2020届湖南省岳阳市高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）
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数学（理科）
分值：150分时量：120 分钟
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。
1.已知复数z=(1+ i)(3-i)(i为虚数单位)，则Z的虚部为
A.2 B.2i C.4 D.4i
2.已知集合A={x|x+1≤0}， B={x|x≥a}，若A∪B=R ，则实数a的值可以为
A.2 B.1 C.0 D. -2
3.若a则实数
A. a>b> c B.c>a>b C. b> a>c D. c>b>a
4.已知数列为等差数列，为其前n项和，则
A.42 B.21 C.7 D.3
5.已知向量若，则实数m的值为
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？"其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为
A.10000 立方尺 B.11000 立方尺 C.12000立方尺 D.13000 立方尺
7. 在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆相交的概率为
8.的展开式中的项的系数为
A.120 B.80 C.60 D.40
9. 已知为函数f(x)(x∈R)的导函数,满足f(1)=1,且则不等式的解集为
D.(10, +∞)
10.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题"四个答题模块.某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有
A.60种 B.192 种 C.240 种 D.432种
11.已知函数，若函数F(x)= f(x)-3的所有零点依次记为且，则
B.21π D.42π
12. 已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线上，且 |AF|=5，过点F的动直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M.
给出下列四个命题:
①在抛物线上满足条件的点A仅有一个;
②若P是抛物线准线上一动点, 则| PA|+ |PO|的最小值为
③无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB=∠OMC ;
④若点C在抛物线准线上的射影为D，则三点B、O、D在同一条直线上.
其中所有正确命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
第II卷(非选择题，共90分)
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置.上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
13. 在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知且sin AcosC= 3cos AsinC，则b=____
14.已知双曲线的左右焦点为F1, F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A, B两点，与y轴相交于D.若,则双曲线C的离心率为____
15. 设f(x)是定义在(0, +∞)上的函数，且f(x)>0,对任意a>0, b>0,若经过点(a, f(a)), (b,-f(b))的一次函数与x轴的交点为(c,0),且a、b、c互不相等,则称c为a, b关于函数f(x)的平均数,记为当f(x)=______(x> 0)时，为a, b的几何平均数(只需写出一个符合要求的函数即可)
16.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒,俗称“粽子”,古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____; 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值______为(本题第一空2分，第二空3分).
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题
17.(本小题满分12分)
等差数列的公差为2,分别等于等比数列的第2项、第3项、第4项.
( 1)求数列和的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前2020项的和.
18.(本小题满分12分)
如图，直三棱柱中，D,分别是的中点，
(1 )证明:∥平面；
(2)求二面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
设直线l与抛物线交于A，B两点,与椭圆交于C，D两点,设直线OA, OB，OC，OD( O为坐标原点)的斜率分别为,若OA⊥OB.
( 1)证明:直线l过定点,并求出该定点的坐标;
(2)是否存在常数λ，满足?并说明理由.
20.(本小题满分12分)
新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们]的热]选择，为提高市场销售业绩，某公司设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销"和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们J的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组: [-5,0)，[0,5), [5,10), [10,15)，[15,20], 分别统计后制成如图所示的频率分布直方图,并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.
（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“精英店与采用促销活动有关”；
(2)某“精英店”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价(单位:元)和日销(单位:件) ( i=1,2,...,10 )的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表, 表中的
①根据上表数据计算a，b的值;
②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件,根据所求出的回归模型，分析售价x定为多少时日利润z可以达到最大.
附①
附②:对应一组数据 ，其回归直线v=α + βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
21. (本小题满分12分)
若函数R)为奇函数，且时f(x)有极小值
(1)求实数a的值与实数m的取值范围;
(2)若恒成立，求实数m的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)
在新中国成立70周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为ρ=1-sinθ ( 0≤θ<2π,ρ>0)，M为该曲线上的任意一点.
(1)当时，求M点的极坐标;
(2)将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求|MN|最大值.
23.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
若函数
(1)证明: f(x)+|f(x)-2|≥2 ;
(2)若存在x∈R,且x≠-1，使得成立,求m的取值范围.
