2020届湖南、河南、江西高三下学期3月线上联考数学（文）试题（解析版）

2020届湖南、河南、江西高三下学期3月线上联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝（     ）

A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}

【答案】D

【解析】列举法表示集合A，直接进行交集运算.

【详解】

∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，

B＝{x|0＜x≤2}，

∴A∩B＝{1，2}．

故选：D．

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于基础题.

2．已知a，b∈R，，则（     ）

A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a

【答案】C

【解析】两复数相等，实部与虚部对应相等.

【详解】

由，

得，即a，b＝3．

∴b＝9a．

故选：C．

【点睛】

本题考查复数的概念，属于基础题.

3．设双曲线（）的焦距为12，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.

【详解】

因为可化为，

所以，则.

故选：B.

【点睛】

本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.

4．若满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出可行域，根据平移法即可求出的最大值．

【详解】

画出可行域，如图所示：

由图可知，当直线经过点时，取最大值.

故选：C．

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划问题的解法，属于基础题．

5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.

【详解】

由题可知，程序框图的运行结果为31，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，.

此时输出.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.

6．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.

【详解】

连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2，则，，

在等腰中，取的中点为，连接，

则，，

所以，

即：，

所以异面直线，所成角的余弦值为.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.

7．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（    ）

A．1人 B．2人 C．5人 D．6人

【答案】C

【解析】根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的25人中应该抽取的人数.

【详解】

由题意知两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人，

仅立定跳远合格的有5人，仅100米跑合格的有10人.

从45人中抽取9人进行复测，则抽样比为，

故两项都合格的25人中应该抽取人.

故选：C.

【点睛】

本题考查分层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.

8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论：

①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④

【答案】B

【解析】利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和的正切公式求得的值.

【详解】

设，则，

∵，∴，∴.

即水深为12尺，芦苇长为12尺；

∴，由，解得（负根舍去）.

∵，

∴.

故正确结论的编号为①③④.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.

9．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据平移法则可知， ，再根据为奇函数，即可得到，由此解出．

【详解】

由题意知，因为是奇函数，所以.解得，因为，所以的最小值为.

故选：C．

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像变换以及函数的性质应用，属于基础题．

10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.

【详解】

在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.

故选：B

【点睛】

本题考查圆柱的体积，属于基础题.

11．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.

【详解】

    为定义在上的偶函数，图象关于轴对称

又在上是增函数    在上是减函数

    ，即

对于恒成立    在上恒成立

，即的取值范围为：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.

12．已知函数（）与（）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设切点为，则通过代入法将用表示，再构造函数进行求值域，即可得答案.

【详解】

设切点为，则整理得

由，解得.由上可知，

令，则.

因为，所以，在上单调递减，

所以，即.

【点睛】

本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

二、填空题

13．设非零向量，满足，，，则______.

【答案】

【解析】由题知，，，利用向量的数量积公式化简，即可求出.

【详解】

∵，，

∴，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量的数量积公式和向量的模，属于基础题.

14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从这个数中随机选取个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______．

【答案】

【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求出．

【详解】

从这个数中随机抽取个整数，所有基本事件个数为，其中的勾股数为，共个，故概率.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．

15．设，，分别为内角，，的对边.已知，，且，则______.

【答案】2

【解析】利用正弦定理角化边公式化简，再运用余弦定理得出，即可求出.

【详解】

因为，

所以，

又，，所以，

所以，

则，解得.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.

16．过抛物线：的准线上任意一点作抛物线的切线，，切点分别为，，则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是______.

【答案】4

【解析】先求出直线，的方程，联立解得，由点是两切线的公共点求得的方程为，表示出，两点到准线的距离之和并化简为，从而求得最小值.

【详解】

设，，则直线，的方程分别为，，

联立解得，.又直线，的方程分别可表示为，，将点坐标代入两方程，得

所以直线的方程为，即，

所以点到准线的距离与点到准线的距离之和为.

故答案为：4

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题.

三、解答题

17．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：

（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？

（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.

参考公式及数据：，.

【答案】（1）125分（2）列联表见解析；没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系

【解析】（1）根据题意，测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为，即可得答案；

（2）完成列联表，再代入卡方系数计算公式，即可得答案.

【详解】

（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为，

所以优秀分数线应定为125分.

（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有人，其中“赞成的”有22人.

