2020届陕西省宝鸡中学高三上学期第一次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省宝鸡中学高三上学期第一次模拟数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据集合的交集运算,化简即可求得.

【详解】

因为集合,集合

由集合的交集运算可知

故选:A

【点睛】

本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.

2．为虚数单位，复数（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】根据复数的乘法运算,展开化简即可求解.

【详解】

由复数的乘法运算可得

故选:B

【点睛】

本题考查了复数的乘法与加法运算,属于基础题.

3．已知向量，向量，向量，，则实数的值为（    ）

A．2 B．-2 C． D．

【答案】A

【解析】根据向量的加法运算,先求得,再由向量垂直的坐标关系即可求得的值.

【详解】

向量,向量,向量

根据向量的数乘和加法的坐标运算可得

则

因为

由向量垂直的关系可知

即

即

解得

故选:A

【点睛】

本题考查了向量的数乘运算与加法运算,向量垂直的坐标关系,属于基础题.

4．观察下列各式：，，，，，…，则（    ）

A．47 B．76 C．121 D．123

【答案】A

【解析】根据数与式的归纳推理,可知从第三项开始后一项等于前两项的和,即可得.

【详解】

由,,,,

可知从第三项开始后一项等于前两项的和

所以,

则

故选:A

【点睛】

本题考查了数与式的归纳推理的应用,找出规律是解决此类问题的关键,属于基础题.

5．某篮球教练对甲乙两位运动员在近五场比赛中的得分情况统计如下图所示，根据图表给出如下结论:(1)甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差小；(2)甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差大；(3)甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高；(4)甲的成绩较稳定,乙的成续基本呈上升状态；结论正确的是(    )

A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）

【答案】C

【解析】根据图示,求得甲乙两人的平均数,由成绩的变化趋势和范围,即可判断方差的大小及稳定情况.

【详解】

由图示可知,甲五次得分情况分别为:0,3,2,4,6.五次得分的平均值为

乙五次得分情况分别为:3,4,2,2,4.五次得分的平均值为

甲乙两人得分的平均数相等,因为乙得分的波动范围小,所以乙的方差小,成绩稳定.

从折线图可知,甲的成绩在不断提高,乙的成绩没有显著提高.

结合四个选项可知, (2)(3)为正确选项

故选:C

【点睛】

本题考查了折线图的应用,平均数的计算与方差大小的判断,属于基础题.

6．已知条件p：k=；条件q：直线y= kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】【详解】

当时，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切；

当直线与圆相切时，由得，

所以则p是q的充分不必要条件,

故选A.

7．已知函数，则函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】画出函数的图像,根据的图像与关于轴对称,即可得的图像.

【详解】

函数

则的图像如下图所示:

因为的图像与关于轴对称,所以的图像如下图所示:

故选:D

【点睛】

本题考查了分段函数图像的画法,函数图像关于轴对称的画法,属于基础题.

8．已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据椭圆的标准方程及椭圆的定义,可得焦距及,由勾股定理逆定理可判断为直角三角形,进而求得的面积.

【详解】

圆的左右焦点分别为,,点在椭圆上,且

所以

则

而

所以

因为

所以是以为斜边的直角三角形

则

故选:B

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程及定义,焦点三角形面积的求法,利用勾股定理的逆定理判断三角形形状,属于基础题.

9．设函数，的图像向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍得到的图像，则在上的最大值为（    ）

A．3 B． C． D．1

【答案】A

【解析】根据三角函数图像的变换,可得的解析式.结合正弦函数的图像与性质,即可求得在上的最大值.

【详解】

函数

将的图像向左平移个单位,可得;再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍可得

因为

则

所以当,即时取得最大值

最大值为

故选:A

【点睛】

本题考查了三角函数图像的平移伸缩变换,正弦函数的图像与性质的综合练习,属于基础题.

10．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据诱导公式化简,利用正弦二倍角公式展开.结合同角三角函数关系式即可化简求值.

【详解】

由诱导公式及正弦二倍角公式化简可得

由可得

即,两边同时平方可得

由同角三角函数关系式

由上述两式可得

而

即

故选:A

【点睛】

本题考查了同角三角函数式的化简求值,诱导公式及正弦二倍角公式的应用,属于基础题.

11．已知双曲线（，）的左右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】根据双曲线的对称性可知若为等腰直角三角形,则且,进而由通径长与焦距关系求得双曲线的离心率.

