2020届辽宁省丹东市高三总复习阶段测试数学（文）试题（解析版）

2020届辽宁省丹东市高三总复习阶段测试数学（文）试题  一、单选题1．复数等于Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ.【答案】A【解析】试题分析：。【考点】复数的运算。点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。同时，也要熟记一些常用公式：。2．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）【答案】C【解析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵ ，∴ ，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.3．（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据正弦二倍角公式化简，结合诱导公式即可求解.【详解】由正弦二倍角公式及诱导公式，化简可得，故选:C【点睛】本题考查了正弦二倍角公式的简单应用，诱导公式化简求值，属于基础题.4．从2名男同学，2名女同学共4人中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中恰好有1名男同学的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据古典概型概率,利用列举法得所有基本事件,由恰好有1名男同学的事件个数，即可求得概率.【详解】设两名男同学为.两名女同学为.从4人中任选2人的所有可能为:，共6种可能.选到的2名同学中恰有1名男同学的基本事件为: ，有4种可能.所以选到的2名同学中恰好有1名男同学的概率为，故选:B【点睛】本题考查了列举法求典概型概率，属于基础题.5．中，为的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据向量的线性运算，化简四个选项即可判断.【详解】根据向量的线性运算，化简可知：对于A，，所以A错误；对于B，，所以B正确；对于C，，所以，所以C错误；对于D，，所以D错误；综上可知，B为正确选项，故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题.6．函数是（    ）A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数【答案】A【解析】根据函数解析式，结合奇偶性性质，即可判断函数的奇偶性；由解析式可直接判断函数的单调性.【详解】函数，定义域为R，则所以函数为奇函数，函数，所以函数在上是增函数，综上可知，A为正确选项，故选：A【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题.7．已知两个平面，相互垂直，是它们的交线，则下面结论正确的是（    ）A．垂直于平面的平面一定平行于平面B．垂直于直线的平面一定平行于平面C．垂直于平面的平面一定平行于直线D．垂直于直线的平面一定与平面，都垂直【答案】D【解析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系即可判断四个选项.【详解】对于A，当两个平面，相互垂直，且平面，为正方体的两个面时，垂直于平面的平面会垂直于平面，所以A错误；对于B，当两个平面，相互垂直，且平面，为正方体的两个面时，垂直于直线的平面会垂直于平面，所以B错误；对于C，当两个平面，相互垂直，且平面，为正方体的两个面时，垂直于平面的平面可能平行于直线，也可能垂直于直线，所以C错误；对于D，两个平面，相互垂直，是它们的交线，由线面垂直性质可知垂直于直线的平面一定与平面，都垂直，所以D正确；综上可知，D为正确选项，故选：D.【点睛】本题考查了直线与平面、平面与平面位置关系的判断，对空间想象能力要求较高，注意特殊空间图形的应用，属于基础题.8．已知向量，满足，，，那么与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据模的向量运算，将平方后化简，即可由平面向量的数量积定义求得与的夹角.【详解】向量，满足，，，则所以，代入，，可求得，由平面向量数量积定义可知，设与的夹角为，则，则，因为，所以，故选：B.【点睛】本题考查了平面向量夹角的求法，平面向量数量积定义及模的运算，属于基础题.9．函数在的图象大致为（　  　）A． B．C． D．【答案】D【解析】判断函数f（x）为奇函数，由此排除选项A、B，再观察C、D选项，即可得出正确答案．【详解】，易知，函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项，又f′（x）＝（cosx﹣1）′sinx+（cosx﹣1）（sinx）′＝﹣sin2x﹣cosx+cos2x＝﹣cosx+cos2x，故可得f′（0）＝0，可排除C，故选：．【点睛】本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，考查导数的应用，属于中档题．10．