2020届湖北省名师联盟高三下学期4月月考仿真卷理科数学试题（解析版）

2020届湖北省名师联盟高三下学期4月月考仿真卷

理科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（    ）

A． B．2 C． D．4

3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：

若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（    ）

A．522 B．324 C．535 D．578

4．在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于（    ）

A．16 B．26 C．8 D．13

5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知：，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

9．的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．在三棱锥中，，且，，，分别是棱，的中点，下面四个结论：

①；

②平面；

③三棱锥的体积的最大值为；

④与一定不垂直．

其中所有正确命题的序号是（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④

12．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，

若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知平面向量，满足，，，则______．

14．已知函数（）．若存在，使得成立，则实数a的取值范围是______．

15．函数的部分图象如图所示，点，是最高点，点是最低点，若是直角三角形，则__________．

16．如图，多面体，，，两两垂直，，，，则经过，，，的外接球的表面积是_________．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列满足：，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，，求数列的前项和．

18．（12分）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．

（1）求证：；

（2）若，，求二面角的余弦值．

19．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于两点．是否存在点使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由．

20．（12分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：

①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84．14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12．14千元的人数最有可能是多少？

附参考数据：，若随机变量X服从正态分布，则，，．

21．（12分）已知函数，．

（1）若在内单调递减，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个极值点分别为，，证明：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的取值范围．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知定义在R上的函数．

（1）求的最小值；

（2）若，且，求的最小值．

2019-2020学年下学期高三4月月考仿真卷

理科数学答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】由，则，

又，所以，

故选B．

2．【答案】D

【解析】双曲线的渐近线方程为，

可得，，则，的焦距为．

故选D．

3．【答案】A

【解析】第6行第6列开始的数为808（不合），436，789（不合），535，577，348，994（不合），837（不合），522，

则满足条件的5个样本编号为436，535，577，348，522，则第5个编号为522．

故选A．

4．【答案】D

【解析】∵，∴，∴，

∴，故选D．

5．【答案】B

【解析】由题意，5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．

现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，

基本事件总数，

所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数，

则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为，

故选B．

6．【答案】A

【解析】根据图像：，故，故，．

，，故，

故．

当时，，满足条件，故，

故选A．

7．【答案】A

【解析】∵，通项，

，故选A．

8．【答案】A

【解析】由题，因为，，，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

因为恒成立，则，即，解得，

故选A．

9．【答案】B

【解析】中，，∴，

∴，

∴，∴，

又，∴，

又，

∴，

∴，∴，

∴，解得或（不合题意，舍去），

∴的面积为，

故选B．

10．【答案】A

【解析】因为F1是椭圆的左焦点，直线过F1交y轴于C点，

所以，即，

因为，所以，

又因为，所以，

在三角形AF1F2中，，，，

根据余弦定理可得，

代入得，化简得，

所以离心率为，

所以选A．

11．【答案】D

【解析】设的中点为，连接，则，，

又，所以平面，所以，故①正确；

因为，所以平面，故②正确；

当平面与平面垂直时，最大，最大值为，故③错误；

若与垂直，

又因为，所以平面，所以，

又，所以平面，所以，

因为，所以显然与不可能垂直，故④正确，

故选D．

12．【答案】A

【解析】由可知函数的图象关于点成中心对称，

且，所以，

所以，函数的周期为，

由于函数为奇函数，则，则，

作出函数与函数的图象如下图所示：

，则，

于是得出，，

由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为、、、、、、、、、，第个交点的横坐标为，

因此，实数的取值范围是，故选A．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】因为平面向量，满足，，，

所以，

故答案为．

14．【答案】

【解析】由，得，

设，则存在，使得成立，

即成立．所以成立，所以成立，

又令，，所以时，，单调递增，

当时，有最小值，

所以实数a的取值范围是，故答案为．

15．【答案】

【解析】由图可得，，，

根据对称性，是直角三角形，

所以为等腰直角三角形，直角三角形斜边中线等于斜边长的一半，

，，，所以，故答案为．

16．【答案】

【解析】根据，，两两垂直构造如图所示的长方体，

则经过，，，的外接球即为长方体的外接球，

故球的直径为长方体的体对角线的长．

设，，，

由题意得，解得，

所以球半径为，

球的表面积为，答案．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）∵，∴，∴，

则数列是以1为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1）知，，∴，∴，

∴，

，

∴

，

∴．

18．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）由图1可知，四边形为菱形，则，

则在图（2）中，，所以，

又，所以，

又，故．

（2）因为，所以，

设，则，

又，所以，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

则，，

则面的法向量为，

设面的法向量为，

则，则，

令，则，则，

所以，

又由图可知二面角为钝二面角，

故二面角的余弦值为．

19．【答案】（1）；（2）不存在，详见解析．

【解析】（1）由已知，得知，，

又因为离心率为，所以．

因为，所以，

所以椭圆的标准方程为．

（2）假设存在．

设，，，

由已知可得，，

所以的直线方程为，

的直线方程为，

令，分别可得，，

所以，

线段的中点，

若以为直径的圆经过点，则，

因为点在椭圆上，所以，代入化简得，

所以，而，矛盾，

所以这样的点不存在．

20．【答案】（1）千元；（2）①14．77千元；②978人．

【解析】（1）千元，

故估计50位农民的年平均收入为17．40千元．

（2）由题意知，

①，

所以时，满足题意，

即最低年收入大约为14．77千元．

②由，

每个农民的年收入不少于12．14千元的事件的概率为0．9773，

记1000个农民的年收入不少于12．14千元的人数为，

则，其中，

于是恰好有k个农民的年收入不少于12．14千元的事件概率为，

从而由，得，

而，所以，当时，；

当时，，

由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12．14千元的人数最有可能是978人．

21．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），∴在内单调递减，

∴在内恒成立，

即在内恒成立．

令，则，

∴当时，，即在内为增函数；

当时，，即在内为减函数，

∴的最大值为，∴．

（2）若函数有两个极值点分别为，，

则在内有两根，，

由（1），知，

由，两式相减，得．

不妨设，

∴要证明，只需证明．

即证明，亦即证明．

令函数，．

∴，即函数在内单调递减，

∴时，有，∴，

即不等式成立，

综上，得．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由曲线的参数方程(为参数)，

得，即曲线的普通方程为，

又，，

曲线的极坐标方程为，即，

曲线的极坐标方程可化为，

故曲线的直角方程为．

（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，其中，

则，，

于是，

由，得，

故的取值范围是．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，所以，

当时，单调递减；

当时，单调递减；

当时，单调递增，

故当时，函数取得最小值．

（2）若，且，，即，

当且仅当，即，时，等号成立，

则，

令，，而的开口向上，

对称轴方程为，在上单调递增，

当，取得最小值，的最小值为．