2020届河南省安阳市高三毕业班第一次调研考试数学（理）试题（解析版）

2020届河南省安阳市高三毕业班第一次调研考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（   ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】首先求两个集合，再求交集.

【详解】

,

。

【点睛】

本题考查了两个集合的交集，属于简单题型.

2．设复数满足，则(   )

A. B.2 C. D.4

【答案】C

【解析】首先，并且化简，然后求，并且求.

【详解】

， ，

【点睛】

本题考查了复数的代数运算，以及模的求法，属于基础计算问题.

3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（  ）

A.甲所得分数的极差为22

B.乙所得分数的中位数为18

C.两人所得分数的众数相等

D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数

【答案】D

【解析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.

【详解】

甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为

，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.

【点睛】

本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.

4．已知函数则(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．

【详解】

解：，（1），

，

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题．

5．已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（  ）

A.1 B.3 C.6 D.9

【答案】D

【解析】首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值.

【详解】

由 ，

可得，进而可得 ，

.

【点睛】

本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.

6．已知向量，，，则的最大值为（  ）

A.2 B. C.3 D.5

【答案】B

【解析】首先求，，

根据的取值范围求函数的最大值.

【详解】

由已知可得 ，

因为，所以，

所以当时，的最大值为，故的最大值为 .

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标表示，以及三角函数函数求最值，本题的关键是正确求出.

7．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（  ）

A.9 B.7 C.5 D.3

【答案】A

【解析】依次代入循环结构，得到正确结果.

【详解】

第一次循环： ；

第二次循环： ；

第三次循环：；

第四次循环：，此时输出 .

【点睛】

本题考查了程序框图的循环结构，这类题型在退出循环结构，计算结果时，注意是当型还是直到型，条件是不同的.

8．已知函数的部分图象如图所示，如果将的图象向左平移个单位长度，则得到图象对应的函数为（  ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】首先根据最值计算，根据周期计算，最后根据时，函数取得最大值，求解，再根据“左＋右-”求平移后的解析式.

【详解】

由图知,

,又，

，向左平移个单位长度后得到 .

【点睛】

本题考查了根据图象求三角函数的解析式，属于基础题型，一般根据最值求，由图象中的极值点或零点间的距离求周期，根据公式求，最后根据“五点法”中的某个点求.

9．已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的(   )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】求出原函数的导函数，分析函数在处取得极小值时的的范围，再由充分必要条件的判定得答案．

【详解】

解：若在取得极小值，

．

令，得或．

①当时，．

故在上单调递增，无最小值；

②当时，，故当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

故在处取得极小值．

综上，函数在处取得极小值．

“”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件．

故选：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．

10．已知数列是递增的等差数列，且，是函数的两个零点．设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为(   )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】首先根据求等差数列的通项公式，，再将恒成立问题转化为，最后解对数不等式.

【详解】

数列是递增的等差数列，是函数的两个零点，

, ，易知数列单调递增

.要使不等式对任意正整数恒成立，

只要即可.

解，得，实数的取值 .

【点睛】

本题考查数列和函数的零点，以及恒成立，不等式的综合问题，属于中档题型，

中间有个步骤是求的最小值，不用裂项相消法求，而是直接求的最小值.

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为(   )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】首先根据双曲线的定义，，转化为，即，根据数形结合可知，当点三点共线时，最小，转化为不等式，最后求离心率的范围.

【详解】

由已知可得，若，

即，左支上的点均满足，

如图所示，当点位于点时，最小，

故，即,

,

或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .

【点睛】

本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析的最小值，转化为的代数关系，最后求的范围.

12．在三棱锥中，点均在球的球面上，且，若此三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为(   )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】根据条件可知，当球心在三棱锥的高上时，此三棱锥的体积最大.

根据数形结合，设半径为，是直角三角形，满足，建立关于的方程,最后计算表面积.

【详解】

因为三棱锥的底面积一定，所以当球心在三棱锥的高上时，

此三棱锥的体积最大.设球的半径为，顶点在底面内的射影为.

