2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第六次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第六次模拟数学（理）试题  一、单选题1．在复平面内，已知复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由题意，，则．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合，.若，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据集合元素所表示的意义，以及集合关系，即可求解.【详解】因为，所以直线与直线平行，所以.故选:C.【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题.3．在等比数列中，已知，，则（    ）A．12 B．18 C．24 D．36【答案】C【解析】根据题意，设公比为q，由等比数列的通项公式可得，解可得的值，计算可得答案．【详解】根据题意，等比数列中，设其公比为q，已知，，则，解可得或，舍；故，故选：C．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由程序框图可知，函数为奇函数且存在零点，然后逐一分析四个选项得答案．【详解】由程序框图可知，函数为奇函数且存在零点．对于A、，定义域为，且，函数为奇函数，又，函数存在零点；对于B、，∵在定义域内恒成立，∴不存在零点；对于C、恒成立，不存在零点；对于D、，定义域为R，，函数为偶函数．∴可以输出的函数为，故选：A．【点睛】本题考查程序框图，考查函数奇偶性的判定与零点的判定，是中档题．5．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上得到一组新数据，则下列说法正确的是（    ）A．这组新数据的平均不变 B．这组新数据的平均数为amC．这组新数据的方差为 D．这组新数据的方差不变【答案】D【解析】考查平均数和方差的性质，基础题．【详解】设这一组数据为，由，，故选：D．【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.6．直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是　　A． B． C． D．【答案】C【解析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，若直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离，即，得，得，则的一个必要不充分条件是，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出m的取值范围是解决本题的关键．7．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意共包含个基本事件，4种情况满足条件，得到答案.【详解】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含个基本事件，而20以内的孪生素数有共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为.故选：B.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.8．设抛物线的焦点为F，抛物线C与圆交于MN两点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由圆的方程可得过原点，而抛物线的顶点为原点，所以抛物线与圆的取值一个交点为原点O，设另一个交点M的坐标，由MN的值可得M的坐标与p的关系，两个方程联立可得M的纵坐标，代入MN的值可得p的值．【详解】由题意可得圆的圆心为：，半径为，过原点O，而抛物线的顶点在原点，即抛物线与圆的其中一个交点为O与N重合，如图：设M坐标，由题意可得，①，联立抛物线与圆的方程可得：②，①②联立可得：，代入①可得，，解得：，故选：B．【点睛】考查抛物线与圆相交求交点，及相交弦长的应用，属于中档题．9．在正四棱柱中，，，点，分别为棱，上两点，且，，则（    ）A．，且直线，异面 B．，且直线，相交C．，且直线，异面 D．，且直线，相交【答案】A【解析】作图，通过计算可知D1E≠AF，取点M为BC的中点，则AMFD1共面，显然点E不在面AMFD1内，由此直线D1E，AF异面．【详解】∵，如图，取点M为BC的中点，则AD1∥MF，故AMFD1共面，点E在面AMFD1面外，故直线D1E，AF异面．故选：A．【点睛】本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题．10．已知奇函数满足，则的取值可能是（    ）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】由是奇函数知,可得,由知关于对称, 即可得出,进而解得,根据选项即可的出答案.【详解】由是奇函数得，所以，又因为得关于对称，所以，解得.所以当时，得.故选:.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,着重考查在已知的奇偶性,对称轴时求的问题,难度较易.11．直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任意一点，若（为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨设，计算得到，再利用均值不等式得到答案.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，联立直线，解得，∴不妨设，∵，∴，∵为双曲线上的任意一点，∴，∴，∴（时等号成立），可得，故选：D.【点睛】本题考查了双曲线和不等式的综合应用，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.12．已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】求导得到在上递增，在上递减，得到，计算得到答案.【详解】时，；，，∴在上递增，在上递减，，即的值域为.令，则，∵在上递增，在上递减，要使的值域为，则，∴的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.  二、填空题13．已知的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.【答案】15【解析】令，可以求出，利用二项展开式的通项公式，求出常数项。【详解】已知的展开式的所有项的系数和为64，令，得，二项展开式的通项公式为，令，所以常数项为。【点睛】本题考查了二项展开式中所有项系数和公式。重点考查了二项展开式中的常数项。14．如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.【答案】【解析】取圆柱下底面弧的另一中点，连接,直线与所成角等于异面直线与所成角,利用圆柱的轴截面是正方形,,从而可得结论.【详解】取圆柱下底面弧的另一中点，连接，则因为C是圆柱下底面弧的中点，所以，所以直线与所成角等于异面直线与所成角.因为是圆柱上底面弧的中点，所以圆柱下底面，所以.因为圆柱的轴截面是正方形，所以，所以直线与所成角的正切值为.所以异面直线与所成角的正切值为.故答案为:.【点睛】本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易.15．设是等差数列的前n项和，若，则的取值范围是________.【答案】【解析】设等差数列的公差为，根据前n项和公式，可得公差的取值范围，即可求出的取值范围.【详解】解：设等差数列的公差为，故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.16．已知函数，若，则不等式的解集为__________，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是__________．【答案】        【解析】将a=1代入原函数，可得的解析式，可得不等式的解集；分a的情况进行讨论，可得有两个零点时候，a的取值范围.【详解】解：由题意得：，当a=1时，，可得：（1）当时，，可得；（2）当时，，可得，综合可得的解集为；由，只有一个零点时，，可得，当时，此时，只有一个零点，当时，有两个零点，同理，当时，此时，只有一个零点，当时，有两个零点，故可得的取值范围是【点睛】本题主要考查分段函数与函数的性质，综合性强，注意分类讨论思想的运用. 