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    2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学(理)试题
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    2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学(理)试题

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    武昌区2020届高三年级元月调研考试

    理科数学

     

    注意事项:

    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上

    2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡写在本试卷上无效。

    3.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

     

    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

    1已知集合 ,若,则

        A        B.            C         D

    2已知复数满足,则在复平面内对应的点位于

        A第一象限      B. 第二象限       C第三象限       D第四象限

    3已知是各项均为正数的等比数列,,则

        A          B.             C           D

    4已知,则的大小关系为

        A      B       C       D  

    5等腰直角三角形中,,点是斜边上一点,且,那么

        A           B.             C2             D4

    6某学校成立了ABC三个课外学习小组,每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4位学生中,恰有2人申请A学习小组的概率是

    A           B.            C            D

    7已知数列的前项和,设为数列的前项和.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为

        A       B.         C       D

    8已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点,抛物线的准线轴交于点于点,则四边形的面积为

         A         B.           C           D

    9如图,已知平行四边中,为边的中点,将沿直线翻折成.为线段的中点,则在翻折过程中,给出以下命题:

    线段的长是定值;

    存在某个位置,使

    存在某个位置,使平面.

    其中,正确命题是

    A            B①③   

    C②③          D②③

    10函数)的部分图象如图所示,给出下列说法:

    函数的最小正周期为

    直线为函数的一条对称轴;

    为函数的一个对称中心;

    函数的图象向右平移个单位后得

    的图象.

    其中正确说法的个数是

        A1             B2              C3             D4

    11已知F1F2分别为双曲线的左、右焦点,过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于AB两点,记的内切圆半径为r1的内切圆半径为r2,则的值等于

    A3              B2              C            D       

    12.已知函数的最小值分别为,则

    A                            B           

    C                            D的大小关系不确定  

     

    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

    13的展开式中,项的系数是______.

    14已知一组数据1054222,且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,则所有可能的取值为______.

    15过动点作圆的切线,为切点.(为坐标原点),则的最小值为______.

    16表示函数闭区间上的最大值若正数a满足,则a的值为      .

     

    三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2223题为选考题,考生根据要求作答。

    (一)必考题:共60

    17.(本题12分)

    中,已知边上的一点,.

    1)求

    2)求的面积.

     

     

     

    18.(本题12分)

    如图,在直三棱柱中,分别为的中点.

    1)证明:平面平面

    2)求二面角的正弦值.

     

     

     

     

     

    19.(本题12分)

    已知椭圆的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点,且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.   

    1)求椭圆的方程;

    2)若不过原点的直线与椭圆交于两点,求面积的最大值.

     

    20.(本题12分)

    某健身馆在201978两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估202078两月客户投入的健身消费金额,健身馆随机抽样统计了201978两月100名客户的消费金额,分组如下:020020040040060010001200(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图:

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    1)请用抽样的数据预估202078两月健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

    2)若把201978两月健身消费金额不低于800元的客户,称为健身达人.经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,请补全空格处的数据,并根据列联表判断是否有95%的把握认为健身达人性别有关?

     

    健身达人

    非健身达人

    10

     

     

     

    30

     

     

     

     

    3为吸引顾客,在健身项目之外,该健身馆特推出健身配套营养品的销售,现有两种促销方案.

    方案一:每满800元可立减100元; 

    方案二:金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率为且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.

    若某人打算购买1000元的营养品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.

    P

    0.150

    0.100

    0.050

    0.010

    0.005

    k

    2.072

    2.706

    3.841

    6.635

    7.879

    .

     

    21.(本题12分)

    已知函数.   

    1)若恒成立,求实数a的值

    2存在不相等的实数,满足,证明:.

     

    (二)选考题:共10请考生在第2223题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分。

    22[选修4-4:坐标系与参数方程]本题10分)

    在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为.

        1写出的普通方程和的直角坐标方程;

    2)若轴交于点相交于两点,求值.

     

     

     

     

     

    23[选修4-5:不等式选讲]本题10分)

        1)已知,若存在实数,使成立,求实数的取值范围;

    2)若求证:


    武昌区2020届高三年级元月调研

    理科数学参考答案及评分细则

     

    一、选择题:

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    D

    A

    B

    D

    D

    D

    A

    C

    B

    C

    A

    A

     

    二、填空题:

    13. 240     14.317     15.     16.

     

    三、解答题:

    17.(本题12分)

    中,已知边上的一点,.

    1)求

    2)求的面积.

    解:1)在中,由余弦定理,得

    所以,从而.

    中,由正弦定理,得,所以.    ……………(4分)

    2)由(1)知,且.

    所以

    所以.    ……………(12分)

     

    18.(本题12分)

    解:1)因为,所以.

    因为平面平面,所以.

    因为,所以平面.

    因为平面,所以.

    易证,因为

    所以平面.

    因为平面

    所以平面平面.     ……………(4分)

    2)方法一:过,垂足为,过,连结

    则可证为二面角的平面角.

    中,求得;在中,求得.

    所以.    ……………………………(12分)

    方法二:建系,设(求)点的坐标,求两个法向量,求角的余弦,求正弦.

     

    19.(本题12分)

    解:1)由,得.

    所以,椭圆的方程为.    ……………………………(4分)

    2直线斜率存在时,方程为,代入椭圆方程,整理,得

    .

    ,得.

    ,则.

    于是.

    又,坐标原点到直线的距离为.

    所以,的面积.

    因为

    所以,.

    直线斜率不存在时,设其方程为,同理可求得

    .

    所以,面积的最大值为.     ……………………………(12分)

     

    20.(本题12分)

    解:1)因为

    元)

    所以,预估202078两月份人均健身消费620元.     ……………(2分)

    2)列联表如下:

     

    健身达人

    非健身达人

    10

    40

    50

    20

    30

    50

    30

    70

    100

     

     

     

     

     

    因为因此95%的把握认为健身达人性别有关系.            ……………………………………(6分)

    3)若选方案一:则需付款900元; 

    若选方案二:设付款X元,则X可能取值为7008009001000

    所以(元)

    因为,所以选择方案二更划算.     ……………………………(12分)

     

    21.(本题12分)

    解:1)令,则.

    由题意,知恒成立,等价.

    时,由上单调递增.

    因为,所以不合题意;

    时,若,则,若,则

    所以,单调递减,在上单调递增.

    所以.

    ,则.

    易知单调递增,在单调递减

    所以,即.

    所以,解得.     ……………………………(6分)

    2)因为,所以.

    因为,所以.

    ,则.

    ,则,所以上单调递增.

    ,由,得

    所以,即.     ……………………………………(12分)

    另证:不妨设,因为,所以为增函数.

    要证即要证,即要证.

    因为,即要证.

    ,则.

    所以,从而得证.

     

    22[选修4-4:坐标系与参数方程]本题10分)

    解:1)方程可化为.

    方程可化为.   ……………………(5分)

    2)将代入,得.

    设方程的两根分别为,则

    .   ………………………………(10分)

     

    23[选修4-5:不等式选讲]本题10分)   

    解:1方法一:因为

    因为存在实数,使成立,所以,解得.

    方法二:当时,符合题意.

    时,因为所以.

    因为存在实数,使成立,所以.

    时,同理可得.

    综上,实数的取值范围为.     ……………………………(5分)

    2)因为

    所以

    当且仅当时取等号.       ……………………………(10分)

     

     

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