“”是“属于函数单调递增区间”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据函数单调递增区间，由复合函数单调性的性质先求得单调递增的区间；由两个区间的包含关系即可判断充分必要性.【详解】函数单调递增区间，由复合函数单调性可知单调递增且，解得，即时函数单调递增，所以“”是“属于函数单调递增区间”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查了复合函数单调区间求法，注意对数函数定义域的要求，充分必要条件的判断，属于中档题.11．已知当时，函数取得最小值，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据辅助角公式化简三角函数式，结合当时取得最小值，即可得表达式，结合诱导公式即可求解.【详解】函数由辅助角公式化简可得，因为当当时，函数取得最小值，所以，则所以故选：C.【点睛】本题考查了辅助角公式在化简三角函数式中的应用，诱导公式求三角函数值，属于中档题.12．已知函数，则的零点个数为（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】令，由得到，，再根据和，得到的值，从而得到答案.【详解】令，则的零点，转化为，而，解得，，所以，即时，，得，时，，得，即时，，得，时，，得.所以有4个零点.故选：A.【点睛】本题考查求复合函数的零点，通过换元法区分内外层函数，逐层求解，属于中档题.  二、填空题13．已知是第三象限的角，若，则______ .【答案】7【解析】利用同角三角函数关系，求得，进而得.结合正切和角公式展开即可求解.【详解】是第三象限的角，若，则，所以，由正切和角公式可得，‘’故答案为：7.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，正切和角公式的应用，属于基础题.14．已知为偶函数，当时，，则______ .【答案】-2【解析】根据时的解析式，结合偶函数性质可求得时的解析式.求得导函数，即可代入求得的值.【详解】当时，，则当，，所以因为为偶函数，所以所以则故答案为：.【点睛】本题考查了根据奇偶性求函数解析式，基本求导公式的应用及求导数值，属于基础题.15．中，，，，则______ .【答案】【解析】设，则由条件和余弦定理即可求得.【详解】设，则中，，，由余弦定理可知，代入可得，解得，（舍）故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题.16．边长为2的等边三角形的三个顶点，，都在以为球心的球面上，若球的表面积为，则三棱锥的体积为_______.【答案】【解析】先根据球的表面积求得球的半径，由等边三角形求得三角形的外接圆半径，结合球的性质即可求得三棱锥的高，即可求得三棱锥的体积.【详解】边长为2的等边三角形的三个顶点，，都在以为球心的球面上，球的表面积为，设球的半径为，由球的表面积公式可得，解得，等边三角形的边长为2，设等边三角形的外接圆半径为，圆心为，由正弦定理可得，解得，由球的截面性质可知平面，设，则，由三棱锥体积公式可得故答案为：.【点睛】本题考查了根据球的表面积求球的半径，三棱锥外接球的性质及应用，三棱锥体积求法，属于中档题. 三、解答题17．如图，是半圆弧上异于，的点，四边形是矩形，为中点.（1）证明:平面；（2）若矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，证明:平面平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）连结交于，连结，根据中位线定理可证明，进而由线面平行判定定理即可证明平面；（2）由面面垂直的性质可知平面，进而可得；再根据圆的性质可知，从而平面，由面面垂直判定定理即可证明平面平面.【详解】（1）连结交于，连结，如下图所示：因为为矩形，所以为中点.因为为中点，所以.平面，平面，所以平面.（2）平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，故.因为为上异于，的点，且为直径，所以.又，所以平面.而平面，故平面平面.【点睛】本题考查了线面平行的判定，直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定，属于基础题.18．某种产品的质量用其质量指标值来衡量)质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为配方和配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:配方的频数分布表:指标值分组[90,94）[94,98）[98,102）[102,106）[106,110]频数82042228  配方的频数分布表:指标值分组[90,94）[94,98）[98,102）[102,106][106,110]频数412423210  （1）分别估计用配方、配方生产的产品的优质品率;（2）已知用配方生产的一件产品的利润(单位:元)与其质量指标值的关系为,估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率,并求用配方生产的上述件产品的平均利润.