2020届江苏省南京市高淳区湖滨高中高三下学期3月网上模拟考试数学试题（解析版）
展开2020届江苏省南京市高淳区湖滨高中高三下学期3月网上模拟考试数学试题
一、填空题
1．已知，，则________.
【答案】
【解析】由平方关系以及商数关系得出，即可得出.
【详解】
由以及
得出
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了平方关系以及商数关系，属于基础题.
2．已知为锐角，，则的值为__________.
【答案】
【解析】先利用平方关系求得，转化条件，再利用和角公式即可得解.
【详解】
，，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了同角三角函数平方关系与两角和的正弦公式的应用，属于基础题.
3．已知函数的部分图象如图所示，则的值为__________.
【答案】
【解析】由图象可得，进而可得，再利用图象一个最高点的纵坐标为，即可得解.
【详解】
由图象可得即，
，
又图中的最高点的横坐标为，
，
又 ，
，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了根据三角函数的图象求参数的值，属于基础题.
4．在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，则=__________.
【答案】
【解析】根据正弦定理结合题意得，由两角和正弦公式可得，再利用正弦定理即可得解.
【详解】
由正弦定理得，
即，
即，
.
【点睛】
本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式的应用，属于基础题.
5．若直线与圆相交于，两点.若为直角三角形，则__________.
【答案】1或9
【解析】由题意得圆的圆心为点，半径，再转化条件得圆心到直线的距离，由此列出方程即可得解.
【详解】
由题意圆，圆心为点，半径，
为直角三角形，圆心到直线的距离为，
，解得或9.
故答案为：1或9.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系的应用，考查了方程思想，属于基础题.
6．将函数的图象向左平移个单位，若所得的图象关于直线对称，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由题意得，再根据函数的对称轴可得，即可得解.
【详解】
由函数的平移规律得即，
函数的图象关于对称，
，
，.
，，
又 ，
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角函数的性质和图象变化，属于基础题.
7．如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是__________.
【答案】18
【解析】由图形得，，则可转化条件得，再根据即可得解.
【详解】
，，
，
.
故答案为：18.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算和数量积的应用，属于基础题.
8．如图所示，已知长方体的体积为，为线段上的一点，棱锥的体积为，则的值为__________.
【答案】6
【解析】设，，，易得，再由长方体的性质可得，即可得解.
【详解】
设，，，
则，
又 平面平面，
又 ，
.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了立体图形的体积计算，属于基础题.
9．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其底面半径应为__________.
【答案】
【解析】由题意得，，令，，求导得到最大值后即可得解.
【详解】
设圆锥的高为，底面半径为，
由题意得，，，
，，
令，，
则，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
当时，最大即最大，此时.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了函数思想，属于中档题.
10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是__________.
【答案】10
【解析】由题意、，与垂直，利用基本不等式即可得解.
【详解】
过定点，过定点，且与垂直.
，
，当且仅当时，等号成立.
的最大值为10.
故答案为：10.
【点睛】
本题考查了直线方程的应用和基本不等式的应用，属于中档题.
11．已知是双曲线的右焦点，是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意得，，转化条件得，再通过即可得到，即可得解.
【详解】
经过点且与轴垂直，
，，
为锐角，.
，
即，即，
，解得.
又 ，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率取值范围的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.
12．在中，，，，是的外心，若，则的值为__________.
【答案】
【解析】转化条件得，建立直角坐标系，求出出、、三点的坐标后，再求出O点坐标，列方程组即可得解.
【详解】
，.
如图建系，则，，.
的中垂线为，设圆心，
则，
解得，点.
由，得，
，解得，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用和平面向量线性运算的坐标表示，属于中档题.
13．已知，是圆上的动点，﹐是圆上的动点，那么的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由题意得在圆上，则，数形结合即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】
由题意可得是圆心为半径为2的圆，是圆心为半径为1的圆，
设中点为，，
由垂径定理得，
在圆上，
又 ，
由图可知，
，
的范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了与圆有关的范围问题，考查了转化化归思想，属于中档题.
