2020届江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

2020届江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学高三上学期10月月考数学试题

一、填空题

1．已知集合，，若，则的取值范围为：_______.

【答案】

【解析】根据,列式解得.

【详解】

因为，，且,

所以.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了子集关系,属于基础题.

2．若幂函数的图像过点，则____.

【答案】3

【解析】根据解得,由此可得,然后可得.

【详解】

因为幂函数的图像过点,

所以,即,

所以,所以,所以,

所以,

所以,

故答案为:3.

【点睛】

本题考查了求幂函数的解析式,属于基础题.

3．函数的最小正周期是_________.

【答案】

【解析】利用降幂公式化简再求最小正周期即可.

【详解】

,故最小正周期是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了降幂公式与三角函数最小正周期,属于基础题型.

4．已知角的顶点在原点，始边为轴非负半轴，则“的终边在第一象限”是“”的_________________条件.（从“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中选填）

【答案】充分不必要

【解析】根据第一象限角,轴非负半轴上的角以及第二象限的角的正弦值都大于零可得.

【详解】

由的终边在第一象限可以推出,

由,可以推出的终边在第一象限或者在轴非负半轴上或者在第二象限,

所以“的终边在第一象限”是“”的充分不必要条件.

故答案为: 充分不必要.

【点睛】

本题考查了充分必要条件,正弦函数的符号法则,属于中档题.

5．已知向量、的夹角为，，，则____.

【答案】

【解析】利用可得.

【详解】

因为,

所以.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了利用向量的数量积求向量的模,属于基础题.

6．已知为角的终边上的一点，且，则实数的值为____.

【答案】

【解析】由三角函数的定义，即可求解得值，得到答案.

【详解】

由三角函数的定义可知，解得，

又由，所以.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.

7．曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【答案】

【解析】求导，利用导数的几何意义计算即可．

【详解】

解：

则

所以

故答案为-3.

【点睛】

本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．

8．已知函数，若，则的值是_____.

【答案】

【解析】当时，，求出；当时，无解.从而，由此能求出结果.

【详解】

解：由时，是减函数可知，

当，则，

所以，由得

，解得，

则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数值的求法，属于基础题.

9．平行四边形中，已知，，则________.

【答案】6

【解析】以为基底表示，代入，即求.

【详解】

平行四边形中，，

，

.

，

.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理和数量积的运算，属于基础题.

10．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为_________.

【答案】-1

【解析】先根据推出周期为4,再根据奇函数推出时的表达式,再根据周期性推出时的表达式,再用二次函数求最小值,

【详解】

因为,

所以,

所以,即,

所以函数是以4为周期的周期函数,

设,则,

所以,

因为函数是定义在上的奇函数,

所以,

所以当时,,

所以,

所以当时,函数取得最小值.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了函数的周期性,奇偶性,二次函数求最小值,属于中档题.

11．如图，在四边形中，，，，，是的角平分线，则_____．

【答案】

【解析】设出，根据，利用余弦定理建立等式解出，再求出的值，在中利用余弦定理，解出的值．

【详解】

设，则,,

又是的角平分线，即,

,

即，，，

故填

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．

12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，则不等式f(x)＞0的解集为________．

【答案】(－∞，－1)∪(0,1)

【解析】【详解】

因为′＝，而(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以′＜0，令g(x)＝，则函数g(x)在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g(－1)＝－g(1)＝0，作出函数g(x)的大致示意图，

由图可知g(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．

13．已知函数，若，且，则的最小值是_____.

【答案】

【解析】根据分段函数在两段上都单调,可得,且,所以,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.

【详解】

因为函数在上递增,在上也递增,且时,,

所以,所以,,

所以,即,

所以,,

令,

则,

当时,,当时,,

所以在上递减,在上递增,

所以时,取得最小值.

即的最小值是:.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题.

14．在中，的最大值为：____________.

【答案】2

【解析】根据积化和差公式得,再化成辅助角的形式可解得最大值.

【详解】

由积化和差公式可得,

,当且仅当时,等号成立,

所以

,

令,,则,取,

所以 ,

当,时,等号成立.

故答案为:2

【点睛】

本题考查了积化和差公式,两角和的正弦的逆用公式,属于难题.

二、解答题

15．已知函数.

(1)求函数的最小正周期;

(2)求函数在区间上的取值范围.

【答案】(1) T＝＝;(2) 取值范围为.

【解析】试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期,

(2)根据的范围,求出4＋的范围,然后结合三角函数的图象解答.