三、解答题17．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在中，内角的对边分别为，设的面积为，已知              .（1）求的值；（2）若，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）如果选择条件①，用余弦定理和三角形面积公式化简即得的值；如果选择条件②，利用正弦定理化简得，再求的值；（2）如果选择条件①，先求出，代入即得解；如果选择条件②，求出，再利用余弦定理即得解.【详解】（1）选择条件①：由題意得.即整理可得， 又.所以，所以.选择条件②：因为，由正弦定理得，，即在中，，所以，，所以 （2）如果选择①，由，得，又则，解得.将代入中，得，解得.如果条件②：，解得，又a=10,所以，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为梯形，(1)证明:;(2) 若为正三角形,求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析   （2）【解析】（1）先证明BD⊥平面PAD,再证明；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，又底面为直角梯形面底面因为面底面,平面ABCD,所以BD⊥平面所以.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为所以，令设平面的法向量为令设二面角的平面角为 .由图观察为钝角【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，该校全体学生的成绩均在，按照，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图（1）所示，样本中分数在内的所有数据的茎叶图如图（2）所示．根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（3）．分数可能被录取院校层次专科本科重本  图（3）（1）求和频率分布直方图中的，的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中为重本的人数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1），，；（2） （3）分布列见解析，【解析】（1）结合茎叶图中分数在70~80的人数以及频率分布直方图中对应的频率，计算得到n，x，y的值；（2）先利用古典概型计算从该校高三年级学生中任取1人为重本的概率，该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件服从二项分布，利用公式计算即得解；（3）随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式计算即得解.【详解】解：（1）由题意可知，样本容量，解得，．（2）成绩能被重点大学录取的人数为人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是，故从该校高三年级学生中任取1人为重本的概率为．记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为；则．（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数人，故随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．所以，；；；；故随机变量的分布列为0123  随机变量的数学期望．【点睛】本题考查了统计与概率综合，考查了学生数学应用，综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.20．已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足.（1）求出动点的轨迹的标准方程；（2）设动直线与曲线有且仅有一个公共点，与圆相交于两点（两点均不在坐标轴上），求直线的斜率之积.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）计算得到，根据，计算得到答案.（2）讨论直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况，计算得到答案.【详解】（1）因为，即所以，所以又因为，所以，即，即.所以曲线的标准方程为.（2）当直线的斜率存在时，设的方程为.由方程组得.∵直线与椭圆有且仅有一个公共点，∴，即.由方程组得，则.设，则，设直线的斜率分别为，所以，将代入上式，得.当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为.此时，圆与的交点也满足.综上，直线的斜率之积为定值.【点睛】本题考查了椭圆的轨迹问题，椭圆内的定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知函数（为常数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在内有极值，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）当时，在上是增函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数； （2）当时，；当时，；当时，.见解析【解析】（1）求导得到，讨论，，三种情况计算得到答案.（2）根据题意有一变号零点在区间上，得到，构造函数，根据函数的单调性得到答案.【详解】（1）定义域为，设当时，，此时，从而恒成立，故函数在上是增函数，在上是增函数；当时，函数图象开口向上，对称轴，又所以此时，从而恒成立，故函数在上是增函数，在上是增函数；当时，，设有两个不同的实根，共中，令，则，令，得或；令，得或，故函数在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数.综上，当时，函数在上是增函数，在上是增函数；当时，函数在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数.（2）要使在上有极值，由（1）知，①则有一变号零点在区间上，不妨设，又因为，∴，又，∴只需，即，∴，②联立①②可得：.从而与均为正数.要比较与的大小，同取自然底数的对数，即比较与的大小，再转化为比较与的大小.构造函数，则，再设，则，从而在上单调递减，此时，故在上恒成立，则在上单调递减.综上所述，当时，；当时，；当时，.【点睛】本题考查了函数单调性，利用导数比较函数值大小，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线的方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l和曲线的极坐标方程；（2）曲线分别交直线l和曲线于点A，B，求的最大值及相应的值.【答案】(1)直线的极坐标方程为：；曲线的极坐标方程为：；(2) 当时，,的最大值为.【解析】(1)参数方程化为普通方程，只要消去参数方程中的参数即可；极坐标方程化为普通方程，只要利用极坐标与直角坐标的函数关系转换即可；(2)设出点的极坐标，结合极坐标的几何意义与三角函数求最值的知识，即可求解.【详解】(1)由题意，直线的直角坐标方程为：，直线的极坐标方程为：，曲线的直角坐标方程：，曲线的极坐标方程为：.(2)由题意设：，，由(1)得，，，，，当，即时，,此时取最大值.【点睛】本题考查了曲线的极坐标方程与普通方程间的互化，以及极坐标系中极径的几何意义与三角函数的综合运用，属于中档题.23．已知函数.（1）若，解不等式；（2）若不存在实数，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）【解析】（1）讨论，，三种情况，分别计算得到答案.（2）题目等价于恒成立，利用绝对值三角不等式得到答案.【详解】（1）当时，，解得，∴；当时，，解得，∴；当时，，解得，∴.综上所述，不等式的解集为.（2）不存在实数，使得，等价于恒成立，即恒成立.∵，∴当时，，解得；当时，，解得.∴时，不存在实数，使得.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立求参数，意在考查学生的综合应用能力.