2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次适应性考试数学（理）试题（解析版）
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考试数学（理）试题
一、单选题
1．若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用特殊值排除错误选项，利用指数函数单调性证明正确选项.
【详解】
不妨设，则
，A选项错误.
，C选项错误.
，D选项错误.
对于B选项，由于为上的减函数，而，所以，即B选项正确.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查数的大小判断，考查指数函数单调性，属于基础题.
2．已知，则P的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【解析】先求得集合，由此求得集合，根据集合元素的个数，求得的子集个数.
【详解】
由于，所以，所以，集合共有个元素，故子集有个.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查函数值域，考查集合交集和子集个数的求法，属于基础题.
3．从n个正整数1，2…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】利用古典概型概率计算公式列方程，解方程求得的值.
【详解】
两数之和为有两种情况，故，故，解得.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题.
4．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．与是异面直线 B．平面
C． D．平面
【答案】C
【解析】证明共面，由此判断A选项错误.由与不垂直，判断B选项错误.通过证明平面，证得，由此判断C选项正确.由而与平面相交，判断D选项错误.
【详解】
对于A选项，由于都含于平面，所以不是异面直线，故A选项错误.
对于B选项，由于，所以与平面不会垂直，故B选项错误.
对于C选项，在等边三角形中，，根据直三棱柱中易得，所以平面，所以，所以C选项正确.
对于D选项，由于，而与平面相交，所以直线与平面不平行，故D选项错误.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，属于基础题.
5．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件），若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A．3，5 B．7，5 C．5，7 D．5，3
【答案】D
【解析】根据两组数据的中位数和平均数相等，求得的值.
【详解】
乙组的中位数为，所以，所以平均数，解得.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查与茎叶图有关的平均数和中位数的计算，属于基础题.
6．若的展开式中含有常数项，则n的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】求得二项式展开式的通项公式，根据展开式中含有常数项，求得的表达式，进而求得的最小值.
【详解】
二项式展开式的通项公式为，由于展开式中含有常数项，则，，当时，取得最小值为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查根据二项式展开式含有常数项求参数，属于基础题.
7．不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】求得时的取值范围，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】
由于是的对称轴，所以当时，.所以，解得.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，属于基础题.
8．己知双曲线的离心率，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据与的关系式，求得的取值范围，由此求得经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围
【详解】
由于所以，所以，所以，所以经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查双曲线离心率和渐近线斜率的关系，考查直线斜率与倾斜角的对应关系，属于基础题.
9．在直角坐标系xOy中，曲线（，且）过定点P，若角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过定点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求得点坐标，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】
曲线的定点，所以，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查对数函数过定点问题，考查三角函数的定义，考查正切的二倍角公式，属于基础题.
10．已知函数，且，则a的取值范为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先判断的奇偶性和单调性，由此化简不等式，求得的取值范围.
【详解】
由解得，而，所以为奇函数，且为增函数，所以由，得，则，解得.由于，即.所以.即的取值范围是.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.
11．为等腰直角三角形，，，CD为斜边AB上的高，D是垂足，P为线段CD的中点，则（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】D
【解析】利用向量减法运算化简，结合向量数量积运算求得的值.
【详解】
依题意，所以.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查向量的减法和数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
12．设函数，，给定下列命题
不等式的解集为；
函数在单调递增，在单调递减；
若时，总有恒成立，则；
若函数有两个极值点，则实数．
则正确的命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】明确函数的图象及性质，命题的正误易判.
【详解】
f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，
则，,
对于①即解得，故正确；
对于②，当x时在单调递增，故错误；
对于③可化为：
设，又
∴在上单调递减，
∴在上恒成立，
即，又在单调递增，在上单调递减，
，
∴故正确；
对于④若函数有两个极值点，则 1+lnx-2ax有两个零点，
即1+lnx-2ax=0，2a=
又在单调递增，在上单调递减，
，时，即2a，a，故错误；
故选B
【点睛】
本题考查导数的运用：考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的零点的个数，注意运用转化思想、数形结合思想，属于中档题．
二、填空题
13．复数（i为虚数单位），则________．
【答案】
【解析】利用复数除法运算化简，再求得.
【详解】
依题意，所以.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.
14．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为________．
【答案】
【解析】利用题目所给弦长，求得的关系式，再利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
圆可化为，所以圆心为，半径为，由于直线与圆相交所得弦长为，则直线过圆心，即.
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查基本不等式求最值，属于基础题.
15．从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且.设抛物线的焦点为F，则的面积为______.
【答案】10
【解析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案.
【详解】
抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，
设
依题意可知抛物线准线，
.
，
的面积为：.
故答案为：10.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.
16．记函数在区间上的零点分别为，则 ________．
【答案】
【解析】画出在区间上的图象，根据两个图象交点的对称性，求得.
【详解】
令，得，画出在区间上的图象如下图所示.两个函数图象都关于直线对称，所以两个函数图象的六个交点，也关于直线对称，所以.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查函数零点问题，考查函数图像的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题
17．已知等差数列的公差d=2，且成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列，求数列的前n项和．
【答案】（I）；（2）
【解析】（I）根据等比中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得，进而求得的通项公式.
