2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（七） 数学（文）（解析版）

2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（七） 数学（文）（解析版）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{－1,2,3}，B＝{0,1,2,3,4}，则∁B(A∩B)＝(　　)
A．{0,4} B．{0,1,4} C．{1,4} D．{0,1}
答案　B
解析　由题意得A∩B＝{2,3}，所以∁B(A∩B)＝{0,1,4}．
2．已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则＝(　　)
A．8－6i B．8＋6i C．－8＋6i D．－8－6i
答案　B
解析　＝＝(6－8i)i＝8＋6i.
3．已知p：∀x∈R，x2＋2x＋a>0；q：2a0)，
解得k＝.
12．已知函数f(x)＝－8cosπ，则函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和为(　　)
A．6 B．7 C．9 D．12
答案　A
解析　设函数h(x)＝，则h(x)＝＝的图象关于x＝对称，

设函数g(x)＝8cosπ，由π＝kπ，
k∈Z，可得x＝－k，k∈Z，令k＝－1可得x＝，所以函数g(x)＝8cosπ，也关于x＝对称，由图可知函数h(x)＝＝的图象与函数g(x)＝8cosπ的图象有4个交点，所以函数f(x)＝－8cosπ在x∈(0，＋∞)上的所有零点个数为4，所以函数f(x)＝－8cosπ在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和为4×＝6.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
答案　
解析　设等比数列的公比为q，又a1＝1，则an＝a1qn－1＝qn－1.
∵S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，
即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，
∴S4＝＝.
14．在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝kx＋与圆x2＋y2＝1相交的概率为________．
答案　
解析　由圆心到直线的距离d＝或k0，b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF＝16，则双曲线C的离心率为________．
答案　
解析　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为16，所以2a＝16，a＝8，
设F(－c,0)，双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，
可得|MF|＝＝b，即有|OM|＝＝a，
由S△OMF＝16，可得ab＝16，
所以b＝4.
又c＝＝＝4，
所以a＝8，b＝4，c＝4，
所以双曲线C的离心率为＝.
16．△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b＝sin，a＝1，D是以BC为直径的圆上一点，则|AD|的最大值为________．
答案　＋1
解析　由b＝sin，a＝1，
得b＝asin，由正弦定理，
得sinB＝sinAsin.
∴sin(A＋C)＝sinAsin，
∴sinAcosC＋cosAsinC
＝sinA，
∴sinAcosC＋cosAsinC＝sinAsinC＋sinAcosC，
∴cosAsinC＝sinAsinC，
∵sinC≠0，∴sinA＝cosA，∴tanA＝1，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
如图，作出△ABC的外接圆，当直线AD经过△ABC外接圆的圆心且垂直于BC时，|AD|最大．

设BC的中点为O，此时，|OA|＝＝＝＝，
∴|AD|＝|OA|＋|OD|＝＋＝＋1.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n＋2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)Sn＝n2＋n＋2，①
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＋2；②
①－②得an＝2n，当n＝1时，a1＝4，
an＝(n∈N*).5分
(2)由题意，bn＝7分
当n＝1时，T1＝；8分
当n≥2时，
Tn＝＋×＝＋×＝，易知T1＝符合此式.11分
故Tn＝.12分
18．(2019·四川百校冲刺模拟)(本小题满分12分)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是棱AB的中点．

(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)若E是棱BB1的中点，求三棱锥C－AA1E的体积与三棱柱A1B1C1－ABC的体积之比．
解　(1)证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，
∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，
∴四边形AA1C1C是平行四边形，2分
∴O是AC1的中点，又D是棱AB的中点，
∴OD∥BC1，又OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD.4分

(2)设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，则三棱柱A1B1C1－ABC的体积V＝S△ABC·h，
又V＝VC1－ABB1A1＋VC－ABC1，VC－ABC1＝VC1－ABC＝S△ABC·h＝，∴VC1－ABB1A1＝，7分
∵CC1∥BB1，CC1⊄平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，
∴CC1∥平面ABB1A1，
∴VC－ABB1A1＝VC1－ABB1A1＝， 9分
∵S△A1AE＝S平行四边形AA1B1B，
∴VC－AA1E＝VC－ABB1A1＝×＝，
∴三棱锥C－AA1E的体积与三棱柱A1B1C1－ABC的体积之比为.12分
19．(2019·辽宁葫芦岛二模)(本小题满分12分)伴随着科技的迅速发展，国民对“5G”一词越来越熟悉，“5G”全称是第五代移动电话行动通信标准，也称第五代移动通信技术，2017年12月10日，工信部正式对外公布，已向中国电信、中国移动、中国联通发放了5G系统中低频率使用许可.2019年2月18日上海虹桥火车站正式启动5G网络建设．为了了解某市市民对“5G”的关注情况，通过问卷调查等方式对该市300万人口进行统计分析，数据分析结果显示：约60%的市民“掌握一定5G知识(即问卷调查分数在80分以上)”将这部分市民称为“5G爱好者”．某机构在“5G爱好者”中随机抽取了年龄在15～45岁之间的100人按照年龄绘制成以下频率分布直方图(如图所示)，其分组区间为(15,20]，(20,25]，(25,30]，(30,35]，(35,40]，(40,45]．

