【点睛】

很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．

20．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．

【解析】试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；

（2）第一步由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.

试题解析：解：(1)设直线，，，．

∴由得，

∴，．

∴直线的斜率，即．

即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．

（2）四边形能为平行四边形．

∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，

由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．

∴由得，即

将点的坐标代入直线的方程得，因此．

四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即

∴．解得，．

∵，，，

∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．

【考点】直线与椭圆的位置关系的综合应用

【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，

（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.

21．某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数．

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：

（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？ 

附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；

② 参考数据：，，．

【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.

【解析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；

（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；

（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．

【详解】

本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．

解：（1），

，

则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好

（2）（i）先建立关于的线性回归方程.

由，得，即．

由于，

所以关于的线性回归方程为，

所以，则

（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，

代入得，，

又，所以，

所以，

所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性

22．（本小题满分12分）设函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值；

（Ⅲ）已知数列中， ，且，若数列的前n项和为，求证：

.

【答案】（Ⅰ）函数在上单调递减，在单调递增；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）先对函数求导，再对的取值范围进行讨论，即可得的单调性；（Ⅱ）设，先对函数求导，再对的取值范围进行讨论函数的单调性，进而可得的最小值；（Ⅲ）先由已知条件求出数列的通项公式和前项和，再把转化为，由（Ⅱ）可得， ，令，可得，进而可证，即可证．

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为， 1分

当时， ，当时， 2分

所以函数在上单调递减，在单调递增. 3分

（Ⅱ）设，则

因为≥0，故5分

（ⅰ）当时， ， ，所以在单调递减，而，所以对所有的≥0， ≤0，即≤；

（ⅱ）当时， ，若，则， 单调递增，而，所以当时， ，即；

（ⅲ）当时， ， ，所以在单调递增，而，所以对所有的， ，即；

综上， 的最小值为2. 8分

（Ⅲ）由得， ，由得， ，

所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，

故， ， 9分

由（Ⅱ）知时， ， ，

即， . 10分

法一：令，得，

即

因为11分

所以12分

故12分

法二：

下面用数学归纳法证明．

（1）当时，令代入，即得，不等式成立

（2）假设时，不等式成立，即

则时，

令代入，得

即

由（1）（2）可知不等式对任何 都成立.

故12分

【考点】1利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前项和；5、不等式的证明．