2020届陕西省渭南市高考数学一模试卷（理科）（解析版）


2020年陕西省渭南市高考数学一模试卷
（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={-3，-1，1，3}，则集合（∁UA）∩B=（　　）
A. {-3，-1} B. {-3，-1，3} C. {1，3} D. {-1，1}
2. 已知i为虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则a2+b2=（　　）
A. 2 B. 4 C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，1]上单调递增的是（　　）
A. y= B. y=|sinx| C. y=tanx D. y=（）|x|
4. 设数列{an}是正项等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，则公比q=（　　）
A. B. 3 C. D. 2
5. 函数的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
6. 已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B. 若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n
C. 若m⊂α，n⊂α且m∥β，n∥β，则α∥β
D. 若直线m、n与平面α所成角相等，则m∥n
7. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（　　）

A. 5
B. 6
C. 8
D. 13





8. 2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（　　）
①每年市场规模量逐年增加；
②增长最快的一年为2013～2014；
③这8年的增长率约为40%；
④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 已知F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A. （1，） B. （，+∞） C. （，2） D. （2，+∞）
10. 唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从A（2，0）出发，河岸线所在直线方程x+y-4=0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）
A. B. C. D.
11. 设函数的图象为C，下面结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）的最小正周期是2π．
B. 函数f（x）在区间（，）上是递增的
C. 图象C关于点（，0）对称
D. 图象C由函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到
12. 已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（　　）
A. [4-2ln2，+∞） B. （，+∞）
C. （-∞，4-2ln2] D. （-∞，）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知数列{an}的前n项和Sn=n（n+1）+2，其中n∈N*，则an=______．
14. 设D为△ABC所在平面内的一点，若，，则=______．
15. 从的展开式各项中随机选两项，则这两项均是有理项的概率为______．
16. 在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，PA⊥平面ABCD，AB=AC=PA=2，E，F，M分别为线段BC，AD，PD的中点．
（1）求证：直线EF⊥平面PAC；
（2）求平面MEF与平面PBC所成二面角的正弦值．









18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B是A，C的等差中项．
（1）若b=，a=3，求边c的值；
（2）设t=sinAsinC，求t的取值范围．







19. 2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．
（1）求该学生进入省队的概率．
（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．







20. 已知函数f（x）=lnx，g（x）=-bx（b为常数）
（1）若b=1，求函数H（x）=f（x）-g（x）图象在x=1处的切线方程；
（2）若b≥2，对任意x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求实数b的值．







21. 已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同，F1，F2为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不过点F2的直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点．
①若k2=，且S△AOB=，求m的值．
②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．







22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．







23. 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|a-x|+|x+b|+c．
（1）当a=b=c=2时，求不等式f（x）＜10的解集；
（2）若函数f（x）的最小值为1，证明：a2+b2+c2≥．







答案和解析
1.【答案】B

【解析】解：根据题意，全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，则∁UA={x|x≤0或x≥2}
又由B={-3，-1，1，3}，则集合（∁UA）∩B={-3，-1，3}；
故选：B．
根据题意，由补集的定义求出集合∁UA，进而由交集的定义分析可得答案．
本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题．
2.【答案】D

【解析】解：由，
得a=b=，
则a2+b2=．
故选：D．
利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件求得a，b，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
3.【答案】B

【解析】解：其中A，C，为奇函数，不成立，
根据y=|sinx|的图象，在区间（0，1]上单调递增，故B正确，
当x＞0时，y=，故区间（0，1]上单调递减，故D不成立，
故选：B．
利用函数的奇偶性，单调性判断即可．
考查函数的奇偶性和单调性，基础题．
4.【答案】C

【解析】解：由a2a4=1，S3=7，可知公比q≠1，
则，
联立方程可得，q=或a=-（舍），
故选：C．
结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．
5.【答案】D

【解析】【分析】
本题考查函数的图象与图象变换，考查极限思想的应用，是基础题．
当x→-∞时，f（x）→-∞，排除A，C；当x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得答案．
【解答】
解：由，可知当x→-∞时，f（x）→-∞，排除A，C；
当x→+∞时，由指数爆炸可知ex＞x3，则→0，排除B．
故选D．
6.【答案】B

【解析】解：A如图可否定A；
C如图可否定C；
D如图可否定D；
故选：B．
通过图示采用排除法可否定A，C，D，故选B．
此题考查了直线，平面的位置关系，难度不大．
7.【答案】A

【解析】解：模拟程序的运行，可得：
i=0，S=1，P=0
满足条件i＜4，执行循环体，i=1，t=1，S=1，P=1
满足条件i＜4，执行循环体，i=2，t=1，S=2，P=1
满足条件i＜4，执行循环体，i=3，t=2，S=3，P=2
满足条件i＜4，执行循环体，i=4，t=3，S=5，P=3
此时，不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为5．
故选：A．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8.【答案】C

