2020届江西省南昌市高三第一次模拟测试试题 文数
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文 数
一、选择题
1.已知集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
若，则；若，则（舍去）；若，则，故.
2.在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
∵在复平面内，复数，∴.
将向量绕原点按逆时针方向旋转后点的坐标为，
∴对应复数为.
3.一个正三棱柱的正视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由题意可知，正三棱柱的底面边长为，高为，∴侧面积.
4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”，在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则，满足的关系式为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
当，时，满足；，时，满足；当，时，也满足.故选D
5.已知是等差数列，且，，则这个数列前项和等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
∵，，
∴，
∴由等差数列的性质可得，
∴.
6.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的的纵坐标，则是
的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：
A
解析：
设由抛物线定义可得，当时，，满足充分性，当时，解得或，不满足必要性，∴是充分不必要条件.
7.年至年我国二氧化硫的排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）
A.二氧化硫排放量逐年下降
B.年二氧化硫减排效果最为显著
C.年至年二氧化硫减排量比年至年二氧化硫减排量的总和大
D.年二氧化硫减排量比年二氧化硫减排量有所增加
答案：
D
解析：
年减排量为，减排量为，故选D.
8.已知双曲线的右焦点为，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
显然为等边三角形，设，，则，，
代入曲线方程可解得，，
∴，∴.
9.函数的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
当时，，此时令，，∴在上单调递增，故排除B，C，当时，，当时，
，∴在上单调递减，且，故排除D，综上所述，选A.
10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法），撞球（中国台湾地区的叫法），控制撞球点，球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点，处各放一个目标球，表演者先将母球放在点处，通过击打母球，使其依次撞击点，处的目标球，最后停在点处，若，，，，则该正方形的边长为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
∵，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，连接交于点，则为线段和的中点，在中，
，∴，，∴边长为
.
11.已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
∵，∴，∴，故选项B正确.
12.如图，点是正方体的棱的中点，点，分别在线段，（不包含端点）上运动，则（ ）
A.在点的运动过程中，存在
B.在点的运动过程中，不存在
C.四面体的体积为定值
D.四面体的体积不为定值
答案：
C
解答：
在长方体中，平面平面，又因为点在上运动，则不存在；当时，，其理由如下：设与相交于点，因为，所以，易证平面，所以，故平面，∴；因为平面，所以为定值；因为，所以点到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值.
二、填空题
13.已知向量，向量在方向上的投影为，则 .
答案：
解答：
∵，∴.
又向量在方向上的投影为，故，
故.
14.已知函数，则 .
答案：
解答：
由题意可知，，
故
.
15.已知，则 .
答案：
解答：
由题意可知
.
16.如图，一列圆逐个外切，且所有的圆均与直线相切，若，则 ； .
答案：
解答：
由已知，到直线的距离为，故，即.
，且到直线的距离为，
故，即，从而，
即是以为首项，为公比的等比数列，从而.
三、解答题
17.如图，是在边上的一点，与面积比为，
.
（1）若，求的值；
（2）若，，求边的长.
答案：
见解析.
解答：
（1），所以，
所以.
（2），
所以，
所以，，
所以，
所以边.
18.如图，三棱柱中， 是棱长为的正四面体.
（1）求证：：
（2）求三棱锥的体积.
答案：
（1）见解析；
（2）.
解答：
（1）如图，取的中点，连接交于点，则点为的重心，连接，设交于点，依题意点在底面的投影为的重心，即平面，所以，因为是正三角形，所以，则平面，则，所以.
（2）由是棱长为的正四面体，所以，所以，得，所以.
19.某市年至年新能源汽车（单位：百台）的数据如下表：
（1）求关于的线性回归方程，并预测该市年新能源汽车台数；
（2）该市某公司计划投资台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩，按要求，充电枪的总把数不少于该市年新能源汽车预测台数，若双同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为元，元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大利润..
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
答案：
见解析
解答：
（1）依题意知，
，，
，，
则关于的线性回归方程.
令得，
故预测年该市新能源汽车大约有台.
（2）设一拖四群充，双枪同充分别安装台，台，
每天的利润为元，则，即，
.
所以当时，取最大值.
故当双枪同充安装台，一拖四群充安装台时，
每天的利润最大，最大利润为元.
20.已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：函数有且只有一个零点.
答案：
见解析
解答：
（1）当时，，∴，则在递增，在递减，在递增，所以，.
（2）.
①当时，，只有一个零点，符合题意；
②当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，极小值，令，则单调递减，
有，即，则只有一个零点，符合题意；
③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，极大值，令，则单调递减，
有，则只有一个零点，符合题意.
综上所述，时，函数有且只有一个零点.
21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆，，它们的长短半轴长分别为，和，，若满足，，则称为的级相似椭圆.已知椭圆：，为的级相似椭圆，且焦点共轴，与的离心率之比为.
（1）求的方程；
（2）已知为上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为，，是否存在一定点到直线的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；不存在，说明理由.
答案：
见解析
解答：
（1）由题意知，，，则，，而，解得，，
故椭圆：，椭圆：.
（2）（解法一）设，，则过点和点的切线方程为，，设，则，即，两条切线都经过点，则满足方程组，那么点和点都在直线上，
则直线的方程为，即，假设存在一定点到直线的距离为定值，即距离为定值，则，，故存在一定点到直线的距离为定值.
（解法二）设，，
则过点和点的切线方程为，，设，则.两条切线都经过点，则满足方程组.那么点和点都在直线上，则直线的方程为.
设，，则直线的方程为.假设存在一定点到直线的距离为定值，即距离为定值，即，所以，故存在一定点到直线的距离为定值.
四、选做题（2选1）
22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线和的极坐标方程；
（2）设射线分别与曲线和相交于，两点，求的值.
答案：
见解析
解答：
（1）曲线的极坐标方程为，
的极坐标方程为.
（2）令，则，，
则，即，
所以，，故.
23.已知，，.
（1）求的最小值；
（2）证明.
答案：
见解析
解答：
（1），当且仅当，即，时，的最小值为.
（2）要证明，由，，也即证.
因为，当且仅当时取等号，所以，即.
