2020届湖北省随州市高三下学期3月调研考试数学（文）试题（解析版）

2020届湖北省随州市高三下学期3月调研考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集为，集合，，(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用交集及补集的定义求解．

【详解】

∵，

或，

N={−1，0，1，2，3}

∴{−1，2，3}.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的运算，根据交、并、补运算法则进行运算，属于基础题.

2．设复数，则(    )

A． B．2 C． D．

【答案】A

【解析】根据复数四则运算化简z，可求z的模.

【详解】

，

.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的运算及模的运算，考查对复数基础概念的掌握及运算能力，属于基础题.

3．设，，，则，，的大小关系是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据对数的单调性可求出a、b的范围，再求出c的范围即可比较大小.

【详解】

，，，

且c>0,

.

故选：C.

【点睛】

本题考查指对函数值的大小比较，一般是指数、对数化同底利用函数单调性比较大小，或借助特殊值去比较大小，属于基础题.

4．已知角，角的终边经过点，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据诱导公式及特殊角三角函数值求出A点坐标，再根据三角函数定义可得角.

【详解】

，，

，

.

又，.

故选：D.

【点睛】

本题考查角的概念，属于基础题.

5．已知等比数列的前项和为，若，且，则(    )

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】B

【解析】由题可判断，根据列方程得，再代入可得，根据公式可得.

【详解】

当数列的公比时，，，，.

，得.

，，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列，求等比数列中的项，一般根据条件列方程求出首项和公比即可，注意等比数列公比为1的求和公式，属于基础题.

6．已知，是空间内两条不同的直线，，是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，则 D．若，，，则

【答案】D

【解析】A.若，，则或.B.若，，，若，不成立，C.若，，与的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断.

【详解】

若，，则或，故A不正确，；

若，，，若，则，故B不正确，

若，，与的关系是异面或平行，故C不正确，

若，，，又因为，所以，故D正确.

故选：D

【点睛】

本题主要考查点、线、面的位置关系，还考查理解辨析的能力，属于中档题.

7．已知曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由切线方程，得，，代入可得切点坐标，对求导代入可得切线斜率，求解出方程即可.

【详解】

由切线方程，得，.

设，

则，

，，

曲线在点处的切线方程为，

即，

故选：B.

【点睛】

本题考查曲线上某点的切线方程，考查导数的应用，根据导数求出切点与切线斜率即可，属于基础题.

8．执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据循环结构程序框图的运算，求得k=7及k=8时s的值，判断框填入的条件是，即可得a的取值范围.

【详解】

，，

①条件不满足，，；②条件不满足，，；

③条件不满足，，；④条件不满足，，；

⑤条件不满足，，；⑥条件不满足，，；

⑦条件不满足，，；满足条件，退出循环.

.

故选：A.

【点睛】

本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题.

9．函数的最小正周期是，则函数在区间上的零点个数为（    ）

A．31 B．32 C．63 D．64

【答案】D

【解析】先用辅助角法，将，转化为，再由最小正周期是，求得解析式，然后求零点即可.

【详解】

因为

.

最小正周期是，.

，

令，得.

或，.

或，.

，

当时，，，，，，共32个；

当时，，，，，共32个.

函数在区间上的零点总共有64个.

故选：D

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质和零点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10．过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，垂线交轴于点，且.若的面积为（是坐标原点），则双曲线的标准方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意及点到直线距离公式可得，，由可得，

根据面积公式可得，又根据垂线的方程为，得点的坐标为，利用勾股定理可得，结合联立解出a、b即可得双曲线方程.

【详解】

过右焦点作渐近线的垂线，渐近线方程即.

，，

又可得，

则.

①.

又垂线的方程为，得点的坐标为，

中，②.

由①②及，得，，

双曲线的标准方程为.

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的方程，涉及双曲线渐近线相关的知识及三角形面积公式应用，列出关于a、b、c的方程计算即可，属于综合题，考查综合分析及计算能力，属于中等题.

11．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计的值：在区间内随机取个数，构成个数对，设，能与1构成钝角三角形三边的数对有对，则通过随机模拟的方法得到的的近似值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据在区间内随机取个数，则有，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为，能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解.

【详解】

依题有，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.

因为，能与1构成钝角三角形，

由余弦定理的及三角形知识得，

构成如图阴影部分，

其面积为，

由几何概型概率计算公式得，

解得.

