2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（二） 数学（文）（解析版）

2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（二） 数学（文）（解析版）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,6,7}，C＝{3,4,5,6}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)

A．{2,3} B．{6}
C．{3} D．{3,6}
答案　B
解析　由题可知，A∩B∩C＝{3}，B∩C＝{3,6}，故阴影部分表示的集合是{6}．
2．若(－1＋2i)z＝－5i，则|z|的值为(　　)
A．3 B．5 C. D.
答案　D
解析　由(－1＋2i)z＝－5i，可得z＝＝＝＝－2＋i.所以|z|＝＝.
3．设a，b，c，d，x为实数，且b>a>0，c>d，下列不等式正确的是(　　)
A．d－aad D.≤
答案　D
解析　取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取b＝3，a＝2，x＝－1，则＝，＝2，此时2018？，否；
S＝0＋1＋3·sin＝0＋1－3，i＝5,5>2018？，否；
S＝0＋1－3＋5·sin＝0＋1－3＋5，i＝7,7>2018？，否；
…
S＝0＋1－3＋…＋2017·sin＝0＋1－3＋…＋2017，
i＝2019,2019>2018？，是．
输出S＝0＋1－3＋5－7…－2015＋2017
＝(0＋1)＋(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋(－2015＋2017)
＝1＋2＋2＋…＋2＝1＋504×2＝1009.
11．(2019·江西临川一中考前模拟)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a的值为(　　)
A．0 B．0或8 C．8 D．1
答案　C
解析　由题意，得y′＝1＋，当x＝1时，切线的斜率k＝2，切线方程为y＝2(x－1)＋1＝2x－1，因为它与抛物线相切，所以ax2＋(a＋2)x＋1＝2x－1有唯一解，即ax2＋ax＋2＝0有唯一解，故解得a＝8，故选C.
12．已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，满足f(x)＝则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝(　　)
A．log25 B．－log25
C．－2 D．0
答案　B
解析　由题意，得f(－1)＝f(2)＝f(5)＝…＝f(2＋672×3)＝f(2018)，f(0)＝f(3)＝f(6)＝…＝f(3＋672×3)＝f(2019)，f(1)＝f(4)＝f(7)＝…＝f(4＋672×3)＝f(2020)，又因为f(－1)＝－f(1)＝log25，f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝673×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2020)＝673×0＋f(1)＝－log25.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某学校男女比例为2∶3，从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为m的样本，若女生比男生多10人，则m＝________.
答案　50
解析　由题意，得－＝10，解得m＝50.
14．已知双曲线－x2＝1(m>0)的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为________．
答案　
解析　∵双曲线－x2＝1(m>0)的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点重合，
抛物线y＝x2的焦点坐标为(0,2)，
∴c＝2，∴1＋m＝4即m＝a2＝3，∴a＝，
∴e＝＝.
15．(2019·辽宁丹东质量测试二)长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，若在侧棱AA1上存在点E，使得∠C1EB＝90°，则侧棱AA1的长的最小值为________．
答案　2
解析　如图，设侧棱AA1的长为x，A1E＝t，则AE＝x－t，∵长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，∠C1EB＝90°，∴C1E2＋BE2＝BC，

∴2＋t2＋1＋(x－t)2＝1＋x2，整理，得t2－xt＋1＝0，
∵在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB＝90°，∴Δ＝(－x)2－4≥0，解得x≥2.
∴侧棱AA1的长的最小值为2.
16．(2019·揭阳模拟)在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝.若AB＝BD，则∠CAD＝________；若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．
答案　　
解析　设BD＝m，则AB＝m，BC＝2m，根据余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝m2，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD＝m2，∴AD＝DC＝AC＝m，即△ACD是正三角形，
∴∠CAD＝.记△ABC的三内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的三条边分别为a，b，c，则BD＝a，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，∴1＝c2＋2－ac，即4＝4c2＋a2－2ac，又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，∴4＝c2＋a2－ac，于是，4c2＋a2－2ac＝c2＋a2－ac，∴a＝c，代入c2＋a2－ac＝4可得c＝2，a＝2，
∴S△ABC＝acsin∠ABC＝.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(2019·天津部分区一模联考)(本小题满分12分)“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动”．他随机地选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：
步数
[0,5000]
[5001,8000]
[8001，＋∞)
人数
5
13
12
(1)若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；
(2)已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，将这30人按照“积极型”“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为Ai(i＝1,2,3，…)，属于“懈怠型”的人依次记为Bi(i＝1,2，3，…)，现在从这5人中随机抽取2人接受问卷调查．设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M发生的概率．
解　(1)由题意，知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为，
∴估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为. 4分
(2)5人中“积极型”有5×＝2人，这两人分别记为A1，A2,5人中“懈怠型”有5×＝3人，这三人分别记为B1，B2，B3. 6分
在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}. 9分
事件M“抽取的2人来自不同的类型”有以下6种不同的等可能结果：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}．其概率为＝.
∴事件M发生的概率为. 12分
18．(本小题满分12分)已知等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a4＝16.
(1)设bn＝2an，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求{an＋bn}的前n项和．
解　(1)证明：设{an}的公差为d，
由a2＋a4＝16，可得(a1＋d)＋(a1＋3d)＝16，
即2a1＋4d＝16. 2分
又a1＝2，可得d＝3.
故an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1. 3分
依题意，bn＝23n－1，因为＝＝23(常数)，
故数列{bn}是首项为4，公比q＝8的等比数列. 6分
(2){an}的前n项和为＝. 8分
{bn}的前n项和为
＝＝·23n＋2－. 10分
故{an＋bn}的前n项和为
＋·23n＋2－. 12分
19．(2019·辽宁丹东质量测试)(本小题满分12分)如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD＝2，CD＝2AD，M是BC的中点，N是SA的中点．