（II）利用分组求和法求得数列的前n项和.
【详解】
（I）由于成等比数列，所以，即，解得.所以.所以数列的通项公式为.
（II）由（I）得.所以
.
【点睛】
本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分组求和法，属于中档题.
18．如图，在多面体中，平面⊥平面，，，DEAC，AD=BD=1.
(Ⅰ)求AB的长；
(Ⅱ)已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】分析：(Ⅰ) 先由面面垂直的性质可得平面，平面，可得，再证明平面，于是得，由勾股定理可得结果；(Ⅱ)过作直线，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 记，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离，结合，可得点到平面的距离的最大值.
详解：(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD.
又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD，从而DE⊥BD.
注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE，于是，BD⊥AD.
而AD=BD=1，∴.
(Ⅱ)∵AD=BD，取AB的中点为O，∴DO⊥AB.
又∵平面ABD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC.
过O作直线OY∥AC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
记，则，，
，，，.
令平面BCD的一个法向量为.
由得.令，得.
又∵，∴点E到平面BCD的距离.
∵，∴当时，取得最大值，.
点睛：本题主要考查空间垂直关系，利用空间向量求点到面的距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意可得： ，则椭圆方程为．
(2)分类讨论：①当轴时，．
②当与轴不垂直时，设处直线的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得.
试题解析：
（1）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为．
（2）设，．
①当轴时，．
②当与轴不垂直时，设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得 ，
，
．
当且仅当，即时等号成立．
当时，，综上所述．
当时，取得最大值，面积也取得最大值．
.
20．小军的微信朋友圈参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别（说明：a~b表示大于等于a，小于等于b）
A（0~2000步）1人， B（2001-5000步）2人， C（5001~8000步）3人，
D（8001-10000步）6人， E（10001步及以上）8人
若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“健康型”否则被系统认定为“进步型”．
（I）访根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并根据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？
| 健康型 | 进步型 | 总计 |
男 |
|
| 20 |
女 |
|
| 20 |
总计 |
|
| 40 |
（Ⅱ）如果从小军的40位好友中该天走路步数超过10000的人中随机抽取3人，设抽到女性好友X人，求X的分布列和数学期望．
附：．
【答案】（I）列联表见解析，没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.
（Ⅱ）分布列见解析，数学期望为.
【解析】（I）根据题目所给数据填写好列联表，计算出的值，由此判断出没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.
（II）利用超几何分布分布列计算的公式，计算出的分布列，进而求得数学期望.
【详解】
（I）根据题目所给数据列联表如下图所示：
| 健康型 | 进步型 | 总计 |
男 | 20 | ||
女 | 20 | ||
总计 | 22 | 18 | 40 |
所以，所以没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.
（II）女性好友超过步的有人，男性好友超过步的有人，共有人超过步，从中抽取人，其中女性好友的人数的可能取值为.且
，，.
所以分布列为
数学期望为.
【点睛】
本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列以及数学期望的计算，属于中档题.
21．已知函数，
（I）讨论在上的单调性；
（Ⅱ）若对任意的正整数n都有成立，求a的取值范围．
【答案】（I）当时，在上递减.当时，在上递减，在上递增.当时，在上递增.（II）
【解析】（I）求得的导函数，对分成等四种情况，讨论的单调性.
（II）将不等式转化为，构造，利用的导函数，结合（I）的结论，求得的取值范围.
【详解】
（I）依题意（）
当时，，所以在上递减.
当时，令解得.
当时，，所以在上递减，在上递增.
当时，，在上递增.
当时，，所以在上递增.
综上所述，当时，在上递减.当时，在上递减，在上递增.当时，在上递增.
（II）不等式两边取以为底的对数，可转化为，令，故要对任意的正整数n都有成立，只需对任意，有..
由（I）知：
当时，在上递增，所以，符合题意.
当时，在上递减，，不符合题意.
当时，在上递减，所以当时，，不符合题意.
当时，在上递减，，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解有关不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
22．
在直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.在以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线：.
（1）当，时，判断直线与曲线的位置关系；
（2）当时，若直线与曲线相交于，两点，设，且，求直线的倾斜角.
【答案】（1）直线与曲线相交.（2）或.
【解析】【详解】试题分析：
(1)圆心到直线的距离小于半径，则直线与曲线相交.
(2)写出直线参数方程的标准形式，与圆的方程联立，利用参数的几何意义整理可得直线的倾斜角或.
试题解析：
解：（1）由，得，又，，
得曲线的普通方程为，
所以曲线是以为圆心，2为半径的圆，
由直线的参数方程为（为参数），
得直线的直线坐标方程为.
由圆心到直线的距离，
故直线与曲线相交.
（2）直线为经过点倾斜角为的直线，
由代入，整理得，
，，
设，对应的参数分别为，则，，
所以异号.则，
所以，又，
所以直线的倾斜角或.