【详解】

双曲线（,）的左右焦点分别为、,若为等腰直角三角形

则且

由双曲线的对称性可知

由等腰直角三角形性质可得

即

化简可得,由双曲线中

可得

同时除以可得

解得

因为

所以

故选:C

【点睛】

本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用,双曲线离心率的求法,属于基础题.

12．若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【解析】设出切点坐标,利用导数求得切线的斜率,再用两点式表示出斜率.令两个斜率相等,即可得关于切点横坐标的方程,分离参数后研究三次函数的极值情况即可求得的取值范围.

【详解】

过点作曲线的切线

则

设切点坐标为

则

则过切点的直线方程的斜率为

过切点和的斜率为

则

化简可得

令,

则

令

解得或

当时, ,所以单调递增

当时, ,所以单调递减

当时, ,所以单调递增

画出函数图像如下图所示:

所以当时, 取得极大值为

所以当时, 取得极小值为

所以若有三个不同交点,则

此时满足过点可作曲线三条切线

故选:B

【点睛】

本题考查了导数的几何意义与切线方程的应用,利用导数研究函数单调性、极值和最值,属于中档题.

二、填空题

13．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪封花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的文化信息.下图是一个半径为2个单位的圆形中国剪纸图案,为了测算图中黑色部分的面职，在圆形区域内随机投掷400个点,其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分面积是__________．

【答案】

【解析】根据几何概型概率的计算方法即可求得黑色部分的面积.

【详解】

半径为2个单位的圆形

面积为

根据几何概型概率计算公式可知,设黑色部分面积为

则,即

解得

故答案为:

【点睛】

本题考查了几何概型概率的计算公式用法,属于基础题.

14．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则的值为_____.

【答案】2

【解析】根据可知函数为周期函数,并求得周期,结合奇函数的性质即可求值.

【详解】

因为

令,代入可得

即为周期为的周期函数

为定义在上的奇函数,则

所以

故答案为:

【点睛】

本题考查了奇函数的性质及应用,周期函数的判断及求值,属于基础题.

15．三角形的内角、、的对边分别为、、，已知，，，则__________，的面积为________．

【答案】       

【解析】先由余弦定理求得的值,再根据三角形面积即可求得.

【详解】

由余弦定理可知,

代入可得

化简得,即

所以

由三角形面积公式可得

代入可得

故答案为: ;

【点睛】

本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的求法,属于基础题.

16．如图所示，三棱锥中，平面，,，是的中点，求异面直线和所成角的余弦值___．

【答案】

【解析】取中点,连接,则可得即为和所成角.由垂直关系可分别求得的三边长,再由余弦定理即可求得的余弦值.

【详解】

因为三棱锥中,平面,,

则为等边三角形

所以

取中点, 连接.则即为和所成角,如下图所示:

则在中,由余弦定理可知

代入可得

解得

即异面直线和所成角的余弦值为

故答案为:

【点睛】

本题考查了异面直线夹角的求法,余弦定理解三角形中的应用,属于基础题.

三、解答题

17．如图四棱锥中，底面 正方形，为中点.

（1）求证：平面；

（2）已知平面且，求三棱锥体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】(1)连接交与,连接,根据中位线定理即可证明,从而证明平面;

(2)根据,由三棱锥体积公式即可求解.

【详解】

(1)连接交与,连接

则,又平面,且平面

所以平面

(2)取的中点,连接,则

平面

∴.

【点睛】

本题考查了直线与平面的平行判定,三棱锥体积的求法,属于基础题.

18．某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组： ，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

【答案】(1)0.4.

(2)20人.

(3) .

【解析】【详解】

分析：(1)根据频率分布直方图可知,即可求解样本中分数不小于70的频率，进而得到

分数小于70的概率；

(2)根据题意，根据样本中分数不小于50的频率为，求得分数在区间内的人数为5人，进而求得总体中分数在区间内的人数；

（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为60人，求得样本中分数不小于70的男生人数，即可求解.

详解：(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为

(0.02+0.04)×10=0.6 ,

样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.

∴从总体的400名学生中随机抽取一人其分数小于70的概率估计为0.4

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为

，

分数在区间内的人数为．

所以总体中分数在区间内的人数估计为．

（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为

，

所以样本中分数不小于70的男生人数为

所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为

点睛：本题主要考查了用样本估计总体和频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.