因为，所以为斜边的中点，则，

如图所示.由三楼锥的体积得 ，

解得.在中，有，

即，解得，故球的表面积 .

【点睛】

本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.

二、填空题

13．已知实数 满足,则目标函数的最小值为______．

【答案】1

【解析】首先画出可行域，然后作出初始目标函数，最后求的最小值.

【详解】

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可得，平移直线，可知过A、C时分别取得最小值与最大值，所以，所以 .

【点睛】

本题考查了线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查了分析问题解决问题的能力，属于简单题型.

14．已知的展开式中含的项的系数为5，则_________．

【答案】2

【解析】首先原式展开为，然后分别求每一项中含有的系数，最后求.

【详解】

由题意知原式展开为，

所以的展开式中含的项为，

即，由已知条件知，解得 .

【点睛】

本题考查了二项式定理的综合问题，意在考查二项式定理指定项的求法，属于基础题.

15．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当 时，，则不等式的解集为______．

【答案】

【解析】首先根据已知构造函数， ，根据导数可知函数单调递增，即，再结合奇偶性得到不等式的解集.

【详解】

令，

则

当 时， 单调递增，且 .

因为等价于，即g(x)<g()，

又为偶函数，所以，

故，故不等式的解集为 .

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性，函数与方程，函数与不等式，导数的应用，涉及函数与方程思想，数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力，等价转化能力，运算求解能力，综合性较强，本题的关键是构造函数，根据导数分析函数的单调性，并且判断是偶函数.

16．已知抛物线的焦点为，准线为。若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为____。

【答案】

【解析】根据题意画出图形，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的边角关系求出的值，即可写出抛物线的标准方程．

【详解】

解：如图所示，设，

过点作于点，

由抛物线的定义知，，，；

在中，，，

从而；

又，所以，

即，所以；

在中，，，

所以，

所以抛物线的标准方程为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．

三、解答题

17．在中，内角，，的对边分别为，，，，.点的线段上，且，.

（Ⅰ）求AB的长；

（Ⅱ）求的面积.

【答案】（Ⅰ）6.

（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）在，中分别使用余弦定理可求AB的长；

（Ⅱ）先求的面积，利用与面积之间的关系可求

【详解】

（Ⅰ）在中，由余弦定理得 ①

又在中，

在中，

又

,即②

联立①②得， , 即.

（Ⅱ）

.

【点睛】

本题主要考查利用余弦定理求解三角形的边长及三角形面积，侧重考查数学运算的核心素养.

18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，分别为的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）要证明面面平行，根据判断定理需证明平面内的两条直线与另一个平面平行，即证明；（Ⅱ）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量

，求.

【详解】

（I）连接

为正三角形.

为的中点， .

平面，

又平面平面，平面.

分别为的中点，

又平面，平面，平面.

又平面，，

平面平面.

（Ⅱ）连接.

平面平面，平面平面，平面，， 平面

又两两垂直

以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

，则，

设平面的法向量，平面 的法向量

，

得

，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查了面面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.

19．2019年某地区初中升学体育考试规定：考生必须参加长跑、掷实心球、1分钟跳绳三项测试．某学校在九年级上学期开始，就为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，抽取了100名学生进行测试，得到下面的频率分布直方图．

（Ⅰ）规定学生1分钟跳绳个数大于等于185为优秀．若在抽取的100名学生中，女生共有50人，男生1分钟跳绳个数大于等于185的有28人．根据已知条件完成下面的列联表，并根据这100名学生的测试成绩，判断能否有99％的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关．

（Ⅱ）根据往年经验，该校九年级学生经过训练，正式测试时每人1分钟跳绳个数都有明显进步．假设正式测试时每人1分钟跳绳个数都比九年级上学期开始时增加10个，全年级恰有2000名学生，若所有学生的1分钟跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和标准差估计和，各组数据用中点值代替），估计正式测试时1分钟跳绳个数大于183的人数（结果四舍五入到整数

附： ,其中 .

