2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟数学（文）试题

一、新添加的题型

1．如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则⊿的边长是（　　）

（A）                      （B）

（C）                    （D）

【答案】选D．

【解析】过点Ｃ作的垂线，以、为轴、轴建立平面直角坐标系．设、、，由知，检验A：，无解；检验B：，无解；检验D：，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．

二、单选题

2．（2014•西藏一模）已知集合M={x|x2＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N=（  ）

A．∅    B．{x|x＞0}    C．{x|x＜1}    D．{x|0＜x＜1}

【答案】D

【解析】试题分析：根据一元二次不等式的解法，对集合M进行化简得M={x|﹣1＜x＜1}，利用数轴求出它们的交集即可．

解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，

N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，

故选D．

【考点】交集及其运算．

3．已知复数z满足，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先根据所给的等式表示出z，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，得到最简形式．

【详解】

解：

，

故选：D．

【点睛】

本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘法运算，合并同类项，得到结果．

4．命题“，”的否定是（  ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，

故命题的否定是“”.

本题选择C选项.

5．若，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．

【详解】

解： ，  ，

，

．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

6．若命题“”为假，且“”为假，则

A．或为假 B．真 C．假 D．不能判断的真假

【答案】B

【解析】试题分析：命题“”为假，说明与中至少有一个是假命题，“”为假说明为真命题，所以为假命题.

【考点】本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.

点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.

7．在等差数列中，已知则等于 （ ）

A．40 B．43 C．42 D．45

【答案】C

【解析】∵等差数列中，

∴公差．

∴＝＝42．

8．运行流程图，若输入，则输出的y值为（   ）

A．4 B．9 C．0 D．5

【答案】A

【解析】分析程序的功能是计算并输出分段函数y的值，代入对应是x的值求出y的值即可．

【详解】

解：分析程序的功能是计算并输出分段函数

；

输入时，计算 ；

所以输出 ．

故选：A．

【点睛】

本题考查了利用程序框图求分段函数值的应用问题，是基础题．

9．双曲线过点，则双曲线的焦点是（   ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】先将点的坐标代入双曲线方程求出a值，再利用双曲线的标准方程，就可求出双曲线中的a，b的值，根据双曲线中a，b，c的关系式即可求出半焦距c的值，判断焦点位置，就可得到焦点坐标．

【详解】

解： 双曲线 过点 ，

，

， ，  ，

又 双曲线焦点在x轴上，

焦点坐标为

故选：B．

【点睛】

本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，做题时注意判断焦点位置，属于基础题．

10．已知向量，，，则

A． B． C． D．24

【答案】C

【解析】根据 ，，对两边平方，进行数量积的运算即可求出  的值．

【详解】

解：，，

，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了向量数量积的运算，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．

11．若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由 在区间上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．

【详解】

解： 在区间 上单调递减，

在区间 上恒成立，

即 在区间 上恒成立，

，

．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题.

12．甲、乙、丙三名同学在军训的实弹中射击各射击10发子弹，三人的射击成绩如表．，，分别表示甲、乙、丙三名同学这次射击成绩的标准差，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出平均数，代入计算标准差即可，或者用观察法，判断估计离散情况．

【详解】

解：解法一： 设分别为甲，乙，丙射击成绩的平均数，

，

，，

同理可得， ，，，

或者观察法：乙的数据比较集中，方差最小，丙的数据比较离散，方差最大，

故选：A．

【点睛】

本题考查了求平均数与方差和标准差的问题，是基础题．

三、填空题

13．实数x，y满足，则的最小值等于______．

【答案】

【解析】画出不等式组表示的平面区域，由得直线 ，平移直线找出最优解，计算z的最小值．

【详解】

解：画出不等式组 表示的平面区域，如图阴影部分所示；

由 得 ，平移直线 ，

则由图象可知当直线 ，

经过点A时直线的截距最小，

此时z最小，

由 ，解得 ，

此时；

即的最小值为．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了简单的线性规划应用问题，根据z的几何意义，利用数形结合是解题的关键．

14．已知，则______．

【答案】

【解析】根据导数的运算法则先求出函数的导数的解析式，再把代入的解析式运算求得结果．

【详解】

∵函数，∴，

∴，故答案为.

【点睛】

本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，准确求出导函数是解题的关键，属于基础题．

15．已知某个几何体的三视图如上图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是             .