故选：C

【点睛】

本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

12．已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知可得点是的外心，过点作平面使，是外接球球心，半径设为，不难求出，过点作球的截面，当截面时，截面面积最小，求出面积即可.

【详解】

点是的外心，过点作平面使，

是外接球球心，半径设为，则.

在直角梯形中，，，，得，

过点作球的截面，当截面时，截面面积最小，

此时截面圆的半径为，

截面面积的最小值是.

故选：B.

【点睛】

本题考查球截面问题，通常利用勾股定理求解，根据题意找出圆心，再利用垂直于直径的截面面积最小即可求出最小面积，属于中等题.

二、填空题

13．已知向量，，与的夹角为，则实数__________.

【答案】1

【解析】根据向量的夹角公式可得关于m的方程，计算求解即可．

【详解】

∵向量，，与的夹角为，

∴，，

根据数量积定义，解得.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查向量的夹角公式，解题关键是对向量夹角公式的灵活掌握，属于基础题.

14．已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点.若以为圆心、为半径的圆与抛物线相交于点，，则__________.

【答案】

【解析】根据已知抛物线与圆方程联立可得交点，坐标，再由轴及抛物线性质可得为等腰三角形，可得，即可求解.

【详解】

由，得，

，.

轴.

在中，，

，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线的性质，掌握及灵活应用抛物线的定义及几何性质是解题关键，考查学生的分析与转化能力，属于简单题.

15．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为，，，，（单位：十万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.

【答案】1.6

【解析】设，，，，的平均数为，根据方差的计算公式有

.即，再利用，，，，的平均数为4求解.

【详解】

依题意，得.

设，，，，的平均数为，

根据方差的计算公式有

.

，

即，

.

故答案为：1.6

【点睛】

本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题.

16．已知正项数列和满足：①，；②，.则数列的通项公式为___________.

【答案】

【解析】根据条件②，联立化简得数列是等差数列，再根据条件①可得的通项，再代入②即可得数列的通项公式.

【详解】

，，，，

则时，，

时，，即，

数列是等差数列.

又，，，

首项，公差，

.

，

.

，其中适合此式，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的通项公式，考查对数列相关知识的理解与运用，解题关键是对题目条件的转化，属于中等题.

三、解答题

17．某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：

男生身高频率分布表

女生身高频数分布表

（1）估计这1000名学生中女生的人数；

（2）估计这1000名学生中身高在的概率；

（3）在样本中，从身高在的女生中任取2名女生进行调查，求这2名学生身高在的概率.（身高单位：厘米）

【答案】（1）400名；（2）0.49；（3）.

【解析】（1）由男生、女生身高频数分布表可知，抽了60名男生，40名女生，则女生的人数为；

（2）由男生、女生身高频数分布表可知，身高在的有49人，又共抽取100人，计算可得概率；

（3）身高在的女生有3名，身高在的女生有3名，列举法可得抽取2名共15种，其中2名学生的身高都在的情况有3种，可求概率.

【详解】

（1）由频率分布表可得样本中男生为60名，女生为40名，

估计这1000名学生中女生的人数大约是（名）.

（2）由表知，样本中身高在的人数为，

样本容量是100，

样本中身高在的概率为，

估计这1000名学生中身高在的概率为0.49.

（3）依题意，身高在的女生有3名，记为，，，

身高在的女生有3名，记为，，，

则从身高在的女生中任取2名，

所有情况有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，

其中2名学生的身高都在的情况有，，共3种，

这2名学生身高都在的概率为.

【点睛】

本题考查频率分布表的应用及概率计算，解题关键是对频数分布表及古典概型求概率的灵活掌握，属于基础题.

18．如图，平面平面，四边形和都是边长为2的正方形，点，分别是，的中点，二面角的大小为60°.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）由中位线性质可知，又平面，平面即可求证；

（2）根据题目条件不难得出就是二面角的平面角，连接，解三角形可得为直角三角形，由进一步求证可得平面,又平面，可得点到平面的距离等于点到平面的距离，即为所求三棱锥的高，再求出底面积代入体积公式即可.

【详解】

（1）证明：，分别是，的中点，

.

平面，平面，

平面.

（2）四边形和都是边长为2的正方形，

，，

就是二面角的平面角，

.

