2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题

一、填空题

1．集合A＝{0，ex}，B＝{－1,0,1}，若A∪B＝B，则x＝________.

【答案】0

【解析】因为A∪B＝B，所以，再根据函数的值域可以得出，从而可以求出的取值.

【详解】

解：集合A＝{0，ex}，B＝{－1,0,1}，因为A∪B＝B，所以，又，所以，即.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题.

2．复数（i是虚数单位）的虚部是_______．

【答案】-1

【解析】由题意，根据复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部．

【详解】

由题意，复数，所以复数的虚部为．

【点睛】

本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

3．________.

【答案】

【解析】根据对数的运算公式得到结果.

【详解】

根据题干得到

故答案为.

【点睛】

本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础.

4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为_______.

【答案】

【解析】直接模拟运行程序即得解.

【详解】

s=1-,k=2,s=,k=3,输出s=.故答案为：

【点睛】

本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

5．在中，，，，则__________．

【答案】

【解析】试题分析：

【考点】正余弦定理解三角形

6．已知函数，．若是奇函数，则的值为____．

【答案】-1

【解析】函数为奇函数，则：，

据此有：，

令可得：，

故：,

.

7．已知，若，满足，且，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】由，且，，所以，得，所以，所以

【详解】

由，且，，所以，即，所以，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为

【点睛】

在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式

8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．

【答案】

【解析】分析： 先求黑白两个球随机放入编号为的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.

详解：黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有，所以黑白两球均不在一号盒的概率为，故答案为.

点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.

9．若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为____．

【答案】

【解析】先求出抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为yx，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出．

【详解】

抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为yx，

∴，

∴e3，

故答案为3．

【点睛】

本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题.

10．设为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：

①若，则；               ②若，则；

③若，则；               ④若，则.

其中的正确命题序号是______.

【答案】②④

【解析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案．

【详解】

对于①，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交，故①错误；    

对于②，若m⊥α，m∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；

对于③，若m∥α，m∥n则n可能在α内，故③错误；

对于④，若m⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m⊥β；故④正确；

故答案为：②④．

【点睛】

本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．

11．设，向量 ， ，若，则的最小值为______．

【答案】9

【解析】先根据向量平行得到+=1，再利用基本不等式即可求出最值．

【详解】

：因为∥，

所以4x+（1﹣x）y=0，

又x＞0，y＞0，

所以+=1，

故x+y=（+）（x+y）=5++≥9．

当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．

（x+y）min=9．

故答案为9．

【点睛】

在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

12．在中，点是边的中点，已知，，，则__________．

【答案】6

【解析】

,

所以

点睛：根据定义计算数量积的两种思路

(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．

(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．

13．已知正数a，b，c满足，则的最大值为_____________．

【答案】

【解析】利用求根公式得到，表示目标，借助均值不等式求最值.

【详解】

∵

∴，

∴，

，当且仅当a=c时取等号.

【点睛】

在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

14．若对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】若 ,则当时 ,所以 ,从而 或

所以或

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

二、解答题

15．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，且，，，分别是，的中点，.

 (1)求证：平面；

(2)求证：平面平面．

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】（1）取中点，连，，根据，，分别是，，的中点，可知道四边形为平行四边形，即可说明平面

（2）要证明平面平面．由题意已知，即只需证明,根据矩形中，为的中点，，，即可说明，即平面平面．

【详解】

证明：(1)取中点，连，，

，分别是，的中点

，且

又为中点

，且

，

四边形为平行四边形

，又平面，平面

平面

(2)设

由及为中点

得

又，

，

又为公共角

即又，

平面，又平面

平面平面

【点睛】

本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理： ；②利用面面平行的性质定理： ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题．

16．在三角形中，已知，.

（1）求角的值；

（2）若的面积为，求边的长.

【答案】（1） （2）

【解析】（1）由题可知，，根据同角三角函数关系求出，在中，利用，代入求出，即可得出；

（2）利用正弦定理和三角形的面积公式，即可求出的长.

【详解】

解：（1）在中，，.

得，故

所以.

∵，所以

（2）由（1）知，设，

利用正弦定理：得：，

又，解得，

所以的面积为：.

所以，即.

【点睛】

本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.