【答案】

【解析】略

16．对于，有如下命题：

若，则一定为等腰三角形．

若，则一定为等腰三角形．

若，则一定为钝角三角形．

若，则一定为锐角三角形．

则其中正确命题的序号是______ 把所有正确的命题序号都填上

【答案】，，

【解析】三角形中首先想到内角和为，每个内角都在内，然后根据每一个命题的条件进行判定

【详解】

或，为等腰或直角三角形

正确；

由可得

由正弦定理可得

再由余弦定理可得，为钝角，命题正确

全为锐角，命题正确

故其中正确命题的序号是，，

【点睛】

本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为，然后代入化简

四、解答题

17．设A，B，C是的内角，已知向量，向量，．

（1）求角B的大小；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用向量垂直的性质求出 ，由此能求出B．

（2）由 ，得 ，

，由此能求出的取值范围．

【详解】

解：（1）向量，向量 ， ，

，得 ，

又 ， ，

，

解得；

（2）由（1）知 ，

 ，

，

， ，

的取值范围是

【点睛】

本题考查角的大小和两角的正弦和的取值范围的求法，考查向量垂直的性质、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18．试比较下面概率的大小：

（1）如果以连续掷两次骰子依次得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，点P在直线的下面包括直线的概率；

（2）在正方形，，x，，随机地投掷点P，求点P落在正方形T内直线的下面包括直线的概率．

【答案】

【解析】（1）把一颗质地均匀的骰子连续掷两次，依次得到点数m、n，基本事件的总数为，将m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线下方包括直线的基本事件有10种，由此能示出点P在直线下方的概率；

（2）分别求出正方形的面积以及阴影部分的面积，根据几何概型的面积之比即可求解，

求出了，即可得解.

【详解】

解：（1）把一颗质地均匀的骰子连续掷两次，基本事件的总数为．

由m，2，3，4，5，满足的点有：

，，，，，，，，，共10种．

．

（2）正方形的面积．

直线与，围成的三角形面积

．

．

．

故．

【点睛】

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

19．一个多面体的三视图正视图、侧视图、俯视图如图所示，M，N分别是，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）若这个多面体的六个顶点A，B，C，，，都在同一个球面上，求这个球的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）根据三视图的性质，可得该几何体是直三棱柱，且，，连接，，矩形中对角线的中点N就是的中点．结合M是的中点证出，由线面平行的判定定理，证出平面．

（2）由平面，得到正方形中可得，结合线面垂直判定定理，证出平面，再由，可得平面；

（3）根据三棱柱是直三棱柱，在矩形中算出可得，从而得到，同理得，所以点N是多面体的外接球心，得到半径由球的体积公式，即可算出该外接球的体积．

【详解】

解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且，，

（1）连接，，由直三棱柱的性质，得平面，

，可得四边形为矩形．

由矩形的性质，得过的中点N．

在中，由中位线性质得，

又平面平面，平面

（2）平面，平面，

在正方形中，可得

又，平面

又，平面

（3）多面体为直三棱柱，

矩形中，

可得，

是直角三角形斜边的中线，

同理可得

是这个多面体的外接球的球心，半径，

外接球的体积

【点睛】

本题给出直三棱柱的三视图，求证线面平行、线面垂直并求外接球的体积．着重考查了三角形中位线定理、线面平行垂直的判定与性质和球的体积公式等知识，属于中档题．

20．已知椭圆C过点，两焦点为，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C与直线交于P，Q两点，且为坐标原点，求证：为定值，并求此定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为

【解析】（1）由题意有，将点A代入椭圆方程，求出a，b；

（2）设出P，Q的坐标，由得，再联立方程分别求出，即可；

【详解】

解：（1）依题意，设椭圆C的方程为；

椭圆C过点得解得舍去，

椭圆C的方程是；

（2）证明：椭圆C的方程可化为①

设椭圆C与直线交于，两点，

则由得②

由得代入①

得，

③

同理由得代入①

得④

将③④代入得，

，

即为定值．

【点睛】

本题考查椭圆方程，向量的垂直条件的处理，求代数式为定值的问题，设而不求的方法的应用，属于中档题．

21．（本小题满分14分）

设函数在， 处取得极值，且．

（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）在单调递减，在， 单调递增．

（Ⅱ）的取值范围为．

【解析】解： ．① 2分

（Ⅰ）当时，

；

由题意知为方程的两根，所以

．

由，得． 4分

从而， ．

当时， ；当时， ．

故在单调递减，在， 单调递增． 6分

（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，

所以．

从而，

由上式及题设知． 8分

考虑，

． 10分

故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．

又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．

所以，即的取值范围为． 14分

22．已知直线l经过点，且倾斜角为，圆C的参数方程为是参数，直线l与圆C交于，两点．

（1）写出直线l的参数方程，圆C的普通方程；

（2）求，两点的距离．

【答案】（1）（为参数），；（2）

【解析】（1）利用，消去参数，求得C的普通方程；再根据直线经过点，倾斜角，求出直线l的参数方程．

（2）把l的参数方程代入圆的方程，利用根与系数的关系求得以及，再由直线参数方程中参数的几何意义即可求出结论．

【详解】

解：（1）直线l的参数方程为

即为参数

圆的参数方程化为普通方程得．

（2）直线的参数方程代入圆的普通方程得；

即；

，；

．

，两点的距离为：．

【点睛】

本题主要考查参数方程与普通方程之间的转化，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．

23．是否存在实数a，使得不等式有解？若存在，求出实数a的范围；若不存在，说明理由．

【答案】存在，

【解析】画出不等号左边的函数对应图象，结合图象即可求解．

【详解】

解：存在，

设；

画出其图象，

；

由图象可知，当时，不等式有解．

故存在实数使得不等式有解．

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法以及数形结合思想的应用，属于基础题目．