【答案】（1）,（2）,元【解析】(1)根据某种产品的质量用其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品,根据评论计算公式即可求得答案.(2) 由条件知,用配方生产的一件产品的利润大于当且仅当其质量指标值,由试验结果知,质量指标值的频率为,用配方生产的一件产品的利润大于的概率约为,即可求得答案.【详解】(1) 由试验结果知,用配方生产的产品中优质品的频率为 用配方生产的产品中优质品率的估计值为由试验结果知,用配方生产的产品中优质品的频率为用配方生产的产品中优质品率的估计值为(2)由条件知,用配方生产的一件产品的利润大于当且仅当其质量指标值由试验结果知,质量指标值的频率为. 用配方生产的一件产品的利润大于的概率约为.用配方生产的件产品的平均利润为(元).【点睛】本题考查了求数据的频率和用频率解决实际问题,解题的关键是掌握频率的基础知识,考查了分析能力和计算能力.19．的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，平分线交于点，求的长.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理，将条件中的边化为角的表达式，结合的内角范围即可求得. （2）由三角形面积公式分别表示出、、的面积，由即可求得的长.【详解】（1）由条件及正弦定理得.因为，所以，.因为，因此.（2）的面积为.的面积为.的面积为.因为所以解得.【点睛】本题考查了正弦定理边角转化的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.20．已知是定义域为R的奇函数，满足．（1）证明：；（2）若，求式子的值．【答案】(1)证明见解析 (2)2【解析】（1）根据题意，由函数的奇偶性以及分析可得，变形即可得答案（2）由（1）的结论分析可得f（2）、f（3）、f（4）的值，利用函数的周期分析可得答案．【详解】（1）证明：根据题意，是定义域为的奇函数，则，又由满足，则，则有，变形可得：，即可得证明；（2）由（1）的结论，，又由是定义域为的奇函数，则， 则，则，则有．【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性与周期性的综合应用，属于中档题．21．已知函数，曲线在处的切线经过点.（1）求实数的值；（2）证明:在单调递增，在单调递减；（3）设，求在上的最大值和最小值.【答案】（1）1（2）证明见解析（3）-1，【解析】（1）先求得导函数，根据在处的切线经过点，代入导函数即可求得的值；（2）将代入导函数可得，即可分别判断当和时导函数的符号，即可证明函数在各自区间上的单调性.（3）根据，由不等式性质可知。结合（2）中函数的单调性，即可确定最大值；令，求得导函数，即可由的范围证明的单调性，从而求得的最小值.【详解】（1）函数则定义域为，.由题设，解得.（2）证明：由（1）可知代入导函数解析式可得.当时，，时，.即在单调递增，在单调递减.（3）因为，由（2）知在上的最大值为.设，.因为，所以，在上单调递增.所以，故.所以在上的最小值为.【点睛】本题考查了导数的几何意义及简单应用，利用导数证明函数的单调性，由导数求函数的最值，综合性强，属于中档题.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的极坐标方程；（2）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线，若与的交点为（异于坐标原点），与的交点为，求.【答案】（1）（2）1【解析】（1）先利用消参法求得曲线的普通方程，再将，代入即可求得的极坐标方程；（2）先根据变换求得曲线的普通方程，再转化为极坐标方程. 将的极坐标方程代入与中求得，两点的极径，从而求得.【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），则曲线的普通方程为，将，代入，化简得的极坐标方程为.（2）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线，则曲线的普通方程为，将，代入，化简得的极坐标方程为.将的极坐标方程分别代入的极坐标方程和的极坐标方程中，可得，两点的极径分别为，，所以.【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化，利用极坐标方求距离，属于中档题.23．设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：，并指出等号的成立条件．【答案】(1){x|或}  (2)证明见解析，等号成立的条件是．【解析】（1）将代入f（x）中，然后将f（x）写成分段函数的形式，再根据f（x）＞3分别解不等式即可（2）由绝对值三角不等式可得，再由，即可证明．【详解】（1）当时，，，或，或，不等式的解集为或；（2），，此时等号成立的条件是．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．