若随机变量服从正态分布，则

【答案】（Ⅰ）列联表见解析，没有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关. （Ⅱ）；，1683人

【解析】（Ⅰ）首先根据频率分布直方图计算样本中1分钟跳绳个数大于等于185的人数，然后补全列联表，并计算,得到结论；（2）首先根据频率分布图计算平均数185，

那么 ，，那么,然后根据条件计算结果.

【详解】

（Ⅰ）由题意得样本中1分钟跳绳个数大于等于185的人数为

补充完整的 列联表如下表所示：

由公式可得

因为

所以没有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关.

（Ⅱ）因为，

所以 .

而，故服从正态分布

故估计正式测试时1分钟跳绳个数大于183的人数约为1683

【点睛】

本题考查了频率分布直方图中各个基本量的计算，以及独立性检验和正态分布的问题，主要考查分析数据，处理数据的能力，频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示本组的频率，频率乘以样本容量是频数.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，且该椭圆过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）根据，和计算椭圆的标准方程；（Ⅱ）题意可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到，根据坐标设出的方程，并得到的面积，代入根与系数的关系，并求最大值.

【详解】

（Ⅰ）由椭圆的定义可得，解得 .

又，

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为 .

设，则 .

由，消去可得

，

直线的方程为 .

令，

可得，

令，

则

当且仅当，即时等号成立，

面积的最大值为

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.

21．已知函数．

（Ⅰ）若函数的图象在点处的切线与轴垂直，求的极值；

（Ⅱ）讨论函数的零点个数．

【答案】（Ⅰ）极小值为0，无极大值（Ⅱ）当或时，函数在上有一个零点；当或时，函数在上有两个零点

【解析】（Ⅰ）根据条件可知，解得，，然后求函数的导数，

根据导数判断函数的单调性，并求函数的极值；（Ⅱ）分 四种情况讨论函数的单调性，和零点存在性定理讨论函数的零点个数.

【详解】

（Ⅰ）由得 ，

所以，所以，

所以.

当时，，函数单调递减；

当时， ，函数单调递增，

所以时，函数的极小值为，无极大值

（Ⅱ） .

（i）当时，，函数在上单调递减.

因为，所以函数在上有一个零点

（ii）当时，

①若 ，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值。

因为，所以

又因为 ，

由，可得 ，

所以函数在上也有一个零点，所以函数在上共有两个零点

②若 ，由（I）可知，函在上只有一个零

③若，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在 处取得极小值.

因为，所以

因为 ，

记，所以 ，

由，可得当时，，所以单调递增，

所以 ，

所以函数在上存在一个零点，即此时函数在上共有两个零点

综上所述，当或时，函数在上有一个零点；当或时，函数在上有两个零点

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，第二问中当时，判断零点个数相对其他情况比较难，当判断的正负时，还需构造函数判断.解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）若直线与，轴的交点分别为，，点在上，求的取值范围；

（Ⅱ）若直线与交于，两点，点的直角坐标为，求的值.

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式，结合三角函数知识求解；

（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线，结合参数的几何意义可求.

【详解】

（Ⅰ）由题意可知：直线的普通方程为.

的方程可化为，设点的坐标为，

.

（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为：.

直线的标准参数方程为（为参数），代入得：

设两点对应的参数分别为

,故异号

.

【点睛】

本题主要考查极坐标和直角坐标之间的转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.

23．已知函数.

（Ⅰ）求时，的解集；

（Ⅱ）若有最小值，求的取值范围，并写出相应的最小值.

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）见解析.

【解析】（Ⅰ）把代入，利用分类讨论的方法去掉绝对值求解；

（Ⅱ）利用零点分段讨论法去掉绝对值，然后根据函数单调性求解最值情况.

【详解】

（Ⅰ）当时，

∵

当时解得

当时恒成立

当时解得

综上可得解集.

（Ⅱ）

当，即时，无最小值；

当，即时，有最小值；

当且，即时，

当且，即时，

综上：当时，无最小值；

当时，有最小值；

当时， ；

当时， ；

【点睛】

本题主要考查含有绝对值不等式的解法，零点分段讨论法是常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.