【解析】解：对于①，除2012年外，每年市场规模量逐年增加，即①错误，
对于②，增长最快的一年为2013～2014，且增量为6.7（十亿美元），即②正确，
对于③，这8年的增长率约为40%，因为45.3×（1+40%）=63.42≈63.5，即③正确，
对于④，分析数据可得：2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，即④正确，
即②③④正确，
故选：C．
先对图表数据进行分析再结合频率分布折线图逐一判断即可得解．
本题考查了对图表数据的分析及频率分布折线图，属中档题．
9.【答案】D

【解析】解：双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，
不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x-c），
与y=-x联立，可得交点M（，-），
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，
∴b2＞3a2，
∴c2-a2＞3a2，即c＞2a．
则e=＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．
故选：D．
根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．
本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．
10.【答案】B

【解析】解：设点A关于直线x+y=4的对称点A'（a，b），kAA′=，
AA'的中点为（），故解得a=4，b=2，
要使从点A到军营总路程最短，即为点A'到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为-1=2-1，
故选：B．
先求出点A关于直线x+y=4的对称点A'，点A'到圆心的距离减去半径即为最短．
本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．
11.【答案】C

【解析】解：设函数的图象为C，
在A中，函数f（x）的最小正周期是T==π，故A错误；
在B中，函数的增区间满足：
，k∈Z，
整理，得：-，k∈Z，
∴函数f（x）在区间（，）上是先增后减，故B错误；
在C中，由2x-=kπ，k∈Z，得x=，k∈Z．
∴函数的图象的对称中心为（，0），k∈Z，
当k=2时，图象C关于点（，0）对称，故C正确；
在D中，函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位，得：
f（x）=sin2（x+）=sin（2x+），故D错误．
故选：C．
在A中，函数f（x）的最小正周期是T==π；在B中，函数f（x）在区间（，）上是先增后减；在C中，函数的图象的对称中心为（，0），k∈Z，当k=2时，图象C关于点（，0）对称；在D中，函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位，得f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）．
本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】D

【解析】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，
∴f（x）+1≥1，
∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
当x＜1，f（x）=1-＞，f（x）+1＞，
f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，
则f（x）+1=e-m，f（x）=e-m-1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2），
当x≥1是，lnx2=e-m-1，当x＜1时，1-=e-m-1，
令t=e-m-1＞，则lnx2=t，x2=et，1-=t，x1=2-2t，
∴x1x2=et（2-2t），t＞，
设g（t）=et（2-2t），t＞，
求导g′（t）=-2tet，
t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，
∴g（t）＜g（）=，
∴g（x）的值域为（-∞，），
∴x1x2取值范围为（-∞，），
故选：D．
由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1-＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=et（2-2t），t＞，设g（t）=et（2-2t），t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围．
本题考查函数零点的判定，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．
13.【答案】

【解析】解：当n=1时，S1=a1=4，
当n≥2时，由题意，得Sn=n（n+1）+2，①Sn-1=（n-1）n+2，②
由①-②，得an=2n，其中n≥2，
所以数列{an}的通项公式an=．
故答案为：．
当n=1时，S1=a1=4，当n≥2时，由题意，得Sn=n（n+1）+2，Sn-1=（n-1）n+2，相减即可得出．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】-3

【解析】解：如图，
由图可知==+3（），
即有=-+，
所以λ=-，μ=，
则=-3，
故答案为：-3．
由向量共线的充要条件有：点B为AD的三分之一点，由平面向量的线性运算得：
本题考查了向量共线及平面向量的线性运算，属简单题．
15.【答案】

【解析】解： 的展开式的通项公式为Tr+1=•（-1）r•，r=0，1，2，3，4，5，6，7，8．
故当r=0，3，6 时，该项为有理项，故有理项共有3项，展开式共有9项．
各项中随机选两项，则这两项均是有理项的概率为=，
故答案为：．
先判断有理项共有3项，展开式共有9项，从而求得结果．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
16.【答案】32

【解析】解：如图，
在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O，
由AB=6，得CO=CF=×3=2．
∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴F为△PAB的外心，则O为棱锥P-ABC的外接球球心，
则外接球半径R=OC=2．
∴该三棱锥外接球的体积为π（2）3=32π．
故答案为：32π．
由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入体积公式得答案．
本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
17.【答案】解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵AB=AC，∠BCD=135°，∴AB⊥AC，
∵E，F，M分别为线段BC，AD，PD的中点．∴EF∥AB，
∴EF⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，EF⊂底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵PA∩AC=A，∴EF⊥平面PAC．
（2）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC两两垂直，
以AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（-2，2，0），E（1，1，0），
=（-2，2，0），=（2，0，-2），
设平面PBC的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，1，1），
M是PD的中点，由（1）知，AC⊥平面MEF，且=（0，2，0），
∴|cos＜＞|==，
∴平面MEF与平面PBC所成二面角的正弦值为．