14．在中，已知则最大值为__________.
【答案】
【解析】转化条件得，则，利用基本不等式即可求得的最小值，求出此时的即可得解.
【详解】
，
，
即，
即.
，当且仅当时取“=”.
此时，为锐角，且最大.
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的概念、余弦定理的应用、基本不等式的应用以及三角函数的以值求值，属于中档题.
二、解答题
15．已知且，.
（1）求的值;
（2）求的值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）利用同角三角函数的平方关系可得，进而可得，再利用即可得解；
（2）由可得，根据、的取值可确定、的取值范围，进而可确定的取值范围，即可得解.
【详解】
（1），，
，
，又，
.
（2）由，
，，，
，，，
，，，.
【点睛】
本题考查了三角函数的以值求值、以值求角，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题.
16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，为的中点，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）连接AC，交BD于O，连接MO，由中位线的概念可得，即可得证；
（2）由余弦定理证明，由面面垂直的性质可得平面，即可得，即可得证.
【详解】
证明：（1）如图，连接AC，交BD于O，连接MO，
底面为菱形，O为AC中点，
又 为的中点，，
又 平面，平面，
平面.
（2）为的中点，，设，
在中， ，
,
又 平面平面且平面平面，
平面，由平面可得，
又 ，.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定、线面垂直和面面垂直的性质，属于中档题.
17．在中，设角，，的对边分别为，，.已知
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）转化条件得，再利用余弦定理即可得，即可得解；
（2）由正弦定理得，由三角形内角和得，化简即可得，利用三角函数的性质即可得解.
【详解】
（1），
即，
，
又，.
（2）由正弦定理，得，
，，
又，
，
，，，
.
即的取值范围为.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题.
18．已知圆过原点，圆心在射线，且与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点.若求直线的方程.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设圆心，，由圆过原点且与直线相切可得方程，解方程即可得解；
（2）当直线斜率不存在时，易得不合题意；若直线斜率存在，设，联立两直线方程得，转化条件得，即可得方程，解方程即可得解.
【详解】
（1）圆心在射线上，
设，，
又圆过原点，且与相切，
，即
即，.
，，
，半径，
圆的方程为.
（2）①若的斜率不存在，则，
代入，得，即.
代入，得，.
即，，.
，，，
，不合题意.
②若的斜率存在，设，
由，得，即，
是的中点，，即.
.
又，，
，
解得.
的方程为.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程的求解和直线与圆的交点问题，考查了平面向量数量积的应用，属于中档题.
19．已知椭圆过，两点，其中为椭圆的离心率.过点作两条直线，，与椭圆的另一个交点分别为，，且与的斜率之积为-2.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线恒过一个定点.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）由题意得，再结合椭圆的性质即可得解；
（2）设的斜率为，则的斜率为，联立方程组可得、，表示出后即可表示直线的方程，化简即可得证.
【详解】
（1）椭圆过，，
，
，解得，
椭圆的方程为.
（2）证明：设的斜率为，则的斜率为，
，，
由，得，
，又，，
，即，
同理，，
.
即，
即，
直线恒过定点.
【点睛】
本题考查了椭圆标准方程的确定和直线与椭圆交点的问题，考查了计算能力，属于中档题.
20．设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若的面积为，求椭圆的方程.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得，设，，联立得，，再由可得，化简即可得解；
（2）由弦长公式表示出，根据点到直线的距离表示出高，再由面积化简即可得解.
【详解】
（1）设，的倾斜角为，，.
设，，
则，.
由，得.
由，得，
又，，
，，
又，，
，
即，即
，，.
（2）由（1）知.
又到的距离，
.
，，.
椭圆的方程为.
【点睛】
本题考查了椭圆离心率和标准方程的确定，考查了直线与椭圆交点问题，考查了计算能力和方程思想，属于中档题.