2×2列联表如下：

因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.

【点睛】

本题考查独立性检验、卡方系数计算，考查数据处理能力，属于基础题.

18．已知数列满足，且.

(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.

(2)若，求数列的前项和.

【答案】（1）见解析，（2）

【解析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列，并通过数列的通项公式得到数列的通项公式；

(2)因为，根据错位相减法即可求出数列的前项和．

【详解】

(1)因为

两边都加上，得

所以，即，

所以数列是以为公差，首项为的等差数列．

所以，即．

(2)因为，所以数列的前项和，①

则，②

由，得，

所以．

【点睛】

本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

19．如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点.

（1）若平面，证明：是的中点.

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）根据线面平行的性质定理可证得，即可得答案；

（2）利用等积法可求得点到平面的距离.

【详解】

（1）证明：因为，平面，平面，

所以平面.

因为平面，平面，所以可设平面平面，

又因为平面，所以.

因为平面，平面，

所以，

从而得.

因为为的中点，所以为的中点.

（2）解：因为底面，，，

所以，，

，

所以.

设点到平面的距离为，

由，得，

解得.

【点睛】

本题考查线线平行性质定理的运用、点到面距离的求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.

20．已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点且与直线平行的直线与椭圆交于，两点，若点满足，且与椭圆的另一个交点为，求的值.

【答案】（1）   （2）

【解析】(1)由题意知是以为斜边的等腰直角三角形，从而求得B点坐标，代入椭圆方程求出 ，即可得解；(2)设点，，，直线的方程与椭圆方程联立求出，，，利用计算出点Q的坐标, 因为点在椭圆上，所以，整理得，因为， ，，方程解得，即.

【详解】

解：（1）因为直线的斜率为1，且，

所以是以为斜边的等腰直角三角形，

从而有，

代人椭圆的方程，得，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）得，所以直线的方程为.

设点，，，

将代入，得，

所以，，

所以.

因为，所以，所以.

设，则，，

所以

因为点在椭圆上，所以，

所以，

整理得，.

由上得，且可知，，

所以，整理得，

解得或（舍去），即.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的坐标表示，属于难题.

21．已知函数，.

(1)求函数的单调区间与极值.

(2)当时，是否存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】（1）求出函数的定义域，接着求导，对参数分类讨论。

（2）假设存在，使得成立，则对，满足，将问题转化为求与。

【详解】

解：（1）， 

当时，恒成立，即函数的单调增区间为，无单调减区间，所以不存在极值．   

当时，令，得,当时，，当时，，

故函数的单调增区间为，单调减区间为，此时函数在处取得极大值，极大值为，无极小值．

综上，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间，不存在极值．当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，无极小值

（2）当时，假设存在，使得成立，则对，满足

由可得，

.

令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，

所以

由（1）可知，①当时，即时，函数在上单调递减，所以的最小值是．

②当，即时，函数在上单调递增，

所以的最小值是．

③当时，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，在上的最小值是.当时，在上的最小值是

所以当时，在上的最小值是，故，

解得,所以．

当时，函数在上的最小值是，故，

解得，所以.故实数的取值范围是

【点睛】

本题利用导数求函数的单调区间、极值问题，以及导数与函数的综合应用，属于难题。

22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求.

【答案】（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2）

【解析】（1）利用消去参数，将曲线的参数方程化成普通方程，利用互化公式，

将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）根据（1）求出曲线的极坐标方程，分别联立射线与曲线以及射线与直线的极坐标方程，求出和，即可求出.

【详解】

解：（1）因为（为参数），所以消去参数，得，

所以曲线的普通方程为.

因为所以直线的直角坐标方程为.

（2）曲线的极坐标方程为.

设的极径分别为和，

将（）代入，解得，

将（）代入，解得.

故.

【点睛】

本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.

23．设函数（）的最小值为.

（1）求的值；

（2）若，，为正实数，且，证明：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）分类讨论，去绝对值求出函数的解析式，根据一次函数的性质，得出的单调性，得出取最小值，即可求的值；

（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化简后利用基本不等式求出的最小值，即可证出.

【详解】

（1）解：

当时，单调递减；当时，单调递增.

所以当时，取最小值.

（2）证明：由（1）可知.

要证明：，即证，

因为，，为正实数，

所以

.

当且仅当，即，，时取等号，

所以.

【点睛】

本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.