连接，在中，，，，

，

.

，.

，，，

平面，.

平面.

平面，

点到平面的距离等于点到平面的距离，为.

，为的中点，，

平面，.

.

【点睛】

本题考查线面平行的证明及三棱锥的体积求法，考查空间推理能力及转化能力，属于中等题.

19．中，角，，的对边分别为，，，的外接圆半径为，面积为，已知为锐角，且.

（1）求；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据正、余弦定理和同角三角函数的基本关系可求出sinA的值，再根据是锐角三角形可确定角A的值；

（2）将a，A的值代入余弦定理，得到关系b，c的关系式，再由面积公式及基本不等式可求最大值．

【详解】

（1），

，

即，，

由余弦定理得，

由正弦定理得，得，

为锐角，.

（2）由余弦定理，得，.

，取等号的条件是，.

.

的最大值为.

【点睛】

本题考查正、余弦定理的应用，涉及到的考点由同角三角函数关系、面积公式、基本不等式，属于综合题，考查综合分析能力及转化思想，属于中等题.

20．已知椭圆，过的焦点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过右焦点的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）根据通径可求过的焦点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，再由椭圆的离心率为及椭圆解得a、b，可得椭圆方程；

（2）依题意，得直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆联立利用韦达定理可得线段的中点为，可得线段的垂直平分线的方程为，代入解得或，由此得出直线的方程.

【详解】

（1）过的焦点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，

，解得，.

椭圆的标准方程为.

（2）依题意，得直线的斜率存在且不为0，，

设直线的方程为，，，

由，得.

可得，

，，

线段的中点为.

线段的垂直平分线的方程为

.

令，得.

，解得或.

直线的方程为或.

【点睛】

本题考查椭圆方程与椭圆与直线综合问题，求椭圆方程一般思路为列关于a、b、c的方程组求解即可，椭圆与直线综合问题通常是设直线，联立，求韦达定理代入核心条件求解未知量，计算量较大，属于中等题.

21．已知函数的导函数为.

（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数的极值为正数，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由对任意恒成立，求出代入分离参数，将问题转化为，由二次函数的最值可得a的取值范围；

（2）由函数的极值为正数，则有正根，将问题转化为二次函数有正根问题，对a进行分类讨论，可得当时，方程有两个不等实根，且异号，设，，可得出是函数在上的唯一极值点且是极大值点，再利用函数与方程思想可得，又得实数的取值范围.

【详解】

（1），

对任意恒成立，即.

.

，当时有最小值-1，

，.

（2）.

①当时，，在上递增，

此时无极值；

②当时，设方程，.

方程有两个不等实根，，

，，一正一负，

设，，结合函数的图象可知，

当时，；当时，，

在上递增，在上递减，是函数在上的唯一极值点且是极大值点.

.

令，易知在上递增，又，

时，，.

，

.

.

【点睛】

本题考查利用导数求参数的取值范围，包括不等式恒成立求参数范围及已知极值范围求参数取值范围，核心考点是导数的应用，不等式恒成立求参数范围运用转化思想将参数分离，转化为求区间上函数的最值问题即可解决，已知极值范围求参数取值范围通过求导数将问题转化为二次函数根的分布问题，利用分类讨论及转化思想进行求解，是难题.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；

（2）已知点，直线与圆相交于，两点，设，求实数.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）消去参数，求得直线的普通方程，由求圆的普通方程.

（2）设点，对应的参数分别为，.依题意，点在直线上且在圆的内部..然后将直线的参数方程与圆的直角坐标方程联立，再用韦达定理求解.

【详解】

（1）由，消去参数，

得.

由，得，即.

故圆的直角坐标方程为.

（2）设点，对应的参数分别为，.

依题意，点在直线上且在圆的内部.

.

将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程并整理得，

，.

，，

得，.

，.

【点睛】

本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的转化和直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）设函数的最小值为，已知，且，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）将函数去绝对值，得，然后分段求解.

（2）先求分段函数的最小值，.将，转化为，再利用基本不等式有求解.

【详解】

（1），

当时，由，得；

当时，由，得；

当时，由，得.

综上所述，原不等式的解集为.

（2），

在递减，在递增.

.

.

，即.

，，.

则，

当且仅当且，即，时，取等号.

，时有最小值4.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.