2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次高考适应性考试数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次高考适应性考试数学（文）试题

一、单选题

1．若，且，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用特殊值排除错误选项，利用指数函数单调性证明正确选项.

【详解】

不妨设，则

，A选项错误.

，C选项错误.

，D选项错误.

对于B选项，由于为上的减函数，而，所以，即B选项正确.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查数的大小判断，考查指数函数单调性，属于基础题.

2．复数（为虚数单位）的虚部是（     ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】B

【解析】由题意有： ，

据此可得复数（为虚数单位）的虚部是1 .

本题选择A选项.

3．已知，，，则P的真子集个数为（    ）

A．4 B．3 C．8 D．7

【答案】B

【解析】求函数的值域化简集合B的表示，再根据集合交集的定义求出集合P，最后求出P的真子集个数即可.

【详解】

因为，所以，因此P的真子集个数为：

.

故选：B

【点睛】

本题考查了求函数的值域，考查了集合交集的定义，考查了集合真子集个数问题，考查了数学运算能力.

4．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形E是BC的中点，则下列叙述正确的是（    ）

A．与是异面直线 B．平面

C． D．平面

【答案】C

【解析】证明共面，由此判断A选项错误.由与不垂直，判断B选项错误.通过证明平面，证得，由此判断C选项正确.由而与平面相交，判断D选项错误.

【详解】

对于A选项，由于都含于平面，所以不是异面直线，故A选项错误.

对于B选项，由于，所以与平面不会垂直，故B选项错误.

对于C选项，在等边三角形中，，根据直三棱柱中易得，所以平面，所以，所以C选项正确.

对于D选项，由于，而与平面相交，所以直线与平面不平行，故D选项错误.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，属于基础题.

5．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件），若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（    ）

A．3，5 B．7，5 C．5，7 D．5，3

【答案】D

【解析】根据两组数据的中位数和平均数相等，求得的值.

【详解】

乙组的中位数为，所以，所以平均数，解得.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查与茎叶图有关的平均数和中位数的计算，属于基础题.

6．不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】求得时的取值范围，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.

【详解】

由于是的对称轴，所以当时，.所以，解得.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，属于基础题.

7．已知函数是奇函数，将的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（    ）

A．-2 B． C． D．2

【答案】B

【解析】根据函数是奇函数结合正弦型函数的性质可以求出的值，再根据正弦型函数的图像变换特点求出的解析式，根据正弦型函数的最小正周期公式可以求出，再根据求出的值.

【详解】

因为函数是奇函数，所以

.

的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为，因此 ，又因为的最小正周期为2，所以有

，由，可得，

因此，所以.

故选：B

【点睛】

本题考查了正弦型函数的奇偶性、图像的变换、最小正周期公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.

8．己知双曲线的离心率，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据与的关系式，求得的取值范围，由此求得经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围

【详解】

由于所以，所以，

所以，所以

又双曲线的渐近线方程为，

设经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为，则

所以经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查双曲线离心率和渐近线斜率的关系，考查直线斜率与倾斜角的对应关系，属于基础题.

9．在直角坐标系xOy中，曲线（，且）过定点P，若角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过定点P，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求得点坐标，由此求得的值，进而求得的值.

【详解】

曲线的定点，所以，所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查对数函数过定点问题，考查三角函数的定义，考查正切的二倍角公式，属于基础题.

10．已知函数，且，则a的取值范为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先判断的奇偶性和单调性，由此化简不等式，求得的取值范围.

【详解】

由解得，而，所以为奇函数，且为增函数，所以由，得，则，解得.由于，即.所以.即的取值范围是.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.

11．为等腰直角三角形，，，CD为斜边AB上的高，D是垂足，P为线段CD的中点，则（    ）

A．-1 B． C． D．

【答案】D

【解析】利用向量减法运算化简，结合向量数量积运算求得的值.

【详解】

依题意，所以.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查向量的减法和数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

12．设函数，，给定下列命题：①不等式的解集为；②函数在上单调递增，在上单调递减；③若函数有两个极值点，则实数a的取值范围为；其中正确命题的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【解析】对函数求导，化简函数的表达式，然后利用导数，对数的单调性进行逐一判断即可.

【详解】

，所以.

①:函数 的定义域为：.由，故本命题是真命题；

②：，当时，单调递减；当时，单调递增，故本命题是假命题；

③：，由题意可知函数有两个极值点，因此有有两个不相等的正实数解，问题转化为：有两个不同的交点，由②可知：当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数的最大值为，再结合①，当，当，因此要想有两个不同的交点，只需

，故本命题是假命题.

故选：C

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了数学运算能力.

二、填空题

13．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在19时48分，20时51分食既，21时29分食甚，22时07分生光，23时11分复圆.月全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食阶段的“红月亮”在食既时刻开始，生光时刻结束.小明准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是________.

【答案】

【解析】根据几何概型长度型计算公式进行求解即可.

【详解】

小明准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，时长为2小时1分钟，即121分钟，等待“红月亮”的时间不超过30分钟，应该在20：59至21：56之间，时长为：57分，因此他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是.

故答案为：

【点睛】

本题考查了几何概型长度型，考查了数学运算能力.

14．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为________．

【答案】

【解析】利用题目所给弦长，求得的关系式，再利用基本不等式求得的最小值.

【详解】

圆可化为，所以圆心为，半径为，由于直线与圆相交所得弦长为，则直线过圆心，即.

，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查基本不等式求最值，属于基础题.