19．已知等差数列满足且，等比数列的首项为2，公比为.

（1）若，问等于数列中的第几项？

（2）若，数列和的前项和分别记为和，的最大值为，试比较与的大小.

【答案】(1) (2)

【解析】(1)根据等差数列的通项公式,即可求得数列的通项公式.根据等比数列的首项与公比,求得等比数列的通项公式,进而可求得.即可求出等于数列中项.

(2)根据等差数列的求和公式即可求得等差数列前项和的最大值为.由等比数列的前项和公式求得的值,即可比较与的大小.

【详解】

(1) 因为等差数列满足

即,所以等差数列的公差

又

得,代入可得

所以

当等比数列的首项为2,公比为.

当时

所以

所以当时

解得

即时等于数列中的第16项

(2) 等比数列的首项为2,若

由可得

又等差数列中代入可得

所以当时, 的最大值为

所以

【点睛】

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用,等差数列前n项和的最值求法,属于基础题.

20．已知，.

（1）讨论的单调性；

（2）若时，恒成立，求实数的最大值.

【答案】（1）递增，递减.；（2）1

【解析】(1)先求得导函数,并令,求得两个极值点.在定义域内讨论导函数的符号,即可求得函数的单调区间;

(2)通过对不等式转化,即可分离参数,构造函数,利用导函数求得的最小值,即可求得的最大值.

【详解】

(1)∵的定义域为,

由得,,,可得到下表：

即在上递增,在上递减

(2)当时,

即

化简可得

令（）,只需

∵

令（）,由于,所以在上递增

∵,

∴存在唯一的,使得

易知在区间上递减,在区间上递增

∴

由得,两边取对数得

∴

∴,即的最大值为1

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性,根据导函数研究函数的极值与最值,不等式中参数取值范围的求法,构造函数求最值形式,综合性强,属于难题.

21．已知动圆与直线相切，且与圆外切.

（1）求动圆圆心轨迹的方程；

（2）已知过点的直线:与曲线交于，两点，是否存在常数，使得恒为定值？

【答案】（1）；（2）存在

【解析】(1)根据两点间距离公式及相切条件,即可求得动圆圆心的轨迹方程.

(2)将直线方程与抛物线方程联立,消后可得关于的一元二次方程,表示成韦达定理形式.由两点间距离公式,表示出,代入韦达定理形式,即可得的表达式.并用换元法,求得的值即可.

【详解】

(1)圆化为标准方程为

则圆心为,半径为

设动圆圆心坐标为,由动圆与直线相切,且与圆外切

得

则

两边平方整理得

所以动圆圆心轨迹的方程为

(2)由题意可将直线的方程为与抛物线联立

消去得

则,

上式对任意恒为定值,设,

整理得

由,解得

此时

∴存在定点,满足题意

【点睛】

本题考查了轨迹方程的求法,直线与抛物线的位置关系,抛物线中的定值问题解法,化简过程较为繁琐,属于难题.

22．已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）若过且与直线垂直的直线与曲线相交于、两点，求.

【答案】（1），；（2）

【解析】(1)根据极坐标与直角坐标方程的转化,参数方程与普通方程的转化即可得直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;

(2)根据直线与直线垂直且过,可得直线的参数方程.将直线的参数方程与曲线联立,结合韦达定理及参数方程的几何意义即可求得.

【详解】

(1)由直线极坐标方程为,即,

根据极坐标与直角坐标的互化公式,可得直线直角坐标方程：,

由曲线的参数方程为（为参数）,则,

整理得椭圆的普通方程为.

(2)由已知直线与垂直,所以直线的倾斜角为,

直线的参数方程为,即（为参数）,

把直线的参数方程代入

化简得

设,是上述方程的两个实根,则有

又直线过点

故由上式及的几何意义得

【点睛】

本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转化,参数方程的几何意义,属于中档题.

23．已知.

（1）时，求不等式的解集；

（2）若的解集为且是集合的子集，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）

【解析】(1)代入,可得.对分类讨论即可得解不等式的解集.

(2)根据不等式在上恒成立,去绝对值化简可得.再去绝对值即可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的取值范围.

【详解】

(1)当时,

由可得

或或

解不等式组可得或

即或

综上的解集为或

(2)由题意可知,在上恒成立

即在上恒成立

即在上恒成立

由可得

又

∴,即

∴

故的取值范围为

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法,属于中档题.