2020届全国高考提分教程检测仿真模拟卷四 理科数学（解析版）

仿真模拟卷四
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|2x－3>0}，则A∪B＝(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C. D.
答案　B
解析　因为B＝{x|2x－3>0}＝，A＝{x|x≥1}，所以A∪B＝[1，＋∞)．
2．已知复数z满足(1－i)z＝2i(i为虚数单位)，则＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i D．1－i
答案　A
解析　由(1－i)z＝2i，得z＝＝＝－1＋i，∴＝－1－i.
3．设a，b是空间两条直线，则“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a，b是异面直线⇒a，b不平行．反之，若直线a，b不平行，也可能相交，不一定是异面直线．
所以“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的必要不充分条件．
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
答案　A
解析　两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，令m2＝－1.45，m1＝－26.7，则lg ＝(m2－m1)＝×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而＝1010.1.
5．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x的值的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　根据题意，该框图的含义是：
当x≤2时，得到函数y＝x2－1；当x>2时，得到函数y＝log2x，
因此，若输出的结果为1时，
若x≤2，得到x2－1＝1，解得x＝±，
若x>2，得到log2x＝1，无解，
因此，可输入的实数x的值可能为－，，共有2个．
6．安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有(　　)
A．30种 B．40种 C．42种 D．48种
答案　C
解析　6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有CC＝90种安排方法，其中A照顾老人甲的情况有CC＝30种，B照顾老人乙的情况有CC＝30种，A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有CC＝12种，所以符合题意的安排方法有90－30－30＋12＝42种．
7．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则·＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，由AB＝3，AD＝4，得

BD＝＝5，
AE＝＝.
又·＝·(＋)
＝·＋·＝·＋·，
∵AE⊥BD，∴·＝0，
又·＝||||·cos∠EAO＝||||·＝||2＝，∴·＝.
8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为(　　)

A．8＋＋ B．8＋＋
C．6＋＋ D．6＋＋
答案　B
解析　由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，如图所示，

其中圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，取BC的中点N，连接MN，PN，则该几何体的表面积为S＝π×1×2＋×π×12＋2×2＋2×＋×2×＝＋8＋.
9．若函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案　C
解析　当x→0时，f(x)→±∞，而A中的f(x)→0，排除A；当x＜0时，f(x)＜0，而B中x＜0时，f(x)＝>0，D中，f(x)＝>0，排除B，D.
10．已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[－1,4)
C．[－1，＋∞) D．[－1,6]
答案　C
解析　不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价于a≥－22对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，令t＝，则1≤t≤3，∴a≥t－2t2在[1,3]上恒成立，∵y＝－2t2＋t＝－22＋，∴t＝1时，ymax＝－1，
∴a≥－1，故a的取值范围是[－1，＋∞)．
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则|OB|等于(　　)
A．a B．b C．ea D．eb
答案　A
解析　如图，延长F2B交PF1于点C，在△PCF2中，由题意，得它是一个等腰三角形，|PC|＝|PF2|，B为CF2的中点，

∴在△F1CF2中，有|OB|＝|CF1|＝(|PF1|－|PC|)＝(|PF1|－|PF2|)＝×2a＝a.
12．设min{m，n}表示m，n二者中较小的一个，已知函数f(x)＝x2＋8x＋14，g(x)＝min(x>0)．若∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的最大值为(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．0
答案　C
解析　由题意得g(x)＝
则g(x)max＝g(1)＝2.在同一坐标系作出函数f(x)(－5≤x≤a)和g(x)(x>0)的图象，如图所示．

由f(x)＝2，得x＝－6或－2，∵∀x1∈[－5，a]，
∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，
∴－4≤a≤－2，∴a的最大值为－2.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知点P(x，y)满足条件则点P到原点O的最大距离为________．
答案　
解析　画出表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，

由得
由图得，当点P的坐标为(－5,3)时，点P到原点的距离最大，且最大值为＝.
14．函数f(x)＝·的最小正周期为________，最大值为________．
答案　π　
解析　f(x)＝·＝＝cos，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为.
15．从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
答案　168
解析　第一类，先选1女3男，有CC＝8(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有A＝12(种)，故有8×12＝96(种)；第二类，先选2女2男，有CC＝6(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有A＝12(种)，故有6×12＝72(种)，根据分类加法计数原理共有96＋72＝168(种)．
16．如图，在△ABC中，sin＝，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则△ABC的面积的最大值为________．

答案　3
解析　由sin＝，可得cos＝，
则sin∠ABC＝2sincos＝.
由sin＝0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，|AF|＝2|PF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆C上存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)，求直线AP与OQ的斜率之积；
(3)记圆O：x2＋y2＝为椭圆C的“关联圆”．若b＝，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证：＋为定值．
解　(1)由PF⊥x轴，知xP＝c，代入椭圆C的方程，
得＋＝1，解得yP＝±.
又|AF|＝2|PF|，所以a＋c＝，所以a2＋ac＝2b2，
即a2－2c2－ac＝0，所以2e2＋e－1＝0，
由00时，令f′(x)＝－a>0得00时，a≥－x恒成立，
令h(x)＝－x(x>0)，则h′(x)＝，
令k(x)＝1－x2－ln x(x>0)，
则当x>0时，k′(x)＝－2x－0；在(1，＋∞)上，h′(x)