15．从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且.设抛物线的焦点为F，则的面积为______.

【答案】10

【解析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案.

【详解】

抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，

设

依题意可知抛物线准线，

.

，

的面积为：.

故答案为：10.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.

16．记函数在区间上的零点分别为，则 ________．

【答案】

【解析】画出在区间上的图象，根据两个图象交点的对称性，求得.

【详解】

令，得，画出在区间上的图象如下图所示.两个函数图象都关于直线对称，所以两个函数图象的六个交点，也关于直线对称，所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查函数零点问题，考查函数图像的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

三、解答题

17．已知等差数列的公差d=2，且成等比数列．

（I）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列，求数列的前n项和．

【答案】（I）；（2）

【解析】（I）根据等比中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得，进而求得的通项公式.

（II）利用分组求和法求得数列的前n项和.

【详解】

（I）由于成等比数列，所以，即，解得.所以.所以数列的通项公式为.

（II）由（I）得.所以

.

【点睛】

本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分组求和法，属于中档题.

18．如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，，，，且，.

（1）求AB的长；

（2）若，求多面体ABCDE的体积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质，可以证明出，最后利用勾股定理求解即可.

（2）利用四棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】

（1）连接，因为平面平面ABC，平面平面ABC=AB，，因此有平面，而平面，所以,又因为，

所以，又因为，而平面,因此有

平面，平面，所以有，因为，所以

；

（2）因为，且，所以四边形是梯形，故多面体ABCDE是四棱锥.由（1）可知：平面，因此四棱锥的高为，

，而，由（1）可知：平面，而平面，所以，所以梯形的面积为：，

四棱锥的体积为：，因此多面体ABCDE的体积为.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定以及线面垂直的性质的应用，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了四棱锥的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力.

19．已知函数，设是导函数.

（1）求在处的切线方程；

（2）求在区间上的单调区间；

（3）若，求证：.

【答案】（1）；（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）证明过程见详解.

【解析】（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；

（2）设，对其求导得，根据导函数的正负性进行求解即可；

（3）利用（1）（2）的结论，结合端点的函数值进行证明即可.

【详解】

（1），

，因此在处的切线方程为：，即；

（2）设，

当时，单调递增，当时，单调递减；

（3），

，

当时，单调递增，当时，单调递减；

而，因此在存在唯一零点，设为，

显然，因此有当时，，当时，，即有

当时，，当时，，因此函数在时，单调递增，在时，单调递减，而，因此当时，成立.

【点睛】

本题考查了利用导数求曲线的切线，考查了利用导数研究函数的单调性和证明不等式，考查了数学运算能力.

20．小军的微信朋友圈参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数.其中，女性好友的走路步数数据记录如下：

5860   8520   7326   6798   7325   8430   3216   7453   11754   9860

8753   6450   7290   4850   10223   9763   7988   9176   6421   5980

男性好友走路的步数情况可分为五个类别（说明：m～n表示大于等于m，小于等于n）：A（0～2000步）1人，B（2001～5000步）2人，C（5001～8000步）3人，D（8001～10000步）6人，E（10001步及以上）8人.若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“健康型”，否则被系统认定为“进步型”.

（1）请根据选取的样本数据完成下面的列联表，并根据此判断能否有95％以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？

（2）从小军的40位好友中该天走路步数不超过5000的中随机抽取3人，若表示抽到的三人分别是x，y，z，试用该表示法列举出试验所有可能的结果.若记“恰好抽到了一位女性好友”为事件A，求事件A的概率.

附：，

【答案】

没有95％以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关；

（2）.

【解析】（1）根据题中给的定义，结合所得的数据填表即可，再根据题中所给的公式和所填写的表格进行计算求出的值，最后判断即可；

（2）用列举法列出试验所有可能的结果，然后根据古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】

（1）根据数据可知：女性好友健康型有8人，进步型有12人；男性好友健康型有14人，进步型有6人，填表如下：

因为，所以没有95％以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关；

（2）小军的40位好友中该天走路步数不超过5000的有女性好友2人，设为，男性好友有3人，设为.随机抽取三人，所以的可能组合如下：

，共10种情形，其中恰好抽到了一位女性好友”，共有6种情形，所以事件A的概率.

【点睛】

本题考查了列联表的填写，考查了的应用，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.

21．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：

(1)由题意可得： ，则椭圆方程为．

 (2)分类讨论：①当轴时，．

②当与轴不垂直时，设处直线的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得.

试题解析：

（1）设椭圆的半焦距为，依题意

，所求椭圆方程为．

（2）设，．

①当轴时，．

②当与轴不垂直时，设直线的方程为．

由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得 ，

，

．

当且仅当，即时等号成立．

当时，，综上所述．

当时，取得最大值，面积也取得最大值．

.

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数）.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.

（1）当，时，求直线l与曲线C的直角坐标方程；

（2）当时，若直线l与曲线C相交于A，B两点，设，且，求直线l的倾斜角.

【答案】（1），；（2）直线l的倾斜角为或.

【解析】（1）利用加减消元法、极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，利用参数的意义结合一元二次方程根与系数进行求解即可.

【详解】

（1）当，时，，

，所以直线l与曲线C的直角坐标方程分别为：，；

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得：，方程两根为，直线l过，因为

，所以有，或.

所以直线l的倾斜角为或.

【点睛】

本题考查了将参数方程、极坐标方程化为普通直角坐标方程，考查了参数方程的参数的几何意义，考查了数学运算能力.