2020届陕西省西安电子技大学附中高三上学期10月第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省西安电子技大学附中高三上学期10月第二次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．设全集为R，集合，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：，

结合交集的定义可得：.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．已知角的终边经过点,则

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为角的终边经过点,所以,则,

即.故选D．

3．已知非零向量满足，，且与的夹角为，则（    ）

A．6 B． C． D．3

【答案】D

【解析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．

【详解】

解：非零向量，满足，可知两个向量垂直，，且与的夹角为，

说明以向量，为邻边，为对角线的平行四边形是正方形，所以则．

故选：．

【点睛】

本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先由同角三角函数的基本关系求出，再利用弦化切代入求值即可；

【详解】

解：因为

所以且，解得，

所以

故选：

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.

5．已知等比数列满足，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.

6．已知，，那么是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由，可得，解出即可判断出结论．

【详解】

解：因为，且

．

，解得．

是的必要不充分条件．

故选：．

【点睛】

本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ）

A． B．3 C． D．4

【答案】B

【解析】由正弦定理及条件可得，

即.

，

∴，

由余弦定理得。

∴.选B。

8．函数（且）的图像可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由条件可得函数为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当趋向于0时，，结合所给的选项，得出结论．

【详解】

解：对于函数且，由于它的定义域关于原点对称，

且满足，故函数为奇函数，故它的图象关于原点对称．

故排除、．

当，，故排除，

但是当趋向于0时，，

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．

9．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等腰非等边三角形

C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形

【答案】C

【解析】利用正弦定理将边化角，再由，化简可得，最后分类讨论可得；

【详解】

解：因为

所以

所以

所以

所以

所以

当时，为直角三角形；

当时即，为等腰三角形；

的形状是等腰三角形或直角三角形

故选：．

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

10．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间

上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.

点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.

11．方程的实数根叫作函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”为，那么满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题设中所给的定义，方程的实数根叫做函数的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出的大致范围

【详解】

解：由题意方程的实数根叫做函数的“新驻点”，

对于函数，由于，

，

设，该函数在为增函数，

， ，

在上有零点，

故函数的“新驻点”为，那么

故选：．

【点睛】

本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题..

12．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【解析】首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；

【详解】

解：因为，

所以

因为

所以

，即，，

时

故选：

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.

二、填空题

13．已知向量，且 ，则实数的值是__________．

【答案】

【解析】∵=（1，2），=（x，1），

则=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4），

=2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3），

∵∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）=0，解得：x=．

点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得，然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0．

14．已知函数，对于任意都有，则的值为______________.

【答案】

【解析】由条件得到函数的对称性，从而得到结果

【详解】

∵f＝f，

∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．

∴f＝±2.

【点睛】

本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题.

15．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.

【答案】

【解析】试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故答案为.

【考点】余弦定理及等比数列的定义.

16．设，若关于的方程有实数解，则实数的取值范围_____．

【答案】

【解析】先求出，从而得函数在区间上为增函数；在区间为减函数．即可得的最大值为，令，得函数取得最小值，由有实数解，，进而得实数的取值范围．

【详解】

解：，

当时，；当时，；

函数在区间上为增函数；在区间为减函数．

所以的最大值为，

令，

所以当时，函数取得最小值，

又因为方程有实数解，那么，即，

所以实数的取值范围是：．

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.

三、解答题

17．（1）求曲线和曲线围成图形的面积；

（2）化简求值：．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）求曲线和曲线围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间上的定积分．

（2）首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出，

然后再整体代入可得；

【详解】

解：

（1）联立解得，，所以曲线和曲线围成的图形面积

．

（2）

∴

【点睛】

本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

18．已知函数，其中，．

（1）当时，求的值；

（2）当的最小正周期为时，求在上的值域．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据，得到函数，然后，直接求解的值；

（2）首先，化简函数，然后，结合周期公式，得到，再结合，及正弦函数的性质解答即可．

【详解】

（1）因为，所以

（2）因为

即

因为，所以

所以

因为

所以

所以当时，．当时，（最大值）

当时，

在是增函数，在是减函数．

的值域是．

【点睛】

本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考查了运算求解能力，属于中档题．

19．已知等差数列满足，.

（l）求等差数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：（1）设等差数列满的首项为，公差为，代入两等式可解。

（2）由（1），代入得，所以通过裂项求和可求得。

试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由题意可得，解得.

所以.

（2）因为，

所以.

所以 .

20．已知向量，函数．

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．

【答案】（1），（2）

【解析】（1）利用向量的数量积和二倍角公式化简得，故可求其周期与单调性；

（2）根据图像过得到，故可求得的大小，再根据数量积得到的乘积，最后结合余弦定理和构建关于的方程即可．

【详解】

（1），

最小正周期：，

由得，

所以的单调递增区间为；

（2）由可得：，

所以．

又因为成等差数列，所以

而，

．

21．已知在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】(1);(2) .

【解析】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得．

详解：(1)由题意及正、余弦定理得，

整理得，

∴

（2）由题意得，

∴，

∵，

∴，

∴.          

由余弦定理得，

∴，

 ，当且仅当时等号成立．

∴．

∴面积的最大值为．

点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．

（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．

22．[2018·石家庄一检]已知函数．

（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；

（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．

【答案】（1） （2）见解析

【解析】试题分析：（1）分别求得和，由点斜式可得切线方程；

（2）由已知条件可得有两个相异实根，，进而再求导可得，结合函数的单调性可得，从而得证.

试题解析：

（1）由已知条件，，当时，，

，当时，，所以所求切线方程为

（2）由已知条件可得有两个相异实根，，

令，则，

1）若，则，单调递增，不可能有两根；

2）若，

令得，可知在上单调递增，在上单调递减，

令解得，

由有，

由有，

从而时函数有两个极值点，

当变化时，，的变化情况如下表

因为，所以，在区间上单调递增，

．

另解：由已知可得，则，令，

则，可知函数在单调递增，在单调递减，

若有两个根，则可得，

当时， ，

所以在区间上单调递增，

所以．