【解析】（1）推导出AB⊥AC，EF∥AB，从而EF⊥AC，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥EF，由此能证明EF⊥平面PAC．
（2）以AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEF与平面PBC所成二面角的正弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：（1）∵B是A，C的等差中项，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，
∴B=，
∵b=，a=3，又b2=a2+c2-2accosB，
∴c2-3c-4=0，解得c=4，或c=-1（舍去），故c=4．
（2）∵A+B=，
∴t=sinAsin（-A）=sinA（cosA+sinA）=sin（2A-）+，
∵A∈（0，），2A-∈（-，），sin（2A-）∈（-，1]，
故t的取值范围为（0，]．

【解析】（1）由已知利用等差中项的性质，三角形内角和定理可求B的值，进而根据余弦定理可得c2-3c-4=0，解方程可得c的值．
（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求t=sin（2A-）+，根据正弦函数的性质可求其取值范围．
本题主要考查了等差中项的性质，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．
19.【答案】解：（1）记“该生进入省队”的事件为事件A，其对立事件为，
则=
∴该学生进入省队的概率P（A）=1-P（）=．……………………（4分）
（2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．…………………………（6分）
，
，
，
．……………………………………………………（10分）
故ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
5
P




E（ξ）==．……………………………………………………………………（12分）

【解析】（1）记“该生进入省队”的事件为事件A，其对立事件为，由此能求出该学生进入省队的概率．
（2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20.【答案】解：（1）若b=1，函数，
∴，故H′（1）=1，
又切点为，
故所求切线方程为2x-2y-1=0；
（2）不妨设x1＞x2，
∵函数f（x）=lnx在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x1）＞f（x2），
∵函数g（x）图象的对称轴为x=b，且b＞2，
∴当b≥2时，函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴g（x1）＜g（x2），
∴|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|等价于f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），等价于函数在区间[1，2]上是增函数，
等价于在区间[1，2]上恒成立，等价于在区间[1，2]上恒成立，
∴b≤2，
又b≥2，故b=2．

【解析】（1）将b=1代入，求导后得到斜率，求出切点，利用点斜式得到切线方程；
（2）分析可知，函数f（x）=lnx在区间[1，2]上是增函数，函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，进而问题等价于f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），进一步等价于在区间[1，2]上恒成立，由此即可得解．
本题考查导数的几何意义，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想，难度不大．
21.【答案】解：（1）由抛物线的方程y2=4x得其焦点为（1，0），则c=1，
当点M为椭圆的短轴端点时，△MF1F2面积最大，此时，则b=1，
∴，故椭圆的方程为；
（2）联立得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）=8（2k2-m2+1）＞0，得1+2k2＞m2（*），
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
①∵m≠0且，代入（*）得，0＜m2＜2，
，
设点O到直线AB的距离为d，则，
∴，
∴m2=1∈（0，2），则m=±1；
②，由题意，k1+k2=0，
∴，即2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0，
∴，解得m=-2k，
∴直线l的方程为y=k（x-2），故直线l恒过定点，该定点坐标为（2，0）．

【解析】（1）根据题意，可求得c=1，b=1，进而求得a，由此得到椭圆方程；
（2）①联立方程，得到k与m的不等关系，及两根的关系，表示出弦长AB及点O到直线AB的距离，由此建立等式解出即可；
②依题意，k1+k2=0，由此可得到k与m的等量关系，进而求得定点．
本题涉及了椭圆方程的求法，抛物线的性质，定点问题，斜率计算，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，根与系数的关系等知识点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），
转换为直角坐标方程为：，
所以直线的倾斜角为．
所以：，
曲线C1的参数方程为（θ为参数），
转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4．
转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ，
曲线C2的极坐标方程为，
转换为直角坐标的方程为：，
整理得：，
线l交曲线C1于O，A两点，
则：，
解得：A（2，），
直线和曲线C2于O，B两点
则：，
解得：B（4，），
所以：|AB|=|ρ1-ρ2|=4-2．

【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.【答案】解：（1）当a=b=c=2时，f（x）=|x-2|+|x+2|+2，
∴f（x）＜10即为或或，
故不等式的解集为{x|-4＜x＜4}；
（2）证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴f（x）=|a-x|+|x+b|+c≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c，
∵f（x）的最小值为1，
∴a+b+c=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，
∵2ab≤a2+b2，2bc≤b2+c2，2ca≤c2+a2，
∴1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2≥，即得证．

【解析】（1）将a=b=c=2代入，分类讨论即可求解；
（2）利用基本不等式容易得证．
本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．