(1)求频率分布直方图中的a的值；
(2)估计全市居民中35岁以上的“5G爱好者”的人数；
(3)若该市政府制定政策：按照年龄从小到大，选拔45%的“5G爱好者”进行5G的专业知识深度培养，将当选者称为“5G达人”，按照上述政策及频率分布直方图，估计该市“5G达人”的年龄上限．
解　(1)依题意，得(0.014＋0.04＋0.06＋a＋0.02＋0.016)×5＝1，所以a＝0.05.3分
(2)根据题意，全市“5G爱好者”有300×60%＝180(万人)，4分
由样本频率分布直方图可知，35岁以上“5G爱好者”的频率为(0.02＋0.016)×5＝0.18，5分
据此可估计全市35岁以上“5G爱好者”的人数为180×0.18＝32.4(万人).6分
(3)样本频率分布直方图中前两组的频率之和为(0.014＋0.04)×5＝0.27＜45%，8分
前3组频率之和为(0.014＋0.04＋0.06)×5＝0.57＞45%，10分
所以年龄上限在25～30之间，不妨设年龄上限为m，由0.27＋(m－25)×0.06＝0.45，得m＝28.
所以估计该市“5G达人”的年龄上限为28岁.12分
20．(2019·湖南长郡中学一模)(本小题满分12分)已知动点G(x，y)满足 ＋ ＝4.
(1)求动点G的轨迹C的方程；
(2)若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，|AB|＝1，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN(O为坐标原点)为平行四边形．若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
解　(1)由已知，得动点G到点P(－，0)，E(，0)的距离之和为4，且|PE|＝2＜4，2分
∴动点G的轨迹为椭圆，且a＝2，c＝，∴b＝1，
∴动点G的轨迹C的方程为＋y2＝1.4分
(2)由题意，知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为y＝kx＋t，
∵|AB|＝1，∴2＋t2＝1，即＋t2＝1，　① 6分
联立得(4k2＋1)x2＋8ktx＋4(t2－1)＝0,
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，
∵四边形OMQN为平行四边形，
∴Q，8分
∴2＋2＝1，
整理，得4t2＝4k2＋1，　②10分
将①代入②可得4k4＋k2＋1＝0，该方程无解，故这样的直线不存在. 12分
21．(2019·河北五个一名校联盟第一次诊断)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)令g(a)＝，若对任意的x＞0，a＞0，恒有f(x)≥g(a)成立，求实数k的最大整数．
解　(1)此函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；2分
当a＞0，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞0，x∈(0，a)时，f(x)单调递减，x∈(a，＋∞)时，f(x)单调递增.4分
(2)由(1)，知f(x)min＝f(a)＝ln a＋1，∴f(x)≥g(a)恒成立，则只需ln a＋1≥g(a)恒成立，
则ln a＋1≥＝k－5－，
即ln a＋≥k－6, 6分
令h(a)＝ln a＋，则只需h(a)min≥k－6，
∵h′(a)＝－＝，
∴a∈(0,2)时，h′(a)＜0，h(a)单调递减，
a∈(2，＋∞)时，h′(a)＞0，h(a)单调递增，∴h(a)min＝h(2)＝ln 2＋1，10分
即ln 2＋1≥k－6，∴k≤ln 2＋7，∴k的最大整数为7.12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
(2)若直线l经过点M(1,0)且与曲线C交于A，B两点，求|AB|.
解　(1)对于曲线C：ρ＝，可化为ρsinθ＝.
把互化公式代入，得y＝，即y2＝4x，为抛物线．(可验证原点也在曲线上)5分
(2)根据已知条件可知直线l经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为x＋y＝1.
由消去x并整理得y2＋4y－4＝0，7分
令A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4.
所以|AB|＝·
＝×＝8.10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；
(2)若关于x的不等式f(x)