2020届河南名校联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题
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理 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．设方程的根为，表示不超过的最大整数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在中，已知，，，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
5．下列四个结论：
①命题“”的否定是“”；
②若是真命题，则可能是真命题；
③“且”是“”的充要条件；
④当时，幂函数在区间上单调递减．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
6．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若平面向量，满足，平行于轴，，则 ．
14．实数，满足约束条件：，则的取值范围为 ．
15．半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，与面积之和的最大值为 ．
16．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在数列中，，当时，其前项和满足．
（1）求的表达式；
（2）设，求的前项和．
18．（12分）如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在点使得平面．
（1）求；
（2）求二面角的余弦值．
19．（12分）部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟)．将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：
假设乘客乘车等待时间相互独立．
（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率；
（2）从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．
20．（12分）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为直线上任意一点，过的直线交椭圆于点，，且为抛物线，求的最小值．
21．（12分）已知函数，．
（1）若存在极小值，求实数的取值范围；
（2）设是的极小值点，且，证明： ．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知直线的极坐标方程为，是与的交点，是与的交点，且，均异于原点，，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）当，求不等式的解集；
（2）设对恒成立，求的取值范围．
2020届河南名校联盟高三第一次模拟考试卷
理科数学答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】B
12．【答案】B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】或
14．【答案】
15．【答案】8
16．【答案】
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，∴，
即①，
由题意得，①式两边同除以，得，
∴数列是首项为，公差为2的等差数列，
∴，∴．
（2）∵，
∴．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，
在平面内过点作的垂线交于，连接，
依题意易得，，，，，五点共面，
因为平面，所以①，
在中，，，
因此为线段靠近的三等分点，由对称性知，为线段靠近的三等分点，
因此，，代入①，得．
（2）由（1）可知，是平面的一个法向量且，，
设平面的法向量为，则可以为，
，
因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为．
19．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于分钟”．
由题意知，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为:，
故的估计值为．
乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，
故的估计值为．
又，故事件的概率为．
（2）由（1）可知，乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，
所以乙站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为．
显然，的可能取值为0，1，2，3且，
所以；；
；．
故随机变量的分布列为：
．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），而，
又，得，，故椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，
∵，故，
设，∴，直线的斜率为，
当时，直线的方程为，也符合方程；
当时，直线的斜率为，直线的方程为；
设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，
消去，得，，，，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），
令，则，
所以在上是增函数，
又因为当时，；当时，，
所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；
当时，的值域为，必存在使，
所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，
所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是．
（2）由（1）知，，即，所以，
，
由，得，令，显然在区间上单调递减，
又，所以由，得，
令，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，当时，函数取最小值，所以，
即，即，所以，，
所以，即．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由消去参数，得的普通方程为，
由，得，
又，，
所以的直角坐标方程为．
（2）由（1）知曲线的普通方程为，
所以其极坐标方程为．
设点，的极坐标分别为，，则，，
所以，
所以，即，解得，
又，所以．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，即，
当时，原不等式化为，得，即；
当时，原不等式化为，即，即；
当时，原不等式化为，得，即．
综上，原不等式的解集为．
（2）因为，所以，可化为，
所以，即对恒成立，
则，所以的取值范围是．