(1)求证：MN∥平面SDC；
(2)求点A到平面MDN的距离．
解　(1)证明：取AD的中点E，连接ME，NE，则ME∥DC，

因为ME⊄平面SDC，
所以ME∥平面SDC， 2分
同理NE∥平面SDC.
所以平面MNE∥平面SDC，
所以MN∥平面SDC. 4分
(2)因为CD⊥AD，所以ME⊥AD.
因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD，ME⊥SD.
又因为AD∩SD＝D，
所以ME⊥平面SAD. 6分
因为DA＝2，则ME＝3，NE＝2，MN＝＝，MD＝，ND＝.
在△MDN中，由余弦定理，得cos∠MDN＝，
从而sin∠MDN＝，所以△MDN的面积为， 9分
连接AM，则△ADM的面积为×2×3＝3.
设点A到平面MDN的距离为d，
由VA－MDN＝VN－AMD，得d＝3NE，
因为NE＝2，所以点A到平面MDN的距离d＝. 12分
20．(2019·河南九师联盟1月质量检测)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(1－a2)x＋＋2aln x(a＞0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明：对任意x∈[1，＋∞)，有f(x)≤2x－a2.
解　(1)f′(x)＝1－a2－＋＝[(1－a2)x2＋2ax－1]＝[(1＋a)x－1][(1－a)x＋1]. 2分
①当0＜a≤1时，由f′(x)＜0，得[(1＋a)x－1][(1－a)x＋1]＜0，解得0＜x＜；
由f′(x)＞0，得[(1＋a)x－1][(1－a)x＋1]＞0，解得x＞.
故函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分
②当a＞1时，由f′(x)＜0，得0＜x＜或x＞；
由f′(x)＞0，得＜x＜.
故函数f(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为. 6分
(2)证明：构造函数g(x)＝f(x)－2x＋a2＝－(1＋a2)x＋＋2aln x＋a2，
则g′(x)＝－(1＋a2)－＋＝－. 8分
因为Δ＝(2a)2－4(1＋a2)＜0,1＋a2>0，
所以(1＋a2)x2－2ax＋1＞0，即g′(x)＜0.
故g(x)在区间[1，＋∞)上是减函数．
又因为x≥1，所以g(x)≤g(1)＝－(1＋a2)＋1＋a2＝0.
故对任意x∈[1，＋∞)，有f(x)≤2x－a2. 12分
21．(2019·广东湛江测试二)(本小题满分12分)已知定点F(1,0)，横坐标不小于0的动点T在y轴上的射影为H，若|TF|＝|TH|＋1.
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)若点P(4,4)不在直线l：y＝kx＋m上，并且直线l与曲线C相交于A，B两个不同点．问是否存在常数k使得当m的值变化时，直线PA，PB的斜率之和是一个定值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)设点T在直线x＝－1上的射影是R，则由于T的横坐标不小于0，所以|TR|＝|TH|＋1，又|TF|＝|TH|＋1，所以|TF|＝|TR|，即点T到点F(1,0)的距离与点T到直线x＝－1的距离相等，所以T的轨迹是以F(1,0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线．即动点T的轨迹C的方程是y2＝4x. 4分
(2)由于A，B两点在曲线C：y2＝4x上，所以可设A，B，则
PA的斜率k1＝＝，PB的斜率k2＝＝，
所以k1＋k2＝＋＝. 8分
又曲线C与直线l相交于A，B两点，所以k≠0，联立整理，得ky2－4y＋4m＝0，所以a＋b＝，ab＝.
则k1＋k2＝＝＝＝1＋， 11分
此式随着m的变化，值也在变化，所以不存在k值满足题意. 12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，已知点P(1，－2)，直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，直线l和曲线C的两交点为A，B.
(1)求直线l和曲线C的普通方程；
(2)求|PA|＋|PB|.
解　(1)直线l：(t为参数)，消去t，可得直线l的普通方程为x－y－3＝0. 2分
曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，即为ρ2sin2θ＝2ρcosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得曲线C的普通方程为y2＝2x. 5分
(2)直线l的标准参数方程为(t′为参数)，
代入曲线C：y2＝2x，
可得t′2－6t′＋4＝0，
有t′1＋t′2＝6，t′1t′2＝4，
则|PA|＋|PB|＝|t′1|＋|t′2|＝t′1＋t′2＝6. 10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知a>0，b>0，a2＋b2＝a＋b.证明：
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2)；
(2)(a＋1)(b＋1)≤4.
证明　(1)因为(a＋b)2－2(a2＋b2)＝2ab－a2－b2＝－(a－b)2≤0.
所以(a＋b)2≤2(a2＋b2). 4分
(2)证法一：由(1)及a2＋b2＝a＋b得a＋b≤2.
因为(a＋1)(b＋1)≤2＝2≤4.
于是(a＋1)(b＋1)≤4. 10分
证法二：由(1)及a2＋b2＝a＋b得a＋b≤2.
因为ab≤2，所以ab≤1.
故(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1≤4. 10分