试题解析：

(1)由题意知,＝cos 4-cos＝cos 4＋sin 4＝2sin,

∴函数的最小正周期T＝＝

(2)∵-≤≤,

∴-≤4＋≤,

∴≤sin≤1,

≤2sin≤2,

∴函数的取值范围为.

点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.

16．在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，且的面积为.

（1）求的值；

（2）求的周长.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由 和可得sinA和cosA，再由二倍角公式即得cos2A；（2）由面积公式，可得的值，再由和正弦定理可知b和c的值，用余弦定理可计算出a，即得的周长．

【详解】

解：（1）因为，所以，.

因为，所以，，

则.

（2）由题意可得，的面积为，即.

因为，所以，所以，.

由余弦定理可得.

故的周长为.

【点睛】

本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，以及二倍角公式，属于常考题型．

17．已知函数是定义在上的奇函数.

（1）求实数的值及函数的值域；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）由于函数是定义在上的奇函数，故可根据求得的值.再利用指数函数的值域，来求得的值域.（2）将原不等式分离常数，转化为，然后通过换元法求得右边函数的最大值，由此求得的取值范围.

【详解】

（1）由解得，反之时，

，符合题意，故

据此，，即值域为

⑵在显然是单调增函数，为正数，

所以，故，

令，则 随的增大而增大，

最大值为，所求范围是

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的值域求法，考查不等式恒成立问题的解决策略.属于难题.如果一个奇函数在处有定义，则必有，偶函数没有这个性质.对于含有参数的不等式恒成立问题，往往通过分离常数法来解决.在分离常数的过程中要注意不等号的变化.

18．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？

（取）.

【答案】（1）  （2）当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元

【解析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分和两种情况，得到与x的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.

【详解】

（1）产品售价为元，则万件产品销售收入为万元.

依题意得，当时，，

当时，，

；

（2）当时，，

当时，的最大值为（万元），

当时，，

当时，单调递增，当单调递减，

当时，取最大值（万元），

当时，取得最大值万元，

即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元.

【点睛】

本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.

19．设二次函数，集合．

（1）若，，且方程的两根都小于-1，求实数的取值范围；

（2）若，求函数在区间上的最大值（结果用表示）．

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)根据,可得,由二次函数的图象列式可解得;

(2)根据,可得,再讨论二次函数的图象开口方向和对称轴可解得.

【详解】

（1）因为，所以1和2是的两根，

所以由韦达定理得，解得，

因为，所以，即，

此时 ,

又因为方程的两根都小于-1，所以，

将代入得，所以 ,

解得；

（2）因为，所以有两个相等的两根2，

故，解得，

此时 ,

所以，对称轴为，

①当时，则，在上单调递增，所以；

②当时，则，；

③当时，则，，

综上：．

【点睛】

本题考查了二次方程实根的分布,解一元二次不等式,分类讨论思想,二次函数在指定区间上的最值,属于中档题.

20．已知函数，．

（1）求函数的极小值；

（2）设函数，讨论函数在上的零点的个数；

（3）若存在实数，使得对任意，不等式恒成立，求正整数的最大值．

【答案】（1）；（2）分类讨论，详见解析；（3）4.

【解析】(1)求导后,利用导数可求得极小值;

(2)转化为讨论在上的解的个数,再利用导数可解决;

(3) 转化为对任意的，不等式恒成立后,构造函数利用导数可解得,

【详解】

（1），.

则，

令，得；令，得或（或列表求）

∴函数在单调减，在单调增，在上单调减，

∴函数在处取得极小值；

（2），

∵，∴，

设，则，令，则.

∴在上单调减，在上单调增，且，，，.

∴当或时，有1解，

即在上的零点的个数为1个；

当时，有2解，即在上的零点的个数为2个；

当时，有0解，即在上的零点的个数为0个．

（3）∵，存在实数，使对任意的，不等式恒成立，∴存在实数，使对任意的，不等式恒成立.

∵，∴对任意的，不等式恒成立.

即对任意的，不等式恒成立．

设，，

∴，可求得在上单调增，在上单调减，在上单调增，

则在上单调减，在上单调增，

当时，在上递减,所以恒成立；

当时，在上递减,在上递增,所以，因为， ，而；所以在上不恒成立,

∴正整数的最大值为4．

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的极小值,利用导数讨论函数的零点的个数,利用导数处理不等式恒成立问题,本题属于难题.