17．建造一个容积为、深为的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为元和元．

（1）求总造价（单位：元）关于底边一边长（单位：）的函数解析式，并指出函数的定义域；

（2）如果要求总造价不超过元，求的取值范围；

（3）求总造价的最小值．

【答案】（1）；（2）时，总造价不超过元；（3），总造价最小为1760元．

【解析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式；

（2）解不等式可得；

（3）由函数单调性可得最小值．

【详解】

（1）底边一边长，另一边长为，

∴，

∴；

（2），解得；

时，总造价不超过元；

（3）记，设，则，

∴，即，递减，同理时，递增，

所以函数在上递减，在上递增，

∴时，．

∴，总造价最小为1760元．

【点睛】

本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．

18．在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.

（1）求圆的方程；

（2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为，点，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得，代入可得出的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线也满足题意；

（2）设点，由，得，由分别在椭圆和圆上，联立方程组解得后可得直线方程．

【详解】

（1）设圆的切线为，点.由方程组得，得.因为，所以，即.又因为点在直线上，所以，即.所以，化简得，所以圆的半径，所以圆的方程为.此时，当切线为时，易证满足.

（2）设点，点，由，得.代入椭圆和圆得解得或者所以点或

.故直线的方程为或．.

【点睛】

本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会．

19．已知函数.

（1）若曲线在处的切线的斜率为2，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围.（是自然对数的底数，）

【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为（2）

【解析】（1）求导，由导数的结合意义可求得，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；
（2）对进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解．

【详解】

（1）函数的定义域为，

，

则，所以，

此时，定义域为，，

令，解得；令，解得；

所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

（2）函数在区间上的图象是一条不间断的曲线.

由（1）知，

1）当时，对任意，，，则，所以函数在区间上单调递增，此时对任意，都有成立，从而函数在区间上无零点；

2）当时，令，得或，其中，

①若，即，则对任意，，所以函数在区间上单调递减，由题意得，且，解得，其中，即，

所以的取值范围是；

②若，即，则对任意，，所以函数在区间上单调递增，此时对任意，都有成立，从而函数在区间上无零点；

③若，即，则对任意，；所以函数在区间上单调递增，对任意，都有成立；

对任意，，函数在区间上单调递减，由题意得

，解得，

其中，即，

所以的取值范围是.

综上可得，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

20．已知数列、、，对于给定的正整数，记，.若对任意的正整数满足：，且是等差数列，则称数列为“”数列.

（1）若数列的前项和为，证明：为数列；

（2）若数列为数列，且，求数列的通项公式；

（3）若数列为数列，证明：是等差数列 ．

【答案】（1）见解析； （2）； （3）见解析.

【解析】（1）采用可进行求解，要验证是否成立

（2）（3）通过题干，将，进行联立求解，代换掉，，可求得数列的通项公式

【详解】

（1）当时，，

当时，符合上式， 则，

，则

对任意的正整数满足，且是公差为4的等差数列，

为数列.

（2），

由数列为数列，则是等差数列，且 

即，

则是常数列，，

验证：，对任意正整数都成立   ．

又由，，

两式相减，得：，

，

（3）由数列为数列可知：是等差数列，记公差为

，

则

又，，

数列为常数列，则

由，

是等差数列.

【点睛】

对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及与的联系需用进行通项求解，但一定注意要验证是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可

21．已知矩阵，，且

（1）求实数；

（2）求矩阵的特征值.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)分别计算,再根据求解即可.

(2)易得阵的特征多项式为,再令求解即可.

【详解】

解：因为,

且,所以

因为,矩阵的特征多项式为

令,解得

【点睛】

本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题.

22．

在平面直角坐标系中，已知直线为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于两点，求弦的长.

【答案】

【解析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆的圆心到直线l的距离为，

【详解】

解：直线为参数)化为普通方程为，

圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，

则圆的圆心到直线l的距离为，

所以.

【考点】参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理

23．已知，且满足，证明：.

【答案】证明见解析

【解析】将化简可得，由柯西不等式可得证明.

【详解】

解：因为，，

所以，

又，

所以，当且仅当时取等号.

【点睛】

本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.

24．如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直，长度分别为1，2，2.若（），且向量与夹角的余弦值为.

（1）求的值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】【详解】

（1）依题意，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系

，因为，所以，

从而，则由，解得（舍去）或.

（2）易得，，设平面的法向量，

则，，即，且，所以，

不妨取，则平面的一个法向量，又易得，

故，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.

25．已知，．记．

（1）求的值；

（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．

【答案】（1）；（2），证明见解析.

【解析】（1）由二项式定理得，利用公式计算的值；

（2）由组合数公式化简，把化为的整数倍即可．

【详解】

由二项式定理，得；

（1）；

（2）因为，

所以

，

，

因为，所以能被整除.

【点睛】

本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．