2020届内蒙古呼和浩特市高三上学期质量普查调研考试数学（文）试题（word版）

2020届呼和浩特市高三年级质量普査凋研考试

文科数学

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷(选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题时，考生各必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，答题时间120分钟.

回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干浄后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本武卷无效.

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

2.已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

3.已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

4.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

5.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（    ）

A. 8 B. 4 C. 2 D. 1

【答案】C

6.已知是函数的极小值点，则（    ）

A. -4 B. -16 C. -2 D. 2

【答案】D

7.若函数为R上的奇函数，且当时，，则（    ）

A. -2 B. -3 C. -4 D. 2

【答案】A

8.函数的图像向左平移个单位以后，得到的图像对应的函数解析式为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

9.若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

10.已知等比数列满足，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

11.已知ABC的三边，，满足：，则此三角形是（    ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】A

12.已知函数满足，且，则函数零点的个数为（    ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 0个

【答案】B

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

本卷包含必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中横线上.)

13.已知，，且∥，则实数___________.

【答案】

14.已知实数满足约束条件，则的最大值为________.

【答案】5

15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.

【答案】

16.下列命题：①若等差数列的公差d不为0，则给，对于一切，都有；②若等差数列的公差d<0.且，则和都是中的最大项；③命题P：，，的否定为：，；④若函数，则.其中真命题的序号为____________.

【答案】①②.

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程)

17.己知函数.

(1)若在处的切线过原点，求切线的方程；

(2)令，求在上的最大值和最小值.

【答案】（1）（2）最大值，最小值

【解析】

【分析】

（1）求函数的导数，，点斜式写出切线方程即可（2）利用导数判断函数的单调性，确定极值，即可求出函数的最大值,最小值.

【详解】(1)设切线的方程为

，则

，则

切线方程为

则

∴切线的方程为.

(2)，

当时，；时，，

所以最大值

∵，，且

所以最小值.

【点睛】本题主要考查了导数几何意义，切线方程，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.

18.已知函数，.

（1）若是第二象限角，且，求的值；

（2）求的最大值，及最大值对应的的取值.

【答案】（1）（2）的最大值为3，此时

【解析】

【分析】

（1）利用三角函数恒等变换化简，，由求，根据同角三角函数关系求解即可（2）由（1）知，根据正弦函数性质求解即可.

【详解】（1）

，

，

则，则，

∵是第二象限角，∴，

∴.

（2）

.

当时，取得最大值3，

此时，即.

【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图像求最值,属于中档题.

19.已知为数列的前项和，已知，，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)求满足的的最大值.

【答案】（1）（2）的最大值为9.

【解析】

【分析】

（1）根据与的关系可推出，写出等差数列的通项公式即可（2）利用裂项相消法求和，解不等式即可.

【详解】(1)当时，；

当时，①

②

①-②整理得

，所以.

(2)设

所以

令，解得

所以的最大值为9.

【点睛】本题主要考查了与的递推关系，裂项相消法，等差数列的定义，属于中档题.

20.（1）当时，求证：；

（2）如图，圆内接四边形的四个内角分别为、、、.若，，，.求的值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）为圆的内接四边形可知，，，，由（1）结论原式可化为，连接、，设，由余弦定理即可求解.

【详解】（1）证明.

（2）因为为圆的内接四边形，所以，，，，由此可知：

连接、，设，由余弦定理可得：

，，

，，

解得，，

那么，，

，.

所以原式.

【点睛】本题主要考查了倍角公式的应用，四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用，属于难题.

21.己知函数

(1)设时，判断函数在上的零点的个数；

(2)当，是否存在实数，对且，有恒成立，若存在，求出的范围：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）在上无零点（2）存在，的取值范围是[2，+∞)

【解析】

【分析】

（1）利用导数可知函数在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，)上递减，可得在单调递增且可知无零点（2）化简得，由可得（）恒成立，构造函数，需有恒成立，分离参数求解即可.

【详解】(1)的定义域是(0，+∞)

，

令得到：，，且

所以函数在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，)上递减

因为

所以在单调递增，

因为，

所以在上无零点.

(2)因为，

所以

化简得

不妨设可化为；

考查函数则

即，整理可得

令，则，

因此单调递減，所以

所以

综上：的取值范围是[2，+∞)

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，极值，零点，利用导数证明不等式恒成立，属于难题.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时清写清题号.

22.在极坐标系中，直线过点，且与直线垂直.

（1）设直线上的动点的极坐标为，用表示；

（2）在以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴的直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与直线交于点，求点的极坐标及线段的长度.

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

（1）点的极坐标为代入直线的极坐标方程即可求解（2）联立曲线与直线即可求解点的极坐标，利用两点间距离公式求的长度即可.

【详解】（1）由已知条件可得：

直线的极坐标方程为：，

∵动点在直线上，

∴，

∴.

（2）曲线的极坐标方程为：，

联立曲线与直线解得：或，

∴①当时：，

②当时：.

∴或.

【点睛】本题主要考查了极坐标方程的应用，以及极径的几何意义，属于中档题.

23.已知函数.

（1）若恒成立，求实数的最大值；

（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.

【答案】(1)2；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题意可得，则原问题等价于，据此可得实数的最大值.

（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知，结合均值不等式的结论有，据此由综合法即可证得.

法二：利用分析法，原问题等价于，进一步，只需证明，分解因式后只需证，据此即可证得题中的结论.

【详解】（1）由已知可得，

所以，

所以只需，解得，

∴，所以实数的最大值.

（2）证明：法一：综合法

∵，

∴，

∴，当且仅当时取等号，①

又∵，∴，

∴，当且仅当时取等号，②

由①②得，∴，所以.

法二：分析法

因为，，

所以要证，只需证，

即证，

∵，所以只要证，

即证，

即证，因，所以只需证，

因为，所以成